2014年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽

1、2014年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題及參考答案（競(jìng)賽時(shí)間：2014年3月2日上午9:00-11:00）一、選擇題（共6小題，每小題6分，共36分） 以下每小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)字母填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1若是最大的負(fù)整數(shù)，是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，是倒數(shù)等于它本身的自然數(shù)，則的值為【 】（A）2013 （B）2014 （C）2015 （D）0【答】D 解：最大的負(fù)整數(shù)是1，=1；絕對(duì)值最小的有理數(shù)是0，=0；倒數(shù)等于它本身的自然數(shù)是1，=1.=0.2. 已知實(shí)數(shù)滿足則代數(shù)式的值是【 】（A） （B）3 （C

2、） （D）7【答】A解：兩式相減得3如圖，將表面展開圖（圖1）還原為正方體，按圖2所示擺放，那么，圖1中的線段MN在圖2中的對(duì)應(yīng)線段是【 】（A） （B） （C） （D） 【答】C解：將圖1中的平面圖折成正方體，MN和線段c重合.不妨設(shè)圖1中完整的正方形為完整面，AMN和ABM所在的面為組合面，則AMN和ABM所在的面為兩個(gè)相鄰的組合面，比較圖2，首先確定B點(diǎn)，所以線段d與AM重合，MN與線段c重合.4. 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列7個(gè)代數(shù)式，中，其值為正的式子的個(gè)數(shù)為【 】（A）2個(gè) （B）3個(gè) （C）4個(gè) （D）4個(gè)以上 【答】C解：由圖象可得：，.拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，.當(dāng)=1時(shí)

3、，即.當(dāng)=時(shí)，即.從圖象可得，拋物線對(duì)稱軸在直線=1的左邊，即，.因此7個(gè)代數(shù)式中，其值為正的式子的個(gè)數(shù)為4個(gè).5. 如圖，RtOAB的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，AOB=90°，AO=2BO，當(dāng)A點(diǎn)在反比例函數(shù) （x>0）的圖象上移動(dòng)時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式為【 】 （A） （x<0） （B）（x<0） （C） （x<0） （D）（x<0） 【答】B解：如圖，分別過點(diǎn)分別做軸的垂線，那么，則，故. 6如圖，四邊形ABHK是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)C、D在邊AB上，且AC=DB=1，點(diǎn)P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形AMNP和

4、正方形BRQP，E、F分別為MN、QR的中點(diǎn)，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為G，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為【 】（A）1 （B）2 （C）3 （D）6 【答】B解：設(shè)KH中點(diǎn)為S，連接PE、ES、SF、PF、PS，可證明四邊形PESF為平行四邊形，G為PS的中點(diǎn), 即在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，G始終為PS的中點(diǎn)，所以G的運(yùn)行軌跡為CSD的中位線,CD=ABACBD=611=4，點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為=2. 二、填空題（共6小題，每小題6分，共36分）7已知，化簡(jiǎn)得 .【答】解：， 原式=.8. 一個(gè)不透明的袋子中有除顏色外其余都相同的紅、黃、藍(lán)色玻璃球若干個(gè)，其中紅色玻璃球有6個(gè)，黃色玻璃球

5、有9個(gè)，已知從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)藍(lán)色玻璃球的概率為，那么，隨機(jī)摸出一個(gè)為紅色玻璃球的概率為 . 【答】解：設(shè)口袋中藍(lán)色玻璃球有個(gè)，依題意，得，即=10，所以P（摸出一個(gè)紅色玻璃球）=.9. 若，則= .【答】8解：，.則，即. 10如圖，在RtOAB中，AOB=30°，AB=2，將RtOAB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到RtOCD，則AB掃過的面積為 . 【答】解：RtOAB中，AOB=30°，AB=2， AO=CO=，BO=DO=4，陰影部分面積= =.11如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把BAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

6、A1恰落在BCD的平分線上時(shí)，CA1= . 【答】 解：過A1作A1MBC，垂足為M，設(shè)CM=A1M=x，則BM=4x，在RtA1BM中，=，x =A1M=，在等腰RtA1CM中，C A1=. 12已知a、b、c、d是四個(gè)不同的整數(shù)，且滿足a+b+c+d =5，若m是關(guān)于x的方程（xa）（xb）（xc）（xd）=2014中大于a、b、c、d的一個(gè)整數(shù)根，則m的值為 .【答】20解：（ma）（mb）（mc）（md）=2014，且a、b、c、d是四個(gè)不同的整數(shù)，由于m是大于a、b、c、d的一個(gè)整數(shù)根，（ma）、（mb）、（mc）、（md）是四個(gè)不同的正整數(shù). 2014=1×2×

7、19×53，（ma）+（mb）+（mc）+（md）=1+2+19+53=75.又a+b+c+d =5，m =20.三、解答題（第13題14分，第14題16分，第15題18分，共48分）13.某學(xué)校為九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)選手購買以下三種獎(jiǎng)品，其中小筆記本每本5元，大筆記本每本7元，鋼筆每支10元，購買的大筆記本的數(shù)量是鋼筆數(shù)量的2倍，共花費(fèi)346元，若使購買的獎(jiǎng)品總數(shù)最多，則這三種獎(jiǎng)品的購買數(shù)量各為多少？解：設(shè)購買小筆記本x本，大筆記本y本，鋼筆z支，則有，.易知0x69，0y49，0z34, 4分，即.x，y，z均為正整數(shù)，0，即0z14z只能取14，9和4. 8分當(dāng)z為14時(shí)， =2

8、，=28. .當(dāng)z為9時(shí)， =26，=18. .當(dāng)z為4時(shí)， =50，=8. .綜上所述，若使購買的獎(jiǎng)品總數(shù)最多，應(yīng)購買小筆記本50本，大筆記本8本，鋼筆4支. 14分14. 如圖，在矩形ABCD中，AD=8，直線DE交直線AB于點(diǎn)E，交直線BC于F，AE=6. （1）若點(diǎn)P是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），設(shè)DP為x,四邊形AEHP的面積為y,試求y與x的函數(shù)解析式； （2）若AE=2EB. 求圓心在直線BC上，且與直線DE、AB都相切的O的半徑長(zhǎng)； 圓心在直線BC上，且與直線DE及矩形ABCD的某一邊所在直線都相切的圓共有多少個(gè)？（直接寫出滿足條件的圓的個(gè)數(shù)即可.） 14、解：（1

9、）在Rt中，5分 （2）.7分若與直線DE、AB都相切，且圓心在AB的左側(cè)，過點(diǎn)作于，則可設(shè). 解得10分若與直線DE、AB都相切，且圓心在AB的右側(cè)，過點(diǎn)作于，則可設(shè)解得即滿足條件的圓的半徑為或6.13分 6個(gè).16分 15. 如圖1，等腰梯形OABC的底邊OC在x軸上，ABOC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA = AB =BC，AOC=60°，連接OB，點(diǎn)P為線段OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為邊OC中點(diǎn). （1）連接PA、PE，求證：PA=PE； （2）連接PC，若PC+PE=，試求AB的最大值；（3）在（2）在條件下，當(dāng)AB取最大值時(shí)，如圖2，點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)D為線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)D點(diǎn)

10、從O點(diǎn)向C點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，直線MD與梯形另一邊交點(diǎn)為N，設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，當(dāng)MNC為鈍角三角形時(shí)，求m的范圍. 解：（1）證明：如圖1，連接AE.5分 (2)PC+PE=，PC+PA=.顯然有OB=ACPC+PA=.7分在RtBOC中,設(shè)AB=OA=BC=x，則OC=2x，OB=，2.即AB的最大值為2. 10分 (3) 當(dāng)AB取最大值時(shí)，AB=OA=BC=2，OC=4. 分三種情況討論：當(dāng)N點(diǎn)在OA上時(shí)，如圖2，若CNMN時(shí)，此時(shí)線段OA上N點(diǎn)下方的點(diǎn)（不包括N、O）均滿足MNC為鈍角三角形.過N作NFx軸，垂足為F，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（，），則DF=am，NF=，F(xiàn)C=4a. OMDFNDFCN， .解得，即當(dāng)0<