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1、2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(湖南卷)數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)全解全析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的1復(fù)數(shù)等于( )ABCD【答案】C 【解析】2不等式的解集是( )ABCD【答案】D 【解析】由得,所以解集為.3設(shè)是兩個(gè)集合,則“”是“”的( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由韋恩圖知;反之,4設(shè)是非零向量,若函數(shù)的圖象是一條直線,則必有( )ABCD【答案】A 【解析】,若函數(shù)的圖象是一條直線,即其二次項(xiàng)系數(shù)為0, 0, 5設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,已知,則=
2、( )A0.025B0.050C0.950D0.975【答案】C 【解析】服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 6函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )A4B3C2D1【答案】B.【解析】由圖像易知交點(diǎn)共有3個(gè)。7下列四個(gè)命題中,不正確的是( )A若函數(shù)在處連續(xù),則B函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)是和C若函數(shù)、滿足,則D【答案】C.【解析】的前提是必須都存在!8棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上,分別是棱,的中點(diǎn),則直線被球截得的線段長(zhǎng)為( )ABCD【答案】D.【解析】正方體對(duì)角線為球直徑,所以,在過(guò)點(diǎn)E、F、O的球的大圓中,由已知得d=,所以EF=2r=。9設(shè)分別是橢圓()的左、右焦點(diǎn),若在其右準(zhǔn)線上存在 使線段的
3、中垂線過(guò)點(diǎn),則橢圓離心率的取值范圍是( )ABCD【答案】D【解析】由已知P,所以的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,由 當(dāng)時(shí),不存在,此時(shí)為中點(diǎn),綜上得10設(shè)集合, 都是的含兩個(gè)元素的子集,且滿足:對(duì)任意的,(,),都有(表示兩個(gè)數(shù)中的較小者),則的最大值是( )A10 B11 C12 D13【答案】B【解析】含2個(gè)元素的子集有15個(gè),但1,2、2,4、3,6只能取一個(gè);1,3、2,6只能取一個(gè);2,3、4,6只能取一個(gè),故滿足條件的兩個(gè)元素的集合有11個(gè)。二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分把答案填在橫線上11圓心為且與直線相切的圓的方程是 【答案】【解析】半徑R=,所以圓的方程為12在中,角所
4、對(duì)的邊分別為,若,b=,則 【答案】【解析】由正弦定理得,所以13函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 【答案】16【解析】 14設(shè)集合,(1)的取值范圍是 ;(2)若,且的最大值為9,則的值是 【答案】(1) (2)【解析】(1)由圖象可知的取值范圍是(2)若令t=,則在(0,b)處取得最大值,所以0+2b=9,所以b=.15將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表從上往下數(shù),第1次全行的數(shù)都為1的是第1行,第2次全行的數(shù)都為1的是第3行,第次全行的數(shù)都為1的是第 行;第61行中1的個(gè)數(shù)是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5
5、行 1 1 0 0 1 1 圖1【答案】,32【解析】由不完全歸納法知,全行都為1的是第行; 故第63行共有64個(gè)1,逆推知第62行共有32個(gè)1,第61行共有32個(gè)1。三、解答題:本大題共6小題,共75分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟16(本小題滿分12分)已知函數(shù),(I)設(shè)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸,求的值(II)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間解:(I)由題設(shè)知因?yàn)槭呛瘮?shù)圖象的一條對(duì)稱軸,所以,即()所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí),當(dāng)為奇數(shù)時(shí),(II)當(dāng),即()時(shí),函數(shù)是增函數(shù),故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()17(本小題滿分12分)某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn),以提高下崗人員的再就業(yè)能力.每名下崗人員可以
6、選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn),已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%,參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%.假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的,且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響(I)任選1名下崗人員,求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率;(II)任選3名下崗人員,記為3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù),求的分布列和期望解:任選1名下崗人員,記“該人參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件,“該人參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件,由題設(shè)知,事件與相互獨(dú)立,且,(I)解法一:任選1名下崗人員,該人沒(méi)有參加過(guò)培訓(xùn)的概率是所以該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是解法二:任選1名下崗人員,該人只參加過(guò)一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是該人參加過(guò)兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是所以該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是(II
7、)因?yàn)槊總€(gè)人的選擇是相互獨(dú)立的,所以3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)服從二項(xiàng)分布,即的分布列是01230.0010.0270. 2430.729的期望是(或的期望是)18(本小題滿分12分)如圖2,分別是矩形的邊的中點(diǎn),是上的一點(diǎn),將,分別沿翻折成,并連結(jié),使得平面平面,且連結(jié),如圖3AEBCFDG圖2圖3(I)證明:平面平面;(II)當(dāng),時(shí),求直線和平面所成的角解:解法一:()因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,所以平面,又平面,所以平面平面(II)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連結(jié)由(I)的結(jié)論可知,平面,所以是和平面所成的角因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,所以平面,故因?yàn)?,所以可在上取一點(diǎn),使,又因?yàn)?,所以四邊形是矩形由題
8、設(shè),則所以,因?yàn)槠矫?,所以平面,從而故,又,由得故即直線與平面所成的角是解法二:(I)因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,所以平面,從而又,所以平面因?yàn)槠矫?,所以平面平面(II)由(I)可知,平面故可以為原點(diǎn),分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),由題設(shè),則,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,所以,設(shè)是平面的一個(gè)法向量,由得故可取過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn),因?yàn)椋?,于是點(diǎn)在軸上因?yàn)?,所以,設(shè)(),由,解得,所以設(shè)和平面所成的角是,則故直線與平面所成的角是19(本小題滿分12分)如圖4,某地為了開(kāi)發(fā)旅游資源,欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)和居民區(qū)的公路,點(diǎn)所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為(),且,點(diǎn)到平面的距
9、離(km)沿山腳原有一段筆直的公路可供利用從點(diǎn)到山腳修路的造價(jià)為萬(wàn)元/km,原有公路改建費(fèi)用為萬(wàn)元/km當(dāng)山坡上公路長(zhǎng)度為km()時(shí),其造價(jià)為萬(wàn)元已知,(I)在上求一點(diǎn),使沿折線修建公路的總造價(jià)最?。唬↖I) 對(duì)于(I)中得到的點(diǎn),在上求一點(diǎn),使沿折線修建公路的總造價(jià)最?。↖II)在上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn),使沿折線修建公路的總造價(jià)小于(II)中得到的最小總造價(jià),證明你的結(jié)論AEDBHP解:(I)如圖,由三垂線定理逆定理知,所以是山坡與所成二面角的平面角,則,設(shè),則記總造價(jià)為萬(wàn)元,據(jù)題設(shè)有當(dāng),即時(shí),總造價(jià)最?。↖I)設(shè),總造價(jià)為萬(wàn)元,根據(jù)題設(shè)有則,由,得當(dāng)時(shí),在內(nèi)是減函數(shù);當(dāng)時(shí),在內(nèi)是增函數(shù)故當(dāng)
10、,即(km)時(shí)總造價(jià)最小,且最小總造價(jià)為萬(wàn)元(III)解法一:不存在這樣的點(diǎn),事實(shí)上,在上任取不同的兩點(diǎn),為使總造價(jià)最小,顯然不能位于 與之間故可設(shè)位于與之間,且=,總造價(jià)為萬(wàn)元,則類似于(I)、(II)討論知,當(dāng)且僅當(dāng),同時(shí)成立時(shí),上述兩個(gè)不等式等號(hào)同時(shí)成立,此時(shí),取得最小值,點(diǎn)分別與點(diǎn)重合,所以不存在這樣的點(diǎn) ,使沿折線修建公路的總造價(jià)小于(II)中得到的最小總造價(jià)解法二:同解法一得當(dāng)且僅當(dāng)且,即同時(shí)成立時(shí),取得最小值,以上同解法一20(本小題滿分12分)已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)(I)若動(dòng)點(diǎn)滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求點(diǎn)的軌跡方程;(II)在軸上是否存在定
11、點(diǎn),使為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解:由條件知,設(shè),解法一:(I)設(shè),則則,由得即于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時(shí),即又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上,所以,兩式相減得,即將代入上式,化簡(jiǎn)得當(dāng)與軸垂直時(shí),求得,也滿足上述方程所以點(diǎn)的軌跡方程是(II)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù)當(dāng)不與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,所以,于是因?yàn)槭桥c無(wú)關(guān)的常數(shù),所以,即,此時(shí)=當(dāng)與軸垂直時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為,此時(shí)故在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù)解法二:(I)同解法一的(I)有當(dāng)不與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,所以 由得當(dāng)時(shí),由得,將其代入有整理得當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,滿足上述方程當(dāng)與軸垂直時(shí),求得,也滿足上述方程故點(diǎn)的軌跡方程是(II)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn),使為常數(shù),當(dāng)不與軸垂直時(shí),由(I)有,以上同解法一的(II)21(本小題滿分13分)已知()是曲線上的點(diǎn),是數(shù)列的前項(xiàng)和,且滿足,(I)證明:數(shù)列()是常數(shù)數(shù)列;(II)確定的取值集合,使時(shí),數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列;(III)證明:當(dāng)時(shí),弦()的斜率隨單調(diào)遞增解:(I)當(dāng)時(shí),由已知得因?yàn)?,所?于是 由得 于是 由得, 所以,即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列(II)由有,所以由有,所以,而 表明:數(shù)列和分別是以,為
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