2007年高考數(shù)學(xué)試題湖南卷（理科）

1、2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）全解全析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1復(fù)數(shù)等于（ ）ABCD【答案】C 【解析】2不等式的解集是（ ）ABCD【答案】D 【解析】由得，所以解集為.3設(shè)是兩個(gè)集合，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由韋恩圖知;反之，4設(shè)是非零向量，若函數(shù)的圖象是一條直線，則必有（ ）ABCD【答案】A 【解析】,若函數(shù)的圖象是一條直線，即其二次項(xiàng)系數(shù)為0， 0， 5設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知，則=

2、（ ）A0.025B0.050C0.950D0.975【答案】C 【解析】服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 6函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A4B3C2D1【答案】B.【解析】由圖像易知交點(diǎn)共有3個(gè)。7下列四個(gè)命題中，不正確的是（ ）A若函數(shù)在處連續(xù)，則B函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)是和C若函數(shù)、滿足，則D【答案】C.【解析】的前提是必須都存在！8棱長為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長為（ ）ABCD【答案】D.【解析】正方體對角線為球直徑，所以，在過點(diǎn)E、F、O的球的大圓中，由已知得d=，所以EF=2r=。9設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在 使線段的

3、中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】由已知P，所以的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，由 當(dāng)時(shí)，不存在，此時(shí)為中點(diǎn)，綜上得10設(shè)集合， 都是的含兩個(gè)元素的子集，且滿足：對任意的，（，），都有（表示兩個(gè)數(shù)中的較小者），則的最大值是（ ）A10 B11 C12 D13【答案】B【解析】含2個(gè)元素的子集有15個(gè)，但1，2、2，4、3，6只能取一個(gè)；1，3、2，6只能取一個(gè)；2，3、4，6只能取一個(gè)，故滿足條件的兩個(gè)元素的集合有11個(gè)。二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在橫線上11圓心為且與直線相切的圓的方程是 【答案】【解析】半徑R=，所以圓的方程為12在中，角所

4、對的邊分別為，若，b=，則 【答案】【解析】由正弦定理得，所以13函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 【答案】16【解析】 14設(shè)集合，（1）的取值范圍是 ；（2）若，且的最大值為9，則的值是 【答案】（1） （2）【解析】（1）由圖象可知的取值范圍是（2）若令t=，則在（0，b）處取得最大值，所以0+2b=9，所以b=.15將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，第次全行的數(shù)都為1的是第 行；第61行中1的個(gè)數(shù)是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5

5、行 1 1 0 0 1 1 圖1【答案】，32【解析】由不完全歸納法知，全行都為1的是第行； 故第63行共有64個(gè)1，逆推知第62行共有32個(gè)1，第61行共有32個(gè)1。三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（I）設(shè)是函數(shù)圖象的一條對稱軸，求的值（II）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間解：（I）由題設(shè)知因?yàn)槭呛瘮?shù)圖象的一條對稱軸，所以，即（）所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，（II）當(dāng)，即（）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）17（本小題滿分12分）某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力.每名下崗人員可以

6、選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過財(cái)會培訓(xùn)的有60%，參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%.假設(shè)每個(gè)人對培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒有影響（I）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；（II）任選3名下崗人員，記為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求的分布列和期望解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財(cái)會培訓(xùn)”為事件，“該人參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件，由題設(shè)知，事件與相互獨(dú)立，且，（I）解法一：任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是解法二：任選1名下崗人員，該人只參加過一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是該人參加過兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是（II

7、）因?yàn)槊總€(gè)人的選擇是相互獨(dú)立的，所以3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，即的分布列是01230.0010.0270. 2430.729的期望是（或的期望是）18（本小題滿分12分）如圖2，分別是矩形的邊的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，將，分別沿翻折成，并連結(jié)，使得平面平面，且連結(jié)，如圖3AEBCFDG圖2圖3（I）證明：平面平面；（II）當(dāng)，時(shí)，求直線和平面所成的角解：解法一：（）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（II）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)由（I）的結(jié)論可知，平面，所以是和平面所成的角因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，故因?yàn)?，所以可在上取一點(diǎn)，使，又因?yàn)?，所以四邊形是矩形由題

8、設(shè)，則所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，從而故，又，由得故即直線與平面所成的角是解法二：（I）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，從而又，所以平面因?yàn)槠矫?，所以平面平面（II）由（I）可知，平面故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題設(shè)，則，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，所以，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得故可取過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，于是點(diǎn)在軸上因?yàn)?，所以，設(shè)（），由，解得，所以設(shè)和平面所成的角是，則故直線與平面所成的角是19（本小題滿分12分）如圖4，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)和居民區(qū)的公路，點(diǎn)所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點(diǎn)到平面的距

9、離（km）沿山腳原有一段筆直的公路可供利用從點(diǎn)到山腳修路的造價(jià)為萬元/km，原有公路改建費(fèi)用為萬元/km當(dāng)山坡上公路長度為km（）時(shí)，其造價(jià)為萬元已知，（I）在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最??；（II） 對于（I）中得到的點(diǎn)，在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最小（III）在上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論AEDBHP解：（I）如圖，由三垂線定理逆定理知，所以是山坡與所成二面角的平面角，則，設(shè)，則記總造價(jià)為萬元，據(jù)題設(shè)有當(dāng)，即時(shí)，總造價(jià)最?。↖I）設(shè)，總造價(jià)為萬元，根據(jù)題設(shè)有則，由，得當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是增函數(shù)故當(dāng)

10、，即（km）時(shí)總造價(jià)最小，且最小總造價(jià)為萬元（III）解法一：不存在這樣的點(diǎn)，事實(shí)上，在上任取不同的兩點(diǎn)，為使總造價(jià)最小，顯然不能位于 與之間故可設(shè)位于與之間，且=，總造價(jià)為萬元，則類似于（I）、（II）討論知，當(dāng)且僅當(dāng)，同時(shí)成立時(shí)，上述兩個(gè)不等式等號同時(shí)成立，此時(shí)，取得最小值，點(diǎn)分別與點(diǎn)重合，所以不存在這樣的點(diǎn) ，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià)解法二：同解法一得當(dāng)且僅當(dāng)且，即同時(shí)成立時(shí)，取得最小值，以上同解法一20（本小題滿分12分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的動直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)（I）若動點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定

11、點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：由條件知，設(shè)，解法一：（I）設(shè)，則則，由得即于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程所以點(diǎn)的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，于是因?yàn)槭桥c無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時(shí)故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)解法二：（I）同解法一的（I）有當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以 由得當(dāng)時(shí)，由得，將其代入有整理得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程故點(diǎn)的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）有，以上同解法一的（II）21（本小題滿分13分）已知（）是曲線上的點(diǎn)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（II）確定的取值集合，使時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；（III）證明：當(dāng)時(shí)，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得因?yàn)椋?于是 由得 于是 由得， 所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列（II）由有，所以由有，所以，而 表明：數(shù)列和分別是以，為