期末點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦

1、利用點(diǎn)差法求解圓錐曲線中點(diǎn)弦問題例1：求弦中點(diǎn)的軌跡方程已知點(diǎn)是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線的方程。解：設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為，則有，兩式相減，得：，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以有： ，所以，故所求直線的方程為，即 。變式訓(xùn)練1、過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。 （。）例2、存在性問題 已知雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由。策略：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線，然后驗(yàn)證它是否滿足題設(shè)的條件。本題屬于中點(diǎn)弦問題，應(yīng)考慮點(diǎn)差法或韋達(dá)定理。解：設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦，且、則，兩式相減

2、，得故直線由消去，得這說明直線與雙曲線不相交，故被點(diǎn)平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。變式訓(xùn)練2：已知雙曲線，過能否作直線，使與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，這樣的直線如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由. （直線不存在）例3平行弦中點(diǎn)軌跡，過定點(diǎn)弦中點(diǎn)軌跡已知橢圓，求斜率為的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為.則，（1），（2）得：，.又，.弦中點(diǎn)軌跡在已知橢圓內(nèi)，所求弦中點(diǎn)的軌跡方程為（在已知橢圓內(nèi)）.變式訓(xùn)練3-1已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程。3-2直線（是參數(shù)）與拋物線的相交弦是，則弦的中點(diǎn)軌跡方程是 .(.)3-3過橢圓上一點(diǎn)P（-8

3、，0）作直線交橢圓于Q點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程。（ （） ）例4求曲線方程已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是，有一條傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，求橢圓方程.解：設(shè)，則，且，（1），（2）得：，（3）又，（4）而，（5）由（3），（4），（5）可得，所求橢圓方程為.變式訓(xùn)練4.已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，其中，且的重心是拋物線的焦點(diǎn)，求直線的方程.（.）例5求直線斜率已知橢圓上不同的三點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列.（1）求證：；（2）若線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，求直線的斜率.（1）證略.（2）解：，設(shè)線段的中點(diǎn)為.又在橢圓上，（1），（2）得：，.直線的斜率，直線的方程為.令，得，即，直線的斜

4、率例6、圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問題已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱。解：設(shè)，為橢圓上關(guān)于直線的對(duì)稱兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則，兩式相減得，即，這就是弦中點(diǎn)軌跡方程。它與直線的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi)聯(lián)立，得則必須滿足，即，解得變式訓(xùn)練6 若拋物線上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 綜合性問題例7、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程。解：設(shè)橢圓的方程為，則設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則， ，又，兩式相減得即 聯(lián)立解得，所求橢圓的方程是例8已知是橢圓不垂直于軸的任意一條弦，是的中點(diǎn)，為橢圓的中心.求證：直線和直線的斜率之積是定值.證明：設(shè)且，則，（1），（2）得：，.又，（定值）例9.已知橢圓C:經(jīng)過M，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，且,O為橢圓C的中心。（1）求橢圓 C的方程（2）設(shè)P,Q是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，且O為的重心，試求的面積此題請(qǐng)學(xué)生講解，這種方法不僅可以吸引學(xué)生聽講，也可增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力。解：（1）由橢圓的定義知