子主題三 不定方程的背后

1、子主題三 不定方程的背后學(xué)習(xí)目標結(jié)合實際背景理解不定方程，主要是二元一次不定方程的涵義，認識到不定方程的解法與一元一次的方程的聯(lián)系與區(qū)別，能夠用列舉法求出簡單的二元一次不定方程的正整數(shù)解經(jīng)歷從具體問題得到不定方程（二元一次方程）概念的過程，類比一元一次方程的解法得到二元一次不定方程、三元一次不定方程的解法，進一步理解和掌握探究問題的基本辦法和步驟，提高探究問題的能力 在探究活動中，進一步認識到方程作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的價值，增強合作交流意識和利用已有知識、方法進行自主探究意識與能力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣重難點分析不定方程概念和不定方程的解法不定方程也是“含有未知量的等式”，學(xué)習(xí)不定方程的概念

2、重點是讓學(xué)生理解方程就是一種刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，形成一種事物之間是聯(lián)系和可以互相轉(zhuǎn)化的意識；解二元一次不定方程可以利用一元一次方程的各種諸如移項、兩邊同做某個運算等變形手段，不同的是，二元一次不定方程的解的個數(shù)不唯一，在遇到具體問題時可以結(jié)合現(xiàn)實意義以列舉法的形式給出不定方程的解的確定性和不定性一個不定方程的解具有確定性，所謂確定性，指的是不定方程把一個現(xiàn)實情境中的不同量間的等量關(guān)系確定了出來；然而，不定方程的解有具有不定性，因為這里不再關(guān)注具體的數(shù)值解，而是關(guān)注不同量的關(guān)系，這是進入初中后，數(shù)學(xué)視角的一次重要改變對于大多數(shù)思維仍然處于“具體運算階段”的初一學(xué)生來說，完成這一轉(zhuǎn)

3、變是困難的，可以通過一些具體的不定方程，主要是二元一次不定方程的多個數(shù)值解讓學(xué)生理解讓學(xué)生通過“一個二元一次不定方程的一個未知量的值決定了另一個未知量的值”理解“確定性”；通過“一個二元一次不定方程有多個解，遇到具體情形做出合理的選擇就可以了”來理解“不定性” 活動建議方案s不定方程的背后活動建議方案一、活動流程框圖課題引入卡車運煤問題幾個趣味問題二、活動過程2.1活動任務(wù)學(xué)生通過小組合作解決一些二元一次不定方程問題，理解不定方程的概念，認識到方程的實質(zhì)是表示了不同量之間的等量關(guān)系，在數(shù)學(xué)中可以借助方程等式變形手段完成這些量間的相互轉(zhuǎn)化，進而解決問題本探究子主題設(shè)計以下兩個活動：2.2活動1：

4、卡車運煤問題活動內(nèi)容第一步：提出探究任務(wù)出示問題情境（卡車問題，見媒體資源），請同學(xué)解決第二步：分組探究小組對上述問題進行探究，可以給出如下小組建議：第一，每位同學(xué)首先獨立思考，然后把自己解決問題的方法、困惑和啟示與小組交流；第二，試著把卡車問題用方程表示，比較這一方程與前面學(xué)習(xí)的方程的聯(lián)系與區(qū)別，思考這類方程的解法；第三，各組記錄自己的探究過程，特別是同組同學(xué)有爭議或者最有啟發(fā)的地方，與全班交流第三步：集體交流選擇12個小組的同學(xué)匯報自己的探究結(jié)果，全班討論，老師帶領(lǐng)全班同學(xué)做出總結(jié)，建議從如下幾個方面做出總結(jié)：第一，不定方程的概念：象上面方程那樣，如果一個方程未知數(shù)的個數(shù)一個，這樣的方程叫

5、做不定方程，最早對不定方程進行研究的數(shù)學(xué)家是丟番圖，所以不定方程又叫做丟番圖方程第二，不定方程的作用：一個不定方程的作用在于未知量之間的關(guān)系表達了出來，第三，二元不等方程的解：對于一個二元一次不等方程來說，給出其中一個未知量的值，就可以得到另一個量的值，兩者之間是一一對應(yīng)的，兩個值共同構(gòu)成了一個二元一次不等方程的解；在許多情形下，我們經(jīng)常用特定的方法（如列舉法）得到符合現(xiàn)實要求的不定方程的解參考資料1不定方程在方程（組）中，未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)的方程（組）叫做不定方程（組）由于第一個大量研究不定方程的數(shù)學(xué)家是丟番圖，所以不定方程又叫做丟番圖方程如方程“”就是一個不定方程，對于每一個y 的值

6、，x必有一個相應(yīng)的值與它對應(yīng)如y=1時，x=2；y=2時，x=0.5，可見，不定方程的解有無窮多組2最早的不定方程世界上最早提出不定方程的，是我國古代的數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)西方數(shù)學(xué)界傳統(tǒng)認為，最早研究不定方程的是巴比倫人丟番圖事實上，他要比九章算術(shù)晚兩百多年九章算術(shù)“方程”部分內(nèi)提出這樣一個問題：“今有五家共井，甲二綆不足如乙一綆；乙三綆不足如丙一綆；丙四綆不足如丁一綆；丁五綆不足如戊一綆；戊六綆不足如甲一綆；各得所不足一綆皆逮問：井深綆長各幾何？”意思是說五家人共用一井，甲用繩量井深，繩子的二倍尚不夠，所缺恰好等于乙繩長，乙用繩子的三倍尚不夠，所缺恰與丙之繩長一致，依次類推，問井深繩子各多少這事

7、實上就是一個不定方程，如果我們分別設(shè)甲、乙等繩長為x、y，就得到一個五元一次方程組：2x+y = 3yz = 4z+w=5w十u=6ux這個方程組的答案不難得到九章算術(shù)原書附有答案：井深七丈二尺一寸，甲乙丙丁戊綆長分別為二丈六尺五，一丈九尺一，一丈四尺八，一丈二尺九，七尺六寸活動組織方式活動主要采用小組合作探究的方式教師提出活動任務(wù)，并適當引導(dǎo)、啟發(fā)；學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上進行小組合作探究，完成探究任務(wù)；全班交流、總結(jié)，師生共同提煉探究結(jié)果活動評價方式活動主要采用小組合作探究的方式教師提出活動任務(wù)，并適當引導(dǎo)、啟發(fā)；學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上進行小組合作探究，完成探究任務(wù)；全班交流、總結(jié)，師生共同

8、提煉探究結(jié)果所需學(xué)習(xí)資源不定方程.doc卡車問題.swf巧裝乒乓球.jpg巧裝乒乓球（答案）.doc如何選用汽車.jpg如何選用汽車（答案）.doc所需學(xué)習(xí)時間15分鐘2.3活動2：幾個趣味問題活動內(nèi)容第一步：提出探究任務(wù)出示幾個趣味：租船問題、蟋蟀與蜘蛛問題、百雞問題（見媒體資源），請同學(xué)解決第二步：分組探究小組對上述問題進行探究，可以給出如下小組建議：第一，每位同學(xué)首先獨立思考，然后把自己解決問題的方法、困惑和啟示與小組交流；第二，試著每個問題用不定方程表示，根據(jù)實際情形給出答案，試著總結(jié)解決這類方程的方法；第三，百雞問題與另外兩個問題相比有何不同，解題方法能否從前面的問題中獲得借鑒；第四

9、，各組記錄自己的探究過程，特別是同組同學(xué)有爭議或者最有啟發(fā)的地方，與全班交流第三步：集體交流選擇23個小組的同學(xué)匯報自己的探究結(jié)果，全班討論，老師帶領(lǐng)全班同學(xué)做出總結(jié)，建議從如下幾個方面進行總結(jié)：第一，二元一次不定方程的解法：可以把一個未知量通過等式性質(zhì)用另一個量表示出來；在結(jié)合具體情形寫出所有符合實際情況的解；第二，三元一次不等方程的解法：與二元一次不定方程的解類似參考資料張邱建與張邱建算經(jīng)張邱建，北魏清河（今邢臺市清河縣）人,約公元5世紀，著名的大數(shù)學(xué)家。他從小聰明好學(xué)，酷愛算術(shù)。一生從事數(shù)學(xué)研究，造詣很深?！鞍匐u問題”是中古時期，關(guān)于不定方程整數(shù)的典型問題，邱建對此有精湛和獨到的見解。著

10、有張邱建算經(jīng)3卷。后世學(xué)者北周甄鸞、唐李淳風相繼為該書作了注釋。劉孝孫為算經(jīng)撰了細草。算經(jīng)的體例為問答式，條理精密，文詞古雅，是中國古代數(shù)學(xué)史上的杰作，也是世界數(shù)學(xué)資料庫中的一份遺產(chǎn)。張丘建算經(jīng)現(xiàn)傳本有92問，比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計算，各種等差數(shù)列問題的解決、某些不定方程問題求解等?！鞍匐u問題”是張邱建算經(jīng)中的一個世界著名的不定方程問題，它給出了由三個未知量的兩個方程組成的不定方程組的解。百雞問題是：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁母雛各幾何。”張邱建給出的解法也很簡單先進，解法只有15個字：“雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三，

11、即得”這個解法怎么來的呢？用代數(shù)方法來說明這一點： 設(shè)公雞為x只，母雞y只，小雞z只，則有：變形可得：解得：為了得到正整數(shù)解，令：當t=1，2，3時，即得到三組整數(shù)解：，自張邱建以後，中國數(shù)學(xué)家對百雞問題的研究不斷深入，百雞問題也幾乎成了不定方程的代名詞，從宋代到清代圍繞百雞問題的數(shù)學(xué)研究取得了很好的成就。張邱建算經(jīng)中的“百雞問題”是世界上首次提出的三元一次不定方程及其一種解法，它是我國乃至全世界古代數(shù)學(xué)史中的一個奇葩這比歐州發(fā)現(xiàn)和研究這個問題要早一千多年活動組織方式活動主要采用小組合作探究的方式教師提出活動任務(wù)，并適當引導(dǎo)、啟發(fā)；學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上進行小組合作探究，完成探究任務(wù)；全班交流

12、、總結(jié)，師生共同提煉探究結(jié)果活動評價方式所有活動都完成后，師、生對探究活動進行過程性評價和效果性評價，包括學(xué)生自評和教師評價學(xué)生完成效果測試，并根據(jù)過程性學(xué)習(xí)評價表和效果測試對自己的探究過程和結(jié)果進行自評；教師根據(jù)學(xué)生的探究過程、匯報和交流的情況，并參考學(xué)生自評的過程性學(xué)習(xí)評價表，以及學(xué)生完成的效果測試的情況對學(xué)生進行評價所需學(xué)習(xí)資源蜘蛛.jpg蟋蟀.jpg蜘蛛與蟋蟀（答案）.doc租船問題.jpg租船問題（答案）.doc數(shù)字問題.doc如何使錢正好用完.doc百雞問題.swf張邱建算經(jīng).jpg買水果.swf買筆問題.doc宿舍問題.doc所需學(xué)習(xí)時間25分鐘媒體資源學(xué)習(xí)評價“丟藩都方程”過程性學(xué)習(xí)評價表學(xué)習(xí)效果測試 姓名_用不定方程的方法解決下面各題：1）. 2元和5元紙幣一共有30元，問2元和5元紙幣共多少張？2）. 一個工人將100顆彈子裝入兩種盒子中，每個大盒子裝12顆，小盒子裝5顆，恰好裝完，已知盒子數(shù)大于10，兩種盒子各有多少？3）. 一次數(shù)學(xué)競賽準備了22只鉛筆作為獎品發(fā)給一、二等獎的學(xué)生，原計劃發(fā)給一等獎每人6只，二等獎每人3只，后來改為一等獎每人9只，二等獎每人4只，一、二等獎的