導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義2014一

1、導(dǎo)數(shù)的定義和集合意義（導(dǎo)數(shù)輔導(dǎo)一）一、定義的理解1叫函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作 。注：函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在。在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中，趨近于0可正、可負(fù)、但不為0，而可能為0。是函數(shù)對自變量在范圍內(nèi)的平均變化率，它的幾何意義是過曲線上點(diǎn)（，）及點(diǎn)（+，）的割線斜率。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點(diǎn)的處瞬時(shí)變化率，它反映的函數(shù)在點(diǎn)處變化的快慢程度，它的幾何意義是曲線上點(diǎn)（，）處的切線的斜率。2. 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在其上點(diǎn)，處的切線的斜率。注：用導(dǎo)數(shù)研究切線問題，切點(diǎn)是關(guān)鍵（切點(diǎn)在切線上、切點(diǎn)在曲線上、切點(diǎn)橫坐標(biāo)的導(dǎo)函數(shù)值為切線斜率）。注意區(qū)分“求曲線上過點(diǎn)M的切線”與“求曲線上在點(diǎn)M處的切線

2、”；前者只要求切線過M點(diǎn)，M點(diǎn)未必是切點(diǎn)；而后者則很明確，切點(diǎn)就是M點(diǎn)。3. （1） 幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：、 （c為常數(shù)）； 、 （）； 、= ；、 = ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 .（2） 求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：； 4. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： 或 二、典例選講：（1）定義的應(yīng)用1、若，則等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2解析：，即=2=-1。2、設(shè)函數(shù)在任何處可求導(dǎo)且 ( )A0BC1D 23、設(shè)C是成本，q是產(chǎn)量，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為CC（q），當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，產(chǎn)量變化對成本的影響可用增量比刻劃.如果無限趨近于0時(shí)，無限趨近于常數(shù)A，經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱A為邊際成本.

3、它表明當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，增加單位產(chǎn)量需付出成本A（這是實(shí)際付出成本的一個(gè)近似值）。設(shè)生產(chǎn)x個(gè)單位產(chǎn)品的總成本函數(shù)是C(x)8，則生產(chǎn)8個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，邊際成本是： （ ） A2B8C10D16練習(xí)：若，則= ，= ，= ， = 。（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義1）關(guān)于傾斜角1、曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為（）A1BCD2、點(diǎn)P是曲線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為，則的取值范圍是A、 B、 C、 D、3、設(shè)為曲線：上的點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為（）ABCD練習(xí)：曲線y=-tanx在點(diǎn)（處的切線的傾斜角為 設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為( )ABCD已知點(diǎn)

4、P在曲線y=上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是 A、0,) B、 C、 D、2）關(guān)于切線（方程或方程組的思想）1、已知曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A BC D已知曲線的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ） A2B3 C D12、曲線與直線相切，則實(shí)數(shù)_已知直線與拋物線相切，則已知直線y =x1與曲線相切，則的值為( ) A.1 B. 2 C.1 D.2若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則 的值 類型一：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程此類題較為簡單，只須求出曲線的導(dǎo)數(shù)，并代入點(diǎn)斜式方程即可方法：例1曲線在點(diǎn)處的切線

5、方程為（） 解：由則在點(diǎn)處斜率，故所求的切線方程為，即，因而選類型二：已知斜率，求曲線的切線方程此類題可利用斜率求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)斜式方程加以解決方法：例2與直線的平行的拋物線的切線方程是（） 解：設(shè)為切點(diǎn)，則切點(diǎn)的斜率為由此得到切點(diǎn)故切線方程為，即，故選評注：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設(shè)切線方程為，代入，得，又因?yàn)?，得，故選類型三：已知過曲線上一點(diǎn)，求切線方程過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法例3 求過曲線上的點(diǎn)的切線方程解：設(shè)想為切點(diǎn)，則切線的斜率為切線方程為又知切線過點(diǎn)，把它代入上述方程，得解得，或故所求切線方程為，或，即，或評

6、注：可以發(fā)現(xiàn)直線并不以為切點(diǎn)，實(shí)際上是經(jīng)過了點(diǎn)且以為切點(diǎn)的直線這說明過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，解決此類問題可用待定切點(diǎn)法類型四：已知過曲線外一點(diǎn)，求切線方程此類題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來求解例4求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程解：設(shè)為切點(diǎn)，則切線的斜率為切線方程為，即又已知切線過點(diǎn)，把它代入上述方程，得解得，即評注：點(diǎn)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn)，但在解答過程中卻無需判斷它的確切位置，充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性變式已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程解：曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足因，故切線的方程為點(diǎn)在切線上，則有化簡得，解得所以，切點(diǎn)為，切線方程為評注：

7、此類題的解題思路是，先判斷點(diǎn)A是否在曲線上，若點(diǎn)A在曲線上，化為類型一或類型三；若點(diǎn)A不在曲線上，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)并求出切點(diǎn)2004年江蘇第二次模擬試卷（常州卷）卷11：過點(diǎn)P作曲線y=x3的兩條切線L1與L2,設(shè)L1，L2的夾角為，則tan= ( )解：由y=x3得y/=3x2設(shè)Q（x0,x03）為切點(diǎn)，則在Q點(diǎn)處的切線的方程為L：yx=3x02(xx)PL，1x=3x02(1x) （1x）（2x+1）=0 x=1或x= k= yx=1=3 k= y=tan=（2004年江蘇省第一次模擬試卷）第16題：若直線y=x是曲線的切線，求a的值解：設(shè)切點(diǎn)P（則 由得3、曲線在點(diǎn)處的切線方程為_已知（1）

8、求在點(diǎn)處的切線方程；（2）求過點(diǎn)的切線方程求函數(shù)y=x3-3x2+x的圖象上過原點(diǎn)的切線方程解析：易見O（0，0）在函數(shù)y=x3-3x2+x的圖象上，y=3x26x+1,但O點(diǎn)未必是切點(diǎn)。設(shè)切點(diǎn)A（x0,y0）y=3x26x+1, 切線斜率為3x026x0+1,又切線過原點(diǎn)，=3x026x0+1即：y0=3x036x02+x0 又切點(diǎn)A（x0,y0）y=x3-3x2+x的圖象上y0=x033x02+x0 由得：x0 =0或x0 =，切線方程為：y=x或5x+4y=0曲線上過點(diǎn)的切線方程是 已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在處的切線方程是( )A. B. C. D. （3）面積1、曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（ ）2、曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（ ）ABCD練習(xí)：若曲線在點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則 A、64 B、32 C、16 D、8 曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（） （07高考海南理10）（4）對導(dǎo)數(shù)符號的理解：1、若函數(shù)滿足，則的值 2