山大數(shù)學(xué)分析試題

1、20XX試題、 填空。1. limfnn322飛n(n 1)2 ?2嘰一1x)x3.設(shè) x 3cost,y2sint(0t 2 ),則 4dx41 xx ln(x21)'12 dx1 x5.設(shè)r、x2 y2,則x2rdxdy ?y2 166設(shè)2表示橢圓-421 正向，貝y(x y)dx (x9y)dy ?7級(jí)數(shù)3(1n 1nx)n的收斂范圍為?8.設(shè) f(x) (1 x)ln(1x),則 f(n) (0)?x1. 設(shè)f (x)在a,b上可積，令F(x) f (t)dt,證明：F(x)在a,b上連續(xù)。a22. 求 0 e x cos(2 x) dx(為實(shí)數(shù))。3試求級(jí)數(shù)n2xn的和函數(shù)。

2、n 1三、任選兩題。bb 11. 設(shè) f (x)在a,b上連續(xù)且 f(x) 0,證明： f(x)dx dx (b a)2.aa f(x)2求 2 cosn0xsinnxdx (n1為正整數(shù))3. 設(shè)f (x), g(x)在 0,) 上 可微且滿足(1”im f (x)A(0 A),(2)limg(x)g(x).求xx證：存在數(shù)列 G ( Cn,n)使得 f (Cn)g (Cn) g(Cn)f(Cn).20XX試題、1.lim0S2X_lx 0 x sin x2. lim -n In!nn23.設(shè) u xln(xy),則 Ux4x-J cos2xdx ?.012 x25. 交換積分順序odxx

3、f(x,y)dy ?(3, 4)6. xdx ydy ?(0,1)7. n(n 1)xn的和函數(shù)為？n 18. 設(shè) f (x) arctanx,則嚴(yán)n 珥。)?1敘述函數(shù)f(x)在a,b上一致連續(xù)和不一致連續(xù)的型語(yǔ)言。2計(jì)算定積分e x2dx.03敘述并證明連續(xù)函數(shù)的中間值定理。三、本題任選兩題。1設(shè)f(x, y)處處具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)且f(1,0) f( 1,0).試證在單位圓上存在兩點(diǎn)(my)和(X2,y2)滿足下列兩式：Xi fy(Xi, yi) yifx(Xi,yJ 0,i1,2.2.設(shè) f (x)在0,)上連續(xù)0,女口 果2 2f(x)f(y)f(z) x yf(z) y zf(x

4、)z2xf (y),求證:f(x)dx 呂2.23.設(shè)f(x)在(0,)上連續(xù)可微,且lim丄兇0.求證：存在序列Xn使得Xn且 f (Xn)0.20XX試題2圓上存在兩點(diǎn)(my)和(X2,y2)滿足下列兩式：2圓上存在兩點(diǎn)(my)和(X2,y2)滿足下列兩式：、1. lim 3n 5n 7nn1sinx、土2. lim ()xx 0 0、 x123. 設(shè) f (x) e(x1)(x 1), f(1) 0,求 f (1)4.設(shè) x a cos31, y a si n3t,求dx5.設(shè) f (x) arctanx,求 fa1"。)?2圓上存在兩點(diǎn)(my)和(X2,y2)滿足下列兩式：2

5、圓上存在兩點(diǎn)(my)和(X2,y2)滿足下列兩式：4 (正向)。6. (x y3)dx (x y)dy,其中 C: x2 y2C7. (x7excosx)dx ?8求 VX%的值其中V是由X 0,y 0'Z 0與X y Z 1所圍成的四面體。axbxe e二、I.dx(b a 0)。0 x2.設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上二階可導(dǎo)且f (x) 0,證明：對(duì)任何Xi,X2a,b,有 f(X 2八2)X2、f (X1) f (X2)23.設(shè)有界函數(shù)f(x)在a,b上的不連續(xù)點(diǎn)為Xnni，且limxn存在，證明: nf(x)在a,b上可積。三、1.設(shè)b a 0,試證:b sinx

6、,dx a x3.2.設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),且 f (x)0,證明:b f (x)dx '- dx (b a)2.aa f (x)3.設(shè)f(x)在a,b上可導(dǎo),且 f (a)f (b).證明：對(duì)任何 r (f (a), f (b),存在 Xo (a,b),使得 f (xo) r.Xo20XX試題1. 設(shè)f(x)在(a,b)上可微，f (x)在(a,b)上單調(diào)，求證：f (x)在(a,b)上 連續(xù)。2. 設(shè) f (x)在a,b上連續(xù),x a,b,(f (x)n 收斂，求證：(f (x)n在n 1n 1a,b上一致收斂。3. 設(shè)f(x)在圓盤(pán)x2 y2 1上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且f(x)在

7、其邊界上為0,求證：f(0,0) lim dxdy,其中 S (x, y): 2 x2 y21.0 2 S x y4. 設(shè)f(x)在(，)上無(wú)窮次可微，且f(x) -(xn)(n),證明：當(dāng)k n 1 時(shí)，x,s.t lim f (k)(x) 0.x5. 設(shè)f (x) 0 sin ntdt,求證：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f(x)是以2為周期的周期 函數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f(x)是一線性函數(shù)與一以2為周期的周期 函數(shù)之和。6. 設(shè) f(x)在(,)上無(wú)窮次可微；f(0)f(0) 0,Jim fn(x) 0.證明：Xnn1, n,0 Xn Xn 1, S.t. fXn) 0.7. 設(shè) f(x)在(a,)上連續(xù)

8、，且 lim si n( f (x) 1.求證：lim f (x).xx20XX試題1. 敘述數(shù)列a”發(fā)散的定義，并證明數(shù)列cos n發(fā)散。2. 設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，對(duì)x a,b,定義m(x) inf f (t).證明：設(shè)m(x)在a t xa,b上連續(xù)。3. 設(shè)f (x)在(,c)內(nèi)可導(dǎo)，且 lim f(x) lim f(x) A.求證：存在一點(diǎn)xx c(,c)s.t f ( ) 0.34. 設(shè)f(x)在(0,1上連續(xù)，可導(dǎo)，并且lim f (x).求證：f(x)在(0,1上 一致連續(xù)。5. 設(shè) an 0, n 1,2,3 ,且有 lim n(電 1) c 0,求證：(1)n &am

9、p; 收斂。nan 1n 12 彳6. 求級(jí)數(shù)n口的和。n 127. 設(shè) f(x)在0,1上二階可導(dǎo)，且有 f (0)f(1) 0, minf (x)-.證明：x 0,12(0,1),s.t f ( )4.8. 證明：對(duì)于任意0, 0 e( in tdx關(guān)于t (0,) 一致收斂。9. 設(shè)f(x)在a,b c,d上連續(xù)，函數(shù)列n(x)在a,b上一致收斂，且a n(x) b,函數(shù)列n(x)在a,b上一致收斂，且cn(x) d,求證：函數(shù)列Fn f( n(x), n(x)在a,b上一致收斂。t 110. 設(shè)f (x)在0,1上可積，且在x 1處連續(xù)，證明：lim 0xnf(x)dx f (1).n

10、 0311. 設(shè)A G)33是實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣，是橢球體：ajXjXj 1,求 的體i,j 1積。n12.設(shè)G)是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣，定義IKn上的齊二次函數(shù)h(x)ajXXj證i,j 1n明：函數(shù)h(x)在條件x2i 1下的最小值是A的最小特征值。113.計(jì)算積分：I (y2 z2)dx (z2 x2)dy (x2 y2)dz,其中 為平面 x y z 3和立方體0 x a,0 y a,0 z a的交線，站在第一象限 x y z 3處看為逆時(shí)針?lè)较颉?20XX試題一、1.求極限lim a1一2aJ旦，其中l(wèi)im an a.nnn122求極限 lim e x(1 -)x .Xx3證明區(qū)間(0, 1

11、)和(0,)具有相同的基數(shù)(勢(shì))。4. 計(jì)算積分：J一dxdy,其中D是由x 0, y 1, y x所圍成的區(qū)域。d y x5. 計(jì)算：I 彎 ：dy,C:x2 2y2 1方向?yàn)槟鏁r(shí)針。C x y6設(shè) a 0,b 0,證明：(L)b1 (導(dǎo).b 1 b二、設(shè)f (x)為a, b上的有界可測(cè)函數(shù)且f2(x)dx 0,證明:f(x)在a,ba,b上幾乎處處為零。三、 設(shè)f(x)在(0,)內(nèi)連續(xù)且有界，試討論f(x)在(0,)內(nèi)的一致連續(xù)性。四、設(shè) f (x, y)2x y0,x2y2 00，討論f (x, y)在原點(diǎn)的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)存在性與可微性。設(shè) f (x)在(a,b)內(nèi)二次可微，求證(a,b

12、),stf(b) 2f呼)f(a)叮4).六、 f(x) 在 氏上二次可， x 丘，f (x)0,又x° R, f («) 0, Jim f (x)0, Jim f (x)0.證明：f(x)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)。七、設(shè)f(x)和g(x)在a,b內(nèi)可積，證明：對(duì)a,b的任意分割:a x0x-iX2Xn b, i, i x,Xii,i0,1,2，n 1.i)ba f(x)g(x)dx.a八、求級(jí)數(shù):1)n3n1九、試討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)xn2e n x(n11)2e (n 1)2x2在區(qū)間(0,1)和(1,)上的一致收斂性。十、計(jì)算I(x2dydzy2dzdx z2dxdy),其中為圓錐

13、曲面x2y2 z2 被平面z 0與z 2所接部分的外側(cè)。十、設(shè) f(x)在0,1上單調(diào)增加，且 f(0) 0, f(1) 1.0,1, s.t.f( )3十二、設(shè)f (x)在0,)上連續(xù)，<n(x)dx絕對(duì)收斂，nim 0f (x) (x)dx f (1) (x)dx. nc十三、設(shè)an0,證明:當(dāng)下極限limnln(丄)inf 乩1時(shí)，級(jí)數(shù)務(wù)收斂。 ln n當(dāng)上極限lim1 ln( ) an sup nln n1時(shí)，級(jí)數(shù)an發(fā)散。1.求 lim(cot x)sinx.x 02.2 x2a2 y b23.4.證明:limn5.f (a)6.f(x, y)7.8.9.20XX試題2dxdydzV :十 ca2 y b21.jExdx 0.f (b) 0, f (x)有4(b a)2f(b)xyLx0,