數(shù)學(xué)分析最新版本VIP

1、. 1. 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則; 2. 熟練掌握反函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則熟練掌握反函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則; 3. 熟記基本初等函數(shù)與常見的初等函熟記基本初等函數(shù)與常見的初等函 數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式; 4. 了解高階導(dǎo)數(shù)的定義和高階導(dǎo)數(shù)的了解高階導(dǎo)數(shù)的定義和高階導(dǎo)數(shù)的 運(yùn)算法則運(yùn)算法則,包括高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲包括高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲 5. 掌握導(dǎo)數(shù)和微分的基本應(yīng)用。掌握導(dǎo)數(shù)和微分的基本應(yīng)用。 第五章第五章 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)教學(xué)要求教學(xué)要求：下頁(yè).第第 五五 章章 導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)與與微微分分 1 1 導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)概概念念 在第一章我們研究了函數(shù)，函數(shù)的概念刻畫了因變量隨自變量變化

2、的依賴關(guān)系，但是，對(duì)研究運(yùn)動(dòng)過(guò)程來(lái)說(shuō)，僅知道變量之間的依賴關(guān)系是不夠的，還需要進(jìn)一步知道因變量隨自變量變化的快慢程度，比如我國(guó)的衛(wèi)星發(fā)射技術(shù)已進(jìn)入世界先進(jìn)行列，并且即將發(fā)射載人宇宙飛船，火箭升空過(guò)程中飛行速度的變化非?？?，我們對(duì)它每時(shí)每刻的飛行速度都必須準(zhǔn)確的把握，才能確?；鸺郎?zhǔn)時(shí)進(jìn)入預(yù)定的軌道，可見研究物體每時(shí)每刻的速度是很重要的，掌握速度變化規(guī)律是科學(xué)技術(shù)中的一個(gè)重要課題。 下頁(yè).變變速速運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)物物體體的的速速度度問(wèn)問(wèn)題題 在中學(xué)里我們學(xué)過(guò)平均速度 ts， 平均速度只能使我們對(duì)物體在一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)大致情況有個(gè)了解， 這不但對(duì)于火箭發(fā)射控制不夠，就是對(duì)于比火箭速度慢的多的火車、汽車運(yùn)行情

3、況也是不夠的，火車上坡、下坡、轉(zhuǎn)彎、穿隧道時(shí)速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不僅要掌握火箭的度，而且要掌握火箭飛行速度的變化規(guī)律。 不過(guò)瞬時(shí)速度的概念并不神秘， 它可以通過(guò)平均速度的概念來(lái)把握。根據(jù)牛頓第一運(yùn)動(dòng)定理，物體運(yùn)動(dòng)具有慣性，不管它的速度變化多么快，在一段充分短的時(shí)間內(nèi)，它的速度變化總是不大的，可以近似看成勻速運(yùn)動(dòng)。通常把這種近似代替稱為“以勻代不勻”。 設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的路程是時(shí)間的函數(shù) )(tS，則在 0t到 t 這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為 0 00 0t tt t) )S S( (t tS S( (t t) )v v 下頁(yè).可以看出 t 與 0t 越接近，平均速度 v 與 0t 時(shí)刻

4、的瞬時(shí)速度越接近，當(dāng) t 無(wú)限接近0t 時(shí)，平均速度 v 就發(fā)生了一個(gè)質(zhì)的飛躍，平均速度轉(zhuǎn)化為物體在 0t 時(shí)刻的瞬時(shí)速度， 即物體在 0t 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為 0 00 0t tt t0 0t tt t) )S S( (t tS S( (t t) )l li im m) )v v( (t t0 0 （1） 按照這種思想和方法計(jì)算自由落體的瞬時(shí)度如下： 因?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為： T T , , 0 0t t, ,g gt t2 21 1s s2 2， 按照上面的公式 0 00 0t tt t0 02 20 02 2t tt t0 00 0t tt tg gt t) )t t( (t t2

5、2g gl li im mt tt tg gt t2 21 1g gt t2 21 1l li im mt tt ts ss sl li im mv v( (t t) )0 00 00 0 這正是我們高中物理上自由落體運(yùn)動(dòng)的速度公式。 0ttt下頁(yè).切切線線問(wèn)問(wèn)題題 設(shè)曲線的方程為 )(xf ，pL 為過(guò)曲線上兩點(diǎn)),(000yxP 與 ),(yxP的割線，則pL的斜率為 0 00 0p px xx x) )f f( (x xf f( (x x) )k k 如圖 (d51) 當(dāng)點(diǎn)),(yxP沿著曲線趨近 ),(000yxP時(shí)，割線 pL 就趨近于點(diǎn)),(000yxP 處的切線，pk 趨近于切線

6、的斜率 K ，因此切 線的斜率應(yīng)定義為 0 00 0 x xx xx xx x) )f f( (x xf f( (x x) )l li im mK K0 0 （2） 上述的速度和切線的例子雖然各有其特殊內(nèi)容 oxy)(xfyT0 xxNM下頁(yè).2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題 割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放下一頁(yè)上一頁(yè).割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置返回.2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置.割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置.2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置.2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的

7、極限位置切線位置切線位置.2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置.二二、導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的定定義義 上述的速度和切線的例子雖然各有其特殊內(nèi)容，但如果撇開它們具體的物理意義，單從數(shù)量關(guān)系上看它們有共同的本質(zhì)，兩者都表示函數(shù)因變量隨自變量變化的快慢程度，即都反映了函數(shù)的變化率 00 xxxx)f(xf(x)lim0 （3） 定義 1、設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)0 x 的某鄰域內(nèi)有定義，若極限 0 00 0 x xx xx xx x) )f f( (x xf f( (x x) )l li im m0 0 存在，則稱函數(shù) f 在點(diǎn)0 x 可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù) f 在點(diǎn)0 x 處的導(dǎo)數(shù)

8、， 000 xxxxxx0|dxdf,|dxdy,|y,)(xf 等. 若上述極限不存在，則稱 f 在點(diǎn)0 x 不可導(dǎo)。 下頁(yè).注：令xxx0，)()(00 xfxxfy，則（3）式可改寫為 ) )( (x xf fx x) )f f( (x xx x) )f f( (x xl li im mx xy yl li im m0 00 00 00 0 x x0 0 x x （4） 所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量y 與自變量增量x 之比xy的極限，這個(gè)增量比稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率（又稱差商），而導(dǎo)數(shù))(0 xf 則為 f 在0 x 處關(guān)于x的變化率，它能夠近似描繪函數(shù))(xfy 在點(diǎn)0 x 附近的變化

9、性態(tài)。 例 1 求函數(shù) 2)(xxf 在點(diǎn)1x 處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程。 解：由定義求得 x x1 1x x) )( (1 1l li im mx xf f( (1 1) )x x) )f f( (1 1l li im m( (1 1) )f f2 20 0 x x0 0 x x 2 2x x) )( (2 2l li im mx xx x2 2x xl li im m0 0 x x2 20 0 x x 下頁(yè).由此知道拋物線 2xy 在點(diǎn)（1，1）處 的切線斜率為 2 2( (1 1) )f fk k 所以切線方程為 1 1) )2 2( (x x1 1y y 即 12

10、xy. 例 2 求函數(shù) xy1 在 00 x 處 的導(dǎo)數(shù) 解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義 20000 x00000 x000 x0 x1x)(xx1limx)(xxxxxxlimxx1xx1lim)(xf 下頁(yè).例3 證明函數(shù) | |x x| |f f( (x x) ) 在點(diǎn) 0 0 x x0 0 處不可導(dǎo). 證: 因?yàn)?0 0 x x, ,1 10 0 x x, ,1 1x xx x0 0 x xf f( (0 0) )f f( (x x) ) 極限 0 xf(0)f(x)lim0 x 不存在，所以)(xf在0 x 處不可導(dǎo). 例4 證明 函數(shù) 0 x,00 x,x1xsinf(x) 在0 x 處不可導(dǎo)

11、 證明 由于極限 0 xf(0)f(x)lim0 x， 不存在,所以f(x)在0 x處不可導(dǎo). yo1/1/x1|x|xyo不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)下頁(yè).例 5 常量函數(shù) c cf f( (x x) ) 在任何一點(diǎn)x x 的導(dǎo)數(shù)都等于零，即 0 0( (x x) )f f 接下來(lái)我們來(lái)了解一下函數(shù)在點(diǎn)0 x 可導(dǎo)與函數(shù) 在點(diǎn)0 x 連續(xù)的關(guān)系，為此先介紹有限增量公式. 由無(wú)窮小量和導(dǎo)數(shù)的定義，（4）式可寫為 o o( (x x) ) )x x( (x xf fy y0 0 我們稱這個(gè)是式子為有限增量公式。 注：此公式對(duì)x x = 0 仍舊成立。 利用有限增量公式，可得下面結(jié)論： 定理

12、1 若函數(shù))(xf在0 x 處可導(dǎo)，則函數(shù))(xf在 0 x 處連續(xù)。但是可導(dǎo)僅是連續(xù)的充分條件，而不是必要條件，比如：函數(shù) | xy 在 0 x 處連續(xù)，但不可導(dǎo)。 例2 證明函數(shù))()(2xDxxf 僅在點(diǎn) 0 x = 0 處可導(dǎo)。其中 )(xD為狄利克雷函數(shù) o (x) )x x(x(xf f0 0下頁(yè).為無(wú)理數(shù)x當(dāng),0為有理數(shù)x當(dāng),1D(x)D(x) 證：當(dāng) x00 時(shí)，由歸結(jié)原理可得 f(x)f(x) 在 0 0 x xx x 處不連續(xù)，所以, 由定理 5.1，x xf(x)f(x) 在 00 0 x xx x 處不可導(dǎo)。 當(dāng) 0 0 x x0 0 時(shí)，由于D(x)D(x) 為有界函

13、數(shù), 因此得到 .0 0 xD(x)xD(x)limlim0 0 x xf(0)f(0)f(x)f(x)limlim(0)(0)f f0 0 x x0 0 x x 下頁(yè).（二二）函函數(shù)數(shù)在在一一點(diǎn)點(diǎn)的的單單側(cè)側(cè)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 類似于函數(shù)在一點(diǎn)有左、右極限, 對(duì)于定義在某個(gè)閉區(qū)間或半開區(qū)間上的函數(shù)，如果要討論改函數(shù)在端點(diǎn)處的變化率時(shí)，就要對(duì)導(dǎo)數(shù)概念加以補(bǔ)充，引出單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念。 定義 2 設(shè)函數(shù) )(xfy 在點(diǎn)0 x 的某右鄰域 ) )x x, ,( (x x0 00 0上有定義，若右極限 x x) )f f( (x x x x) )f f( (x xl li im m x x y yl li im

14、 m0 00 00 0y y0 0 x x (0 x ) 或 00 xxxx)f(xf(x)lim0 (00 xxx) 存在，則稱該極限值為 f 在點(diǎn) x0 的右導(dǎo)數(shù)，記作)(0 xf； 類似地，可定義左導(dǎo)數(shù) x x) )f f( (x x x x) )f f( (x xl li im m) )( (x xf f0 00 00 0 x x0 0_ _ 右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。 下頁(yè).如同左、右極限與極限之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是： 定理5.2 若函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x的某鄰域內(nèi)有定義，則)(0 xf 存在的充分必要條件是：)(, )(00 xfxf 都存在，且 )(0 xf =

15、)(0 xf。 說(shuō)明：分段函數(shù)在分界點(diǎn)處討論導(dǎo)數(shù)便是依據(jù)這一結(jié)論，通過(guò)左、右導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷該點(diǎn)是否存在導(dǎo)數(shù)及若存在應(yīng)等于什么。 例 1lim0|lim) 0 (, |)(00 xxxxfxxfxx 1lim0|lim) 0(00 xxxxfxx 例 討論函數(shù) xxxfsgn)(2 在 0 x 的導(dǎo)數(shù)。 下頁(yè).xy2xy 0 xy 解 0,0,)(22xxxxxf 00lim) 0 (20 xxfx 00lim) 0(20 xxfx 由定理2，0) 0 ( f 連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例 0 x 處是角點(diǎn)，不可導(dǎo) ,0,0,)(2xxxxxf下頁(yè). 0 x 處振蕩，左右導(dǎo)數(shù)都不存在。 ,0 x0,0 x

16、,x1xsinf(x)011/1/xy下頁(yè).（三三）導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù) 若函數(shù)在區(qū)間 I 上每一點(diǎn)都可導(dǎo)（對(duì)區(qū)間端點(diǎn)，僅考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)），則稱f為 I 上的可導(dǎo)函數(shù)。此時(shí)對(duì)每一個(gè)I，都有f的一個(gè)導(dǎo)數(shù))( xf（或單側(cè)導(dǎo)數(shù)）與之對(duì)應(yīng)，這樣就定義了一個(gè)在 I 上的函數(shù)，稱為f在 I 上的導(dǎo)函數(shù)，也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)，記作dxdfdxdyyxf,)( 等. 即 Ix,xf(x)x)f(xlim(x)f0 x. 說(shuō)明：1區(qū)間上的可導(dǎo)概念與連續(xù)一樣，也是逐點(diǎn)定義的局部概念。 2在物理學(xué)中導(dǎo)數(shù) y也常用牛頓記號(hào) y 表示，而記號(hào) dxdy 是萊布尼茨 首先引用的。目前我們把 dxdy 看作為一個(gè)整體，也可把它理解為

17、 dxdy施加于 y 的求導(dǎo)運(yùn)算，待到學(xué)過(guò)“微分”之后，將說(shuō)明這個(gè)記號(hào)實(shí)際上是一個(gè)“商”，相應(yīng)于上述各種表示導(dǎo)數(shù)的形式，。00 xxxx|dxdy或|f 下頁(yè).例6 證明： (i) 為正整數(shù)nnxxnn,)(1; (ii) sinx)(cosx,cosx)(sinx (iii) .x1)(lnx特別, )0 x,1a,0a(logx1)x(logeaa 證：（i）對(duì)于 y = xn, 由于 1nnn2n2n1n1nnnxCxxCxCxxx)(xxy 因此 )xcxxcx(climxylimy1nnn2n2n1n1n0 x0 x = 1n1n1nnxxc 下頁(yè).(ii) 下面證第一個(gè)等式，類似可

18、證第二個(gè)等式，由于 x)2xcos(x2x2sinxsinxx)sin(x = , )2xcos(x2x2xsin 因?yàn)?cosx 是（- , + ）上的連續(xù)函數(shù)，因此得到 )2xcos(xlim2x2xsinlim)(sinx0 x0 x = cosx. (iii) 由于 )xx(1logx1xxlogx)(xlogaaa = ,)xx(1logx1xxa 下頁(yè).所以 eaxxa0 xxalogx1)xx(1logx1lim)(log. 若a = e ,且以e 為底的自然地?cái)?shù)常寫作lnx，則由lne = 1 及上式有 x1)(lnx . 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 我們知道時(shí)的極限即正是割線是割線的切線切線在點(diǎn)00 xxk,xxf(x) 00 xxxx)f(xf(x)limk0 由導(dǎo)數(shù)的定義，)( xfk ，所以曲線 )(xfy 在點(diǎn)),(00yx的切線方程是 )x)(x(xfyy000 （7） 下頁(yè).這就是說(shuō)