九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)思維特訓(xùn)(九)　拋物線背景下線段和(差)的最值問(wèn)題

1、.思維特訓(xùn)九拋物線背景下線段和差的最值問(wèn)題類(lèi)型一二次函數(shù)中的“飲馬問(wèn)題根本原理：兩點(diǎn)之間，線段最短解題思路：利用拋物線自身的軸對(duì)稱(chēng)性找到拋物線上某點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)化“折為“直，再結(jié)合函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決1如圖91，拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)A1，0，B3，0，C0，3三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸1求拋物線的解析式；2設(shè)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PAPC最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)圖912如圖92，拋物線yax2bx3經(jīng)過(guò)A1，0，B4，0兩點(diǎn)1求拋物線的解析式2在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長(zhǎng)最??？假設(shè)存在，求出四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖923如

2、圖93，拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)A3，0，B1，0，C0，3三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸是直線l，l與x軸交于點(diǎn)H.1求該拋物線的解析式；2PQ是該拋物線對(duì)稱(chēng)軸l上的動(dòng)線段，且PQ1，求PCQB的最小值圖93類(lèi)型二二次函數(shù)中線段差的最大值問(wèn)題根本原理：三角形任何兩邊之差小于第三邊解題思路：先根據(jù)原理確定線段差的最值問(wèn)題時(shí)的圖形，再根據(jù)條件進(jìn)展求解4如圖94，拋物線yx2bxc過(guò)點(diǎn)A3，0，B1，0，交y軸于點(diǎn)C，P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合，過(guò)點(diǎn)P作PDy軸交直線AC于點(diǎn)D.1求拋物線的解析式2當(dāng)D在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中線段PD長(zhǎng)度的最大

3、值3在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M，使|MAMC|的值最大？假設(shè)存在，懇求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖9452019·眉山：如圖95，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B，C分別為坐標(biāo)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且OA1，OB3，OC4，1求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式2在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，B，C，P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？假設(shè)存在，懇求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由3假設(shè)M為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在2的條件下，懇求出當(dāng)|PMAM|取最大值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出|PMAM|的最大值圖956：如圖96，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線yx6與x軸、y軸的交

4、點(diǎn)分別為A，B，將OBA對(duì)折，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H落在直線AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C.1直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式2假設(shè)1中拋物線的頂點(diǎn)為D，在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由3假設(shè)把1中的拋物線向左平移3.5個(gè)單位長(zhǎng)度，那么圖象與x軸交于G，N點(diǎn)G在點(diǎn)N的左側(cè)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E，那么在此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到E，N兩點(diǎn)的間隔 之差最大？假設(shè)存在，懇求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖96典題講評(píng)與答案詳析1解：1拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)C0，3，c3.拋物線yax2bx3經(jīng)過(guò)

5、A1，0，B3，0，解得拋物線的解析式為yx22x3.2yx22x3x124，對(duì)稱(chēng)軸為直線x1.A，B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，PAPC最小時(shí)，點(diǎn)P就是直線BC與直線l的交點(diǎn)如圖B3，0，C0，3，直線BC的解析式為yx3.點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P可設(shè)為1，m將1，m代入yx3，可得m2，P1，22解：1由，得解得拋物線的解析式為yx2x3.2A，B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，如圖，連接BC，BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，此時(shí)PAPCBC，四邊形PAOC的周長(zhǎng)的最小值為OCOABC.A1，0，B4，0，C0，3，OA1，OC3，BC5，OCOABC3159，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P，

6、使得四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小，四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值為9.3解：1拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)C0，3，c3.拋物線yax2bx3經(jīng)過(guò)A3，0，B1，0，拋物線的解析式為yx22x3.2過(guò)點(diǎn)C作直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EGAB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作QFPE，交EG于點(diǎn)F，連接FB，如圖，那么有PCPE，EFPQ.EFPQ，QFPE，四邊形EFQP是平行四邊形，EFPQ1，PEFQ，PCFQ，PCQBFQQB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得FQQB即PCQB的最小值為FB.拋物線yx22x3的對(duì)稱(chēng)軸為直線x1，C0，3，點(diǎn)E的坐標(biāo)為2，3，點(diǎn)F的坐標(biāo)為2，2在RtFGB中，F(xiàn)G2，GB123，根據(jù)勾股定理

7、可得FB.PCQB的最小值為.4解：1拋物線yx2bxc過(guò)點(diǎn)A3，0，B1，0，解得拋物線的解析式為yx24x3.2令x0，那么y3，點(diǎn)C0，3，那么直線AC的解析式為yx3.設(shè)點(diǎn)Px，x24x3PDy軸，Dx，x3，PDx3x24x3x23xx20<x<3a10，當(dāng)x時(shí)，線段PD的長(zhǎng)度有最大值.3拋物線的對(duì)稱(chēng)軸垂直平分AB，MAMB.由三角形的三邊關(guān)系，可知|MBMC|BC，當(dāng)M，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，|MBMC|的值最大，為BC的長(zhǎng)度設(shè)直線BC的解析式為ykxmk0，那么解得直線BC的解析式為y3x3.拋物線yx24x3的對(duì)稱(chēng)軸為直線x2，當(dāng)x2時(shí)，y3×233，M2，3

8、，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)M2，3，使|MAMC|的值最大5解：1設(shè)拋物線的解析式為yax2bxc.由題意易知A1，0，B0，3，C4，0，解得經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為yx2x3.2存在OB3，OC4，OA1，BCAC5，AB.如圖，當(dāng)BP綊AC時(shí)，四邊形ACBP為菱形，BPAC5，且點(diǎn)P到x軸的間隔 等于OB，點(diǎn)P的坐標(biāo)為5，3當(dāng)點(diǎn)P在第二、三象限時(shí)，以點(diǎn)A，B，C，P為頂點(diǎn)的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為5，3時(shí)，以點(diǎn)A，B，C，P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形3設(shè)直線PA的解析式為ykxmk0點(diǎn)A1，0，P5，3在直線PA上，解得直線PA的解析式為yx.當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P，

9、A不在同一直線上時(shí)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知|PMAM|<PA，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P，A在同一直線上時(shí)，|PMAM|PA，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P，A在同一直線上時(shí)，|PMAM|的值最大，即M為直線PA與拋物線的交點(diǎn)解方程組得點(diǎn)M的坐標(biāo)為1，0或5，時(shí)，|PMAM|的值最大此時(shí)|PMAM|的最大值為5.6解：1如圖，連接CH.由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得CHAB，BHBO，CHCO，在RtCHA中，由勾股定理，得AC2CH2AH2.直線yx6與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)x0時(shí)，y6，當(dāng)y0時(shí)，x8，B0，6，A8，0，BO6，OA8，在RtAOB中，由勾股定理，得AB10.設(shè)Cp，0，那么OCp，CHp，AH4，AC8p，8p2p242，解得p3，C3，0設(shè)拋物線的解析式為yax2bxc.由題意，得解得拋物線的解析式為yx2x6.2不存在理由：如圖，設(shè)拋物線對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)F.yx2x6，D，DF.設(shè)直線BC的解析式為ykxb，那么有解得直線BC的解析式為y2x6.設(shè)存在點(diǎn)P使四邊形ODAP是平行四邊形，Pm，n過(guò)點(diǎn)P作PMOA于點(diǎn)M，那么PMOAFD90°，PODA，PODA，POMDAF，OPMADF，PMDFn，2m6，m，但OMAF8，點(diǎn)P不在直線BC上，即直線BC上不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P.3由題意得，