高中數(shù)學選修2-2教學案2.3數(shù)學歸納法（學生版）

1、.數(shù)學歸納法_1、數(shù)學歸納法的原理及應用.2、數(shù)學歸納法的思想本質(zhì)及在歸納推理中發(fā)現(xiàn)詳細問題的遞推關系.1、 數(shù)學歸納法： 數(shù)學歸納法是證明關于正整數(shù)n的命題的一種方法，在高等數(shù)學中有著重要的用處，因此成為高考的熱點之一。近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學歸納法去證明現(xiàn)代的結(jié)論，而且加強了對于不完全歸納法應用的考察，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，因此，初步形成“觀察歸納猜測證明的思維形式，就顯得特別重要。    一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按以下步驟進展：    1歸納奠基證明當n取第一個值n = n 0時

2、命題成立；    2歸納遞推假設n=k時命題成立，證明當時命題也成立。    只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開場的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學歸納法。    數(shù)學歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的根底保證，即通過驗證落實傳遞的起點，這個根底必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對某個正整數(shù)成立，就能保證該命題對后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數(shù)學歸納法，這兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真

3、偽，而是證明命題是否具有傳遞性，假如沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題。題型一、用數(shù)學歸納法證明恒等式例1、例1數(shù)學歸納法證明132333n3= n2n12題型二、用數(shù)學歸納法證明不等式例2、歸納法證明n1，且題型三、用數(shù)學歸納法證明幾何問題例4平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,且每三個圓都不相交于同一點,求證:這n個圓把平面分成個部分.題型四、用數(shù)學歸納法證明整除問題例4、 用數(shù)學歸納法證明32n28 n9能被64整除題型五 歸納、猜測、證明例8：是否存在常數(shù)a，b，c使等式對一切自然數(shù)n都成立，并證明你的結(jié)論。一、選擇題1用數(shù)學歸納法證明1<nnN*，n>

4、1時，第一步應驗證不等式A1<2B12C13 D132用數(shù)學歸納法證明1aa2an1nN*，a1，在驗證n1時，左邊所得的項為A1B1aa2C1a D1aa2a33設fnnN*，那么fn1fn等于A.B.C.D.4某個命題與自然數(shù)n有關，假設nkkN*時，該命題成立，那么可推得nk1時該命題也成立如今當n5時，該命題不成立，那么可推得A當n6時該命題不成立B當n6時該命題成立C當n4時該命題不成立D當n4時該命題成立5用數(shù)學歸納法證明命題“當n是正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除，在第二步的證明時，正確的證法是A假設nkkN*，證明nk1時命題也成立B假設nkk是正奇數(shù)，證明nk1時命題也成

5、立C假設nkk是正奇數(shù)，證明nk2時命題也成立D假設n2k1kN，證明nk1時命題也成立6凸n邊形有fn條對角線，那么凸n1邊形對角線的條數(shù)fn1為Afnn1 BfnnCfnn1Dfnn27用數(shù)學歸納法證明“對一切nN*，都有2n>n22這一命題，證明過程中應驗證An1時命題成立Bn1，n2時命題成立Cn3時命題成立Dn1，n2，n3時命題成立8fn2n7·3n9，存在自然數(shù)m，使得對任意nN*，都能使m整除fn，那么最大的m的值為A30B26C36D69數(shù)列an的前n項和Snn2ann2，而a11，通過計算a2、a3、a4，猜測anA.B.C.D.10對于不等式n1nN，某學

6、生的證明過程如下：1當n1時，11，不等式成立2假設nkkN時，不等式成立，即<k1，那么nk1時，<k11，當nk1時，不等式成立，上述證法A過程全都正確Bn1驗證不正確C歸納假設不正確D從nk到nk1的推理不正確二、填空題11用數(shù)學歸納法證明“2n1n2n2nN*時，第一步的驗證為_12數(shù)列，通過計算得S1，S2，S3，由此可猜測Sn_.13對任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，那么最小的自然數(shù)a_.14用數(shù)學歸納法證明命題：1×42×73×10n3n1nn12.1當n0_時，左邊_，右邊_；當nk時，等式左邊共有_項，第k1項是_2假設n

7、k時命題成立，即_成立3當nk1時，命題的形式是_；此時，左邊增加的項為_三、解答題15求證：122232422n122n2n2n1nN*16求證：>n217在平面內(nèi)有n條直線，其中每兩條直線相交于一點，并且每三條直線都不相交于同一點求證：這n條直線將它們所在的平面分成個區(qū)域18 試比較2n2與n2的大小nN*，并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論分析由題目可獲取以下主要信息：此題選用特殊值來找到2n2與n2的大小關系；利用數(shù)學歸納法證明猜測的結(jié)論解答此題的關鍵是先利用特殊值猜測_根底穩(wěn)固一、選擇題1用數(shù)學歸納法證明1<nnN*，n>1時，第一步應驗證不等式A1<2B12C13

8、D132 用數(shù)學歸納法證明1aa2an1nN*，a1，在驗證n1時，左邊所得的項為A1 B1aa2C1a D1aa2a33設fnnN*，那么fn1fn等于A BC D4某個命題與自然數(shù)n有關，假設nkkN*時，該命題成立，那么可推得nk1時該命題也成立如今當n5時，該命題不成立，那么可推得A當n6時該命題不成立B當n6時該命題成立C當n4時該命題不成立D當n4時該命題成立5用數(shù)學歸納法證明命題“當n是正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除，在第二步的證明時，正確的證法是A假設nkkN*時命題成立，證明nk1時命題也成立B假設nkk是正奇數(shù)時命題成立，證明nk1時命題也成立C假設nkk是正奇數(shù)時命題成立

9、，證明nk2時命題也成立D假設n2k1kN時命題成立，證明nk1時命題也成立6凸n邊形有fn條對角線，那么凸n1邊形對角線的條數(shù)fn1為Afnn1 BfnnCfnn1 Dfnn2二、填空題7 用數(shù)學歸納法證明n1n2nn2n·1·32n1nN*時，從“nk到nk1左邊需增乘的代數(shù)式為A2k1 B22k1C D8數(shù)列，通過計算得S1，S2，S3，由此可猜測Sn_.9用數(shù)學歸納法證明：1，第一步應驗證的等式是_三、解答題10 數(shù)列an滿足Sn2nannN*1計算a1、a2、a3，并猜測an的通項公式；2用數(shù)學歸納法證明1中的猜測才能提升一、選擇題11用數(shù)學歸納法證明123n2，那么當nk1時左端應在nk的根底上加上Ak21Bk12CDk21k22k23k1212設凸k邊形的內(nèi)角和為fk，那么凸k1邊形的內(nèi)角和fk1fk_.A2 BC D13 用數(shù)學歸納法證明“n3n13n23nN*能被9整除，要利用歸納假設證nk1時的情況，只需展開Ak33 Bk23Ck13 Dk13k2314 觀察以下各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，那么歸納猜測a7b7A26 B27C28 D29二、填空題15用數(shù)學歸納法證明“