數(shù)學(xué)建模 足球比賽 論文

1、第 十 五 組足球隊(duì)排名次的方法摘 要本文討論了依據(jù)我國(guó)12支足球隊(duì)在1988-1989年全國(guó)足球甲級(jí)隊(duì)聯(lián)賽中的成績(jī)，給他們進(jìn)行排列名次的問題。根據(jù)全國(guó)足球甲級(jí)隊(duì)聯(lián)賽的比賽規(guī)則，符合要求的排名方法是多種多樣的，然而都希望實(shí)現(xiàn)盡量公平、盡量精確的排名策略。我們針對(duì)排名的問題，建立了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從粗糙到較為精確的三個(gè)模型，分別用了平均積分法、圖論的相關(guān)知識(shí)、比分矩陣法以及層次分析法。模型一：依次計(jì)算出各個(gè)隊(duì)的總積分，按照國(guó)家足球甲級(jí)隊(duì)聯(lián)賽的規(guī)則，可知：獲勝加3分，平局各得一分，失敗就得零分，同時(shí)統(tǒng)計(jì)每一個(gè)隊(duì)進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)，對(duì)總積分/比賽的場(chǎng)數(shù)進(jìn)行排序，所得結(jié)果就可以近似的作為各隊(duì)的排名。模型二：

2、根據(jù)比賽的數(shù)據(jù)，建立了一個(gè)的數(shù)字矩陣，在合理的假設(shè)條件下，進(jìn)行分析，從而完善矩陣，用C+編程，輸入所得矩陣，求出哈密頓開路的路徑，再結(jié)合模型一的分析，對(duì)其排出名次。模型三：用三分制計(jì)算對(duì)任意第i隊(duì)與第j隊(duì)（i不等于j）的得分比，其中=1，得到比分矩陣,求出比分矩陣的最大特征值，并求出相應(yīng)的特征向量。比較分向量的大小，即可求出排名。模型四：用層次分析法，把平均積分、凈球數(shù)和獲勝場(chǎng)數(shù)與參賽場(chǎng)數(shù)的比值作為準(zhǔn)則層的影響因素，根據(jù)它們的比重關(guān)系，構(gòu)造正互反矩陣(逆稱矩陣)，通過求最大特征值及其特征向量，從而求出排名。四個(gè)模型的運(yùn)行結(jié)果如下的表所示： 名次模型123456789101112模型一模型二模型

3、三模型四 四個(gè)模型都能推廣到任意N個(gè)隊(duì)的情況，對(duì)于不同的模型，數(shù)據(jù)所要求具備的條件是不一樣的。關(guān)鍵詞：足球 排名 積分 圖論 比分矩陣 層次分析一、 問題描述近幾十年以來，足球這一運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目在我國(guó)較為流行，深受許多球迷的喜愛，越來越多的大型的足球比賽在國(guó)內(nèi)組織起來，其中全國(guó)足球聯(lián)賽就是一個(gè)比較正式，比賽要求較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊粋€(gè)比賽組織，公平、公正、公開的評(píng)分原則顯現(xiàn)的更為重要。題目中給出了1988-1989年全國(guó)足球甲級(jí)隊(duì)聯(lián)賽的比賽成績(jī)列表，根據(jù)列表的數(shù)據(jù)，要求設(shè)計(jì)一個(gè)合理的方案對(duì)十二支隊(duì)進(jìn)行排列名次，并給出用該方案排名次的結(jié)果。建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，對(duì)十二支分隊(duì)進(jìn)行排名，并要求能夠推廣到N個(gè)

4、隊(duì)，計(jì)算出對(duì)于N個(gè)隊(duì)的排名情況，對(duì)于所設(shè)計(jì)出來的數(shù)學(xué)模型說明所要求數(shù)據(jù)具備的條件有哪些。設(shè)計(jì)方案的方法是多種多樣的，可以運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)、圖論、層次分析等等，然而由于能力有限或者題目數(shù)據(jù)的限制，我們僅用其中較為淺顯的理論，進(jìn)行了建立模型。二、 合理的假設(shè)1、 參賽各隊(duì)都是按照自己的真實(shí)水平發(fā)揮的，且在短時(shí)間內(nèi)，真實(shí)水平是不發(fā)生變化的，比賽結(jié)果沒有人為或其它非正常因素的影響。2、 每場(chǎng)比賽的結(jié)果對(duì)排名的估計(jì)的重要程度是一樣的，具有相同的可信度。3、 每一場(chǎng)比賽都是由比賽規(guī)則決定的，沒有棄權(quán)的現(xiàn)象。三、 模型建立模型一：平均積分法1、 合理假設(shè)：假設(shè)贏一場(chǎng)比賽得3分，平局得1分，輸一場(chǎng)比賽不得分。這是

5、根據(jù)全國(guó)足球聯(lián)賽的規(guī)則中查得的數(shù)據(jù)。2、 符號(hào)說明：第i支隊(duì)總的比賽場(chǎng)數(shù)；第i支隊(duì)獲勝的比賽場(chǎng)數(shù)；第i支隊(duì)平局的比賽場(chǎng)數(shù)；第i支隊(duì)被打敗的比賽場(chǎng)數(shù)；第i支隊(duì)總積分；第i支隊(duì)的平均積分；3、 由假設(shè)依次計(jì)算出每一隊(duì)的總積分和平均積分： 目標(biāo)函數(shù)：約束條件：模型二：圖論1、 建立了一個(gè)的數(shù)字矩陣,打敗時(shí)，記標(biāo)記；兩者平局或者兩者之間沒有比賽時(shí)不做任何標(biāo)記；輸給時(shí)，標(biāo)記；2、 根據(jù)所得的的矩陣，統(tǒng)計(jì)出每一行為1的總數(shù)，即每一隊(duì)打敗的對(duì)手?jǐn)?shù)，記作一個(gè)向量；3、 如果向量中有相同的元素，如，則從1到12(即N)分別求出被打敗的所有隊(duì)的的總和，并作為新向量中的值，得到新向量；如果還有相同元素，則根據(jù)抽簽的

6、原則隨機(jī)的讓其中一方為1，另一方為0，最終得到0-1矩陣；4、 根據(jù)所得矩陣，在編寫好的C+程序中執(zhí)行，得到哈密頓開路的路徑；5、 每一個(gè)哈密頓路徑都是一種排名結(jié)果，但它對(duì)矩陣的依賴性太強(qiáng)，需要我們進(jìn)一步結(jié)合題目中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析最終得到排名結(jié)果。模型三：比分矩陣法1、 對(duì)模型一的平均積分法有其不可改變的不合理性：在計(jì)算比賽得分時(shí)沒有考慮對(duì)手的強(qiáng)弱。比如，強(qiáng)隊(duì)勝?gòu)?qiáng)隊(duì)得3分，強(qiáng)隊(duì)勝弱隊(duì)同樣得3分。所以采用得分比矩陣同樣是用三分制計(jì)算對(duì)任意第i隊(duì)與第j隊(duì)(i不等于j)的得分比，其中=12、 根據(jù)比分矩陣(其中為i隊(duì)的平均分與j隊(duì)的平均分的比值)，求出比分矩陣的最大特征值，進(jìn)而得出相應(yīng)的特征向量。比較

7、分向量的大小，即可求出排名。模型四：層次分析在此模型中，我們采取層次分析法。在本題中，我們認(rèn)為影響參賽隊(duì)排名主要有一下三個(gè)因素：平均分，凈球數(shù)，參賽隊(duì)贏的場(chǎng)數(shù)與該對(duì)比賽的場(chǎng)數(shù)之比。1、我們根據(jù)層次分析法建立如下的層次關(guān)系：排名平均分凈球數(shù)贏的場(chǎng)數(shù)與比賽的場(chǎng)數(shù)之比目標(biāo)層準(zhǔn)則層各因素，相對(duì)于目標(biāo)y（其中）的重要性。用下表數(shù)值表示/相等較強(qiáng)強(qiáng)很強(qiáng)絕對(duì)強(qiáng)13579若介于上述兩者之間，則取2，4，6，8。通過三個(gè)因素對(duì)排名的影響構(gòu)造矩陣C，其中C=，以上的數(shù)據(jù)我們可以寫出矩陣C，然后求出最大特征值和其對(duì)應(yīng)的特征向量。將特征向量歸一化，就可以得到，的值，我們就可以求出排名了。四、 模型求解模型一：平均積分

8、法1、計(jì)算結(jié)果如下表所示：參賽隊(duì)總積分比賽的場(chǎng)數(shù)平均分T134191.7895T221151.4000T327151.8000T49190.4737T5890.8889T6651.2000T739172.2941T822171.2941T923171.3529T1024171.4118T11590.5556T121091.1111 2、排名結(jié)果： 3、模型推廣：對(duì)于任意的N隊(duì)，通過比賽所得的數(shù)據(jù)，我們都可以按照平均積分進(jìn)行排序，對(duì)于平均積分相同的情況下，可以考慮對(duì)凈勝球、總的進(jìn)球率等等進(jìn)行排名，如這些因素還是相同的話，只好隨機(jī)抽簽對(duì)這些水平相當(dāng)?shù)年?duì)進(jìn)行排序。模型二：圖論1、 ，得2、 第二步：

9、得3、 從上述1、2我們還是沒有辦法決定和、和的勝負(fù)，由抽簽的原則，我們假設(shè)敗給了，敗給了，最終完善的矩陣：4、 從題目中的數(shù)據(jù)以及由模型一可得：和隊(duì)實(shí)力最強(qiáng)，而和的實(shí)力相對(duì)最弱。5、 從程序的運(yùn)行結(jié)果中選擇以和開頭的哈密頓開路路徑，結(jié)果如下表所示。表格一：371291086125114371910826125114372910816125114378129106125114378191026125114378291016125114379108126125114371012986125114371019826125114371029816125114371081296125114表格二：71

10、29108361251147191083261251147291083161251147812910361251147819103261251147829103161251147831291061251147831910261251147832910161251147839101261251147910831261251147101298361251147101983261251147102983161251147103129861251147103198261251147103298161251146、對(duì)數(shù)據(jù)分析：(1)、從以上兩個(gè)表格得出，、一定為最 后五名；(2)、因?yàn)楹完?duì)實(shí)力最強(qiáng)，所以

11、我們參照表格一的結(jié)果，同時(shí)，之所以表格一中在之前，只是因?yàn)轭}目中的數(shù)據(jù)中，與比賽時(shí)，前者獲勝了，而綜合題目中的數(shù)據(jù)及模型一，后者的實(shí)力更強(qiáng)一些，所以后者為冠軍，前者為亞軍。(3)、對(duì)、進(jìn)行排名：結(jié)合向量對(duì)他們排名得7、模型二最終排名： 模型三：得分矩陣1、 比分矩陣：2、 我們用matlab軟件可以求出B的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，可以得到矩陣B的最大特征值為12.0000，其對(duì)應(yīng)的特征向量為：3、所以我們得出各參賽隊(duì)的排名結(jié)果為：模型四：層次分析1、我們根據(jù)題目可以得出各參賽隊(duì)的平均分，凈球數(shù)，參賽隊(duì)贏的場(chǎng)數(shù)與該對(duì)比賽的場(chǎng)數(shù)之比。參賽隊(duì)平均分凈勝球贏的場(chǎng)數(shù)與該對(duì)比賽的場(chǎng)數(shù)之比T11.78

12、95810/19T21.400021/3T31.800088/15T40.4737-201/19T50.8889-52/9T61.2000-42/5T72.29412513/17T81.294126/17T91.3529-67/17T101.4118-26/17T110.5556-71/9T121.1111-32/93、 我們可以寫出矩陣C:4、 在matlab軟件中，可以求出C的最大特征值為= 3.0092，特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為，將其歸一化得向量，5、 我們看出平均分占的比重比較大，所以，當(dāng)我們給參賽隊(duì)進(jìn)行排名的時(shí)候，我們首先考慮平均分，當(dāng)平均分差不多的時(shí)候，我們?cè)儆?jì)較贏的場(chǎng)數(shù)與該對(duì)比賽的

13、場(chǎng)數(shù)之比。因此，我們得出各參賽隊(duì)的排名為：五、 模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析模型一：優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單，操作方便 缺點(diǎn)：有其不可改變的不合理性：在計(jì)算比賽得分時(shí)沒有考慮對(duì)手的強(qiáng)弱。比如，強(qiáng)隊(duì)勝?gòu)?qiáng)隊(duì)得3分，強(qiáng)隊(duì)勝弱隊(duì)同樣得3分，顯然有一定的不合理性。模型二：優(yōu)點(diǎn)：從運(yùn)行結(jié)果中，短時(shí)間內(nèi)可以分辨出每一隊(duì)大概的實(shí)力范圍，將他們分出層次來； 缺點(diǎn)：有程序產(chǎn)生的哈密頓開路路徑比較多，還要一一的對(duì)他們分析，造成較大的時(shí)間復(fù)雜度，同時(shí)也會(huì)有很大的不合理性，因?yàn)楣茴D開路單單依賴是否有一場(chǎng)比賽使得一方打敗另一方，而忽略了整體數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)果的影響。模型三：優(yōu)點(diǎn)：能夠比較綜合全面的比較各個(gè)分隊(duì)的實(shí)力水平；模型四：優(yōu)點(diǎn)：考慮了多個(gè)因素

14、對(duì)結(jié)果的影響； 缺點(diǎn)：模型中存在人為的主觀因素六、 模型檢驗(yàn)我們采用計(jì)算機(jī)模擬的方法來進(jìn)行模型檢驗(yàn)。具體方法如下：設(shè)有n個(gè)隊(duì)參加比賽，采用隨機(jī)函數(shù)在0,1區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生n個(gè)數(shù)，分別記為，表示這n個(gè)球隊(duì)的總體實(shí)力水平，將這n個(gè)數(shù)俺從大到小的順序排列即得到這n各隊(duì)的的排名。根據(jù)產(chǎn)生的n個(gè)數(shù)可產(chǎn)生一組比賽數(shù)據(jù)，對(duì)任意的和，先用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生他們之間的比賽場(chǎng)數(shù)(取值為0，1，2，3中的一個(gè))，還有要注意比賽場(chǎng)數(shù)的選取要保證圖的連通性，即對(duì)任意都必須至少和其他球隊(duì)有一場(chǎng)比賽。然后，產(chǎn)生比賽數(shù)據(jù)，不妨設(shè)強(qiáng)于，我們通過查閱資料得到一場(chǎng)比賽中的結(jié)果的概率經(jīng)驗(yàn)公式：以上三式概率分別記為、。根據(jù)以上概率算式以可將0,1區(qū)間按上述概率大小分別分成三段用來計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬比賽結(jié)果。最后我們來模擬沒遺產(chǎn)比賽的比分，設(shè)與的第q場(chǎng)比賽的比分為a：b，則1) ，即隨機(jī)數(shù)X落在0，內(nèi)時(shí),2) ，即隨機(jī)數(shù)X落在，內(nèi)時(shí),3) 平局，即隨機(jī)數(shù)X落在，1內(nèi)時(shí)模擬完成后，可以的出任意組的數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一些簡(jiǎn)要的篩選即可選出一些粗?jǐn)?shù)據(jù)對(duì)所建立的模型進(jìn)行檢驗(yàn)、分析、評(píng)價(jià)。記隨機(jī)產(chǎn)生的名次排序?yàn)?)，通過模型產(chǎn)生的名次排序?yàn)?)。我們采取的檢驗(yàn)公式為 顯然E越小表明模型越合理，為了消除隨機(jī)因素對(duì)模型檢驗(yàn)的帶來的影響，我們應(yīng)模擬足夠多的數(shù)據(jù)來進(jìn)行檢驗(yàn)，且E區(qū)平均水平。當(dāng)您n=12時(shí)，由于數(shù)據(jù)量很大，我們只取了5組數(shù)據(jù)進(jìn)行