平面向量共線的坐標(biāo)表示

1、平面向量共線的坐標(biāo)表示教學(xué)目標(biāo)1用坐標(biāo)表示兩向量共線(重點(diǎn))2根據(jù)平面向量的坐標(biāo)判斷向量共線(難點(diǎn))3兩直線平行與兩向量共線的判定(易混點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理平面向量共線的坐標(biāo)表示閱讀教材P98“思考”以下至“例6”以上內(nèi)容，完成下列問題1設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a、b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)，使ab2如果用坐標(biāo)表示，可寫為(x1，y1)(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a、b(b0)共線注意：對(duì)于2的形式極易寫錯(cuò)，如寫成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不對(duì)的，因此要理解并記熟這一公式，可簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相減判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的

2、打“×”)(1)向量(1，2)與向量(4，8)共線()(2)向量(2，3)與向量(4，6)反向()解：(1)正確因?yàn)?4，8)4(1，2)，所以向量(1，2)與向量(4，8)共線(2)正確因?yàn)?4，6)2(2，3)，所以向量(2，3)與向量(4，6)反向【答案】(1)(2)小組合作型判定直線平行、三點(diǎn)共線(1)已知A(1，3)，B，且A，B，C三點(diǎn)共線，則C的坐標(biāo)可以是()A(9，1)B(9，1)C(9，1)D(9，1)(2)已知四點(diǎn)坐標(biāo)A(1，1)、B(1，5)、C(2，1)、D(4，11)，請(qǐng)判斷直線AB與CD是否平行？(3)已知A(1，1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，

3、7)，向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？(1)利用向量的平行條件x1y2x2y10，可證明有公共點(diǎn)的兩個(gè)平行向量共線，從而可證明三點(diǎn)共線(2)判定兩直線平行，先判定兩向量平行，再說明兩向量上的相關(guān)點(diǎn)不共線解：(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以.因?yàn)?1，3)，(x，y)(1，3)(x1，y3)，所以7(y3)(x1)0，整理得x2y7，經(jīng)檢驗(yàn)可知點(diǎn)(9，1)符合要求，故選C【答案】C(2)因?yàn)?1，5)(1，1)(2，4)，(4，11)(1，1)(5，10)，(2，1)(1，1)(1，2)，所以2，5.所以.由于與、有共同的起點(diǎn)A，所以A、B、C、D四點(diǎn)共線，因

4、此直線AB與CD重合(3)因?yàn)?1(1)，3(1)(2，4)，(21，75)(1，2)又因?yàn)?×24×10，所以.又因?yàn)?1(1)，5(1)(2，6)，(2，4)，所以2×42×60，所以A，B，C不共線，所以AB與CD不重合，所以ABCD三點(diǎn)共線的條件以及判斷方法：若已知三點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷其是否共線可采用以下兩種方法：(1)直接利用上述條件，計(jì)算(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)是否為0；(2)任取兩點(diǎn)構(gòu)成向量，計(jì)算出兩向量如，再通過兩向量共線的條件進(jìn)行判斷再練一題1設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，(k，12)，(4，5)，(10，k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A，

5、B，C三點(diǎn)共線？ 解：(4k，7)，(10k，k12)，又A，B，C三點(diǎn)共線，由兩向量平行的充要條件，得(4k)(k12)7(10k)0，解得k2或k11.當(dāng)k2或k11時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線已知平面向量共線求參數(shù)(1)已知向量a(x，3)，b(3，x)，則存在實(shí)數(shù)x，使ab；存在實(shí)數(shù)x，使(ab)a；存在實(shí)數(shù)x，m，使(mab)a；存在實(shí)數(shù)x，m，使(mab)b.其中，所有敘述正確的序號(hào)為_(2)已知a(1，2)，b(3，2)，當(dāng)k為何值時(shí)，kab與a3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？(1)可利用向量共線定理列方程判斷方程解的情況來解決(2)方法一：可利用b與非零向量a共線等價(jià)于ba(&g

6、t;0，b與a同向；<0，b與a反向)求解；方法二：可先利用坐標(biāo)形式的等價(jià)條件求k，再利用ba判定同向還是反向解：(1)由abx29無實(shí)數(shù)解，故不對(duì)；又ab(x3，3x)，由(ab)a得3(x3)x(3x)0，即x29無實(shí)數(shù)解，故不對(duì)；因?yàn)閙ab(mx3，3mx)，由(mab)a得(3mx)x3(mx3)0.即x29無實(shí)數(shù)解，故不對(duì)；由(mab)b得3(3mx)x(mx3)0，即m(x29)0，所以m0，xR，故正確【答案】(2)法一：kabk(1，2)(3，2)(k3，2k2)，a3b(1，2)3(3，2)(10，4)，當(dāng)kab與a3b平行時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)，使kab(a3b)由(k3，

7、2k2)(10，4)，所以解得k.當(dāng)k時(shí)，kab與a3b平行，這時(shí)kabab(a3b)，因?yàn)?lt;0，所以kab與a3b反向法二：由題知kab(k3，2k2)，a3b(10，4)，因?yàn)閗ab與a3b平行，所以(k3)×(4)10×(2k2)0，解得k.這時(shí)kab(a3b)所以當(dāng)k時(shí)，kab與a3b平行，并且反向利用向量平行的條件處理求值問題的思路：(1)利用共線向量定理ab(b0)列方程組求解(2)利用向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2x2y10直接求解再練一題2(1)已知向量a(1，2)，b(2，3)，若向量ab與向量c(4，7)共線，則_(2)已知向量a(1，2)，b(3，

8、4)，若(3ab)(akb)，求實(shí)數(shù)k的值解：(1)a(1，2)，b(2，3)，ab(，2)(2，3)(2，23)向量ab與向量c(4，7)共線，7(2)4(23)0，2.【答案】2(2)3ab(0，10)，akb(13k，24k)，因?yàn)?3ab)(akb)，所以0(1030k)0，所以k.向量共線的綜合應(yīng)用如圖2319所示，已知點(diǎn)A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)圖2319要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需求出向量的坐標(biāo)，由與共線得到，利用與共線的坐標(biāo)表示求出即可；也可設(shè)P(x，y)，由及，列出關(guān)于x，y的方程組求解解：法一：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)(4，4)，則(44

9、，4)，(2，6)由與共線得(44)×64×(2)0，解得，所以(3，3)，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，3)法二：設(shè)P(x，y)，則(x，y)，因?yàn)?4，4)，且與共線，所以，即xy.又(x4，y)，(2，6)，且與共線，則得(x4)×6y×(2)0，解得xy3，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，3)1關(guān)于解決兩線段的交點(diǎn)問題可以用解析幾何的知識(shí)聯(lián)立兩直線方程求交點(diǎn)的坐標(biāo)；也可以使用對(duì)應(yīng)向量共線列等式，再解方程組求解2本例利用了向量共線定理，已知四邊形四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)求對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)的向量解法，為我們展示了向量的坐標(biāo)運(yùn)算在解決平面幾何、平面解析幾何問題中的應(yīng)用，在以后學(xué)習(xí)中應(yīng)

10、加以體會(huì)運(yùn)用再練一題3如圖2320，已知A(4，5)，B(1，2)，C(12，1)，D(11，6)，求AC與BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)圖2320解：設(shè)(111，62)(10，4)易得(11，1)，(1011，41)又(8，4)，而與共線，4×(1011)8×(41)0，解得.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xp，yp)，(5，2)(xp1，yp2)，即故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，4)探究共研型共線向量與中點(diǎn)坐標(biāo)公式探究1設(shè)P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)、(x2，y2)，如何求線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)？【提示】如圖所示，P為P1P2的中點(diǎn)，()，線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)是.探究2設(shè)P1，P2的坐標(biāo)分別

11、是(x1，y1)、(x2，y2)，點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)是什么？【提示】點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，()；當(dāng)時(shí)，().探究3當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？【提示】()，(x1，y1)(x2，y2)，P.已知點(diǎn)A(3，4)與點(diǎn)B(1，2)，點(diǎn)P在直線AB上，且|2|，求點(diǎn)P的坐標(biāo)點(diǎn)P在直線AB上，包括點(diǎn)P在線段AB內(nèi)和在線段AB的延長(zhǎng)線上，因此應(yīng)分類討論解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，|2|.當(dāng)P在線段AB上時(shí)，2，(x3，y4)2(1x，2y)，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)P在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，2，(x3，y4)2(1x，2y)，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(5，8)綜上所述，點(diǎn)

12、P的坐標(biāo)為或(5，8)在求有向線段分點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，不必過分強(qiáng)調(diào)公式記憶，可以轉(zhuǎn)化為向量問題后解方程組求解，同時(shí)應(yīng)注意分類討論再練一題4已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求ABC的重心G的坐標(biāo)解：延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)D，G為ABC的重心，D為BC的中點(diǎn)，()()().綜上所述，G的坐標(biāo)為.構(gòu)建·體系1下列滿足平行的一組向量是()Aa(1，4)，b(504，2 016)Ba(2，3)，b(4，6)Ca(1，2)，b(1 008，2 016)Da(1，4)，b(3，12)解：A中，因?yàn)閤1y2x2y11×(2 016)504×

13、(4)0，ab；B中，因?yàn)閤1y2x2y12×(6)4×3240，a與b不平行；C中，因?yàn)閤1y2x2y11×2 016(1 008)×24 0320，a與b不平行；D中，因?yàn)閤1y2x2y11×123×4240，a與b不平行【答案】A2設(shè)kR，下列向量中，與向量a(1，1)一定不平行的向量是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00680052】Ab(k，k)Bc(k，k)Cd(k21，k21)De(k21，k21)解：由向量共線的判定條件，當(dāng)k0時(shí)，向量b，c分別與a平行；當(dāng)k±1時(shí)，向量e與a平行對(duì)任意kR，1·(k21)1

14、83;(k21)0，a與d不平行【答案】C3已知a(6，2)，b(m，3)，且ab，則m()A9B9C3D3解：因?yàn)閍(6，2)，b(m，3)，若ab則6×(3)2m0，解得m9.【答案】B4與向量a(1，2)平行，且模等于的向量為_解：因?yàn)樗笙蛄颗c向量a(1，2)平行，所以可設(shè)所求向量為x(1，2)，又因?yàn)槠淠椋詘2(2x)25，解得x±1.因此所求向量為(1，2)或(1，2)【答案】(1，2)或(1，2)5已知向量a(1，2)，b(x，1)，ua2b，v2ab，且uv，求實(shí)數(shù)x的值解：因?yàn)閍(1，2)，b(x，1)，ua2b(1，2)2(x，1)(2x1，4)，

15、v2ab2(1，2)(x，1)(2x，3)又因?yàn)閡v，所以3(2x1)4(2x)0，解得x.學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1已知向量a(2，3)，b(1，2)，若ma4b與a2b共線，則m的值為()AB2CD2解：ma4b(2m4，3m8)，a2b(4，1)，由ma4b與a2b共線，有(2m4)4(3m8)，解得m2，故選D【答案】D2已知A，B，C三點(diǎn)共線，且A(3，6)，B(5，2)，若C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，則C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()A13B9C9D13解：設(shè)C(6，y)，又(8，8)，(3，y6)，8×(y6)3×80，y9.【答案】C3已知向量a(1sin ，1)，b，且ab

16、，則銳角等于()A30°B45°C60°D75°解：由ab，可得(1sin )(1sin )0，即cos ±，而是銳角，故45°.【答案】B4(2016·馬鞍山期末)已知向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，那么2ab()A(4，0)B(0，4)C(4，8)D(4，8)解：由ab知42m0，m2，2ab(2，4)(2，4)(4，8)故選C【答案】C5如果向量a(k，1)，b(4，k)共線且方向相反，則k等于()A±2B2C2D0解：由a，b共線得k24，又兩個(gè)向量的方向相反，故k2.故選C【答案】C二、填空題6已

17、知向量a(2，3)，ba，向量b的起點(diǎn)為A(1，2)，終點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_解：由ba，可設(shè)ba(2，3)設(shè)B(x，y)，則(x1，y2)b.由又B點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則120或320，所以B或.【答案】或7向量a(1，2)，向量b與a共線，且|b|4|a|，則b_解：因?yàn)閎a，令ba(，2)，又|b|4|a|，所以()2(2)216(14)，故有216，解得±4，b(4，8)或(4，8)【答案】(4，8)或(4，8)三、解答題8已知點(diǎn)A(1，2)，B(2，8)及，求點(diǎn)C，D和的坐標(biāo)解：設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由題意可得(x11，y12)，(3，6)，(1x2，

18、2y2)，(3，6)，因?yàn)?，所?x11，y12)(3，6)(1，2)，(1x2，2y2)(3，6)(1，2)，則有和解得和所以點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，4)和(2，0)，所以(2，4)9如圖2321，在OCB中，A是CB的中點(diǎn)，D是OB的靠近B點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，DC與OA交于點(diǎn)E，若，求實(shí)數(shù)的值圖2321解：C、E、D三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)x，有x，x()，x，又A是CB的中點(diǎn)，·()x，xx，10，.能力提升1(2016·溫州高一檢測(cè))若i2j，(3x)i(4y)j(其中i，j的方向分別與x，y軸正方向相同且為單位向量).與共線，則x，y的值可能分別為()A1，2B2，2C3，2D2，4解：因?yàn)?1，2)