無窮大量與無窮小量極限的運算法則

1、第五講 授課題目：2.4無窮大量與無窮小量；2.5極限的運算法則。 教學目的與要求：1、理解無窮大與無窮小的概念，弄清無窮大與無窮小的關系；2、掌握極限的運算法則。 教學重點與難點：1、無窮大與無窮小的概念、相互關系；2、用極限的運算法則求極限。 講授內容：2.4無窮大量與無窮小量一、無窮大的概念：引例：討論函數(shù) ，當 時的變化趨勢。當 時， 越來越大(任意大)，即：，要 ，也即：，當 時，有：。定義2.9：，變量在其變化過程中，總有一時刻，在那個時刻以后，成立，則稱變量是無窮大量，或稱變量趨于無窮大，記：。如：，。注 1. 若：，則習慣地稱此時的極限為無窮(大)；2.無窮大不能與很大的數(shù)混淆

2、； 3.無窮大與無界變量的區(qū)別；例如： 當時，無界，但非無窮大，時，為有限數(shù)。例1 函數(shù) 又當 時，此函數(shù)是否為無窮大？為什么？ 解 用反證法若：當時，非無窮大，取，當充分大時必有，而 與(1)式矛盾。 時，非無窮大。4.無窮大運算的結論： (1)有界變量與無窮大量之和是無窮大量；(2)兩個無窮大量之積是無窮大量；(3)有限個無窮大量之積是無窮大量。二、無窮小量：1.概念：定義2.10 以零為極限的變量稱為無窮小量。例如：，則稱 時，變量 是無窮小量。注 無窮小量非很小的數(shù)，但零是可作為無窮小量的唯一的數(shù)。2.兩個重要結論：結論1 定理2.9 ，。例如： ，而：，。結論2定理2.10 若：，且

3、：， 推論 若：為常數(shù)，。例如： ，。三、無窮大量與無窮小量的關系：定理2.11 若：， ；若：。例如：， 。注 無窮大、無窮小與極限過程有關。四、無窮小的階(無窮小的比較)：1.概念：定義2.11 設是關于同一過程的無窮小，也是關于同一過程的極限，若：，則稱是比較高階的無窮小，記：；若：，則稱是比低階的無窮??；若：，則稱是與同階的無窮?。惶貏e地：時，稱與是等價的無窮小，記：。例如：， 時，與是同階無窮小。注 1.同一過程的無窮小方能比較；2.存在，方能比較。2.重要結論：定理2.12 若：，且： ，則 =。常用的等價無窮?。簳r，。例2 設：時，是比高階的無窮小，而是比高階的無窮小，則 解 ，

4、 ；又：， ，即：，故：。2.5 極限的運算法則定理2.13 若：，。推論1 ， 。推論2 ， 注 可推廣到有限個。定理2.14 若：， 推論1 ， 推論2 ， 注 可推廣到有限個。推論3 ， 推論4 ，為常數(shù) 推論5 ， ()，。定理2.15 若：，。例1 求：。解 注 若：是一多項式，則：。例2 求：若：是。解 注 若： 是多項式，則：=。例3 研究：解 ， 。例4 求：。解 例5 求：。() 解 例6 求：。解 例7 求：。解 例8 求：。解 例9 求：。解 注(是常數(shù)，且：，)。例10 已知：，研究：，。解 ， ；又：；。例11 求：解 。例12 求：解 =。 小結與提問:1. 無窮小與無窮大是相對于過程而言的主要內容：兩個定義，三個定理，一個推論；幾點注意：五點注意。2.無窮小的階意義：同一過程的無窮小的比較，比較趨于零的快慢；應用：等價無窮小在求極限中有非常巧妙