斷裂力學(xué)作業(yè)

1、研究生課程考試答題冊(cè)學(xué) 號(hào)056060343姓 名徐紅爐考試課目斷裂力學(xué)考試日期2006.9西北工業(yè)大學(xué)研究生院1 分析1型裂紋尖端附近的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)。考慮在無限遠(yuǎn)處受雙向拉伸應(yīng)力作用的型裂紋問題。其Westergaard應(yīng)力函數(shù)的形式選為：，該函數(shù)滿足雙協(xié)調(diào)方程，其相應(yīng)的應(yīng)力分量為 （1a） （1b） （1c）相應(yīng)的應(yīng)變分量 （2a） （2b） （2c）先確定一個(gè)解析函數(shù),使得到的應(yīng)力分量應(yīng)滿足問題的全部邊界條件。將x坐標(biāo)軸取在裂紋面上，坐標(biāo)原點(diǎn)取在裂紋中心，則邊界條件為：（1） y=0,x,（2） y=0,的裂紋自由面上，；而當(dāng)，隨著，。因此選擇函數(shù)，用z=x+iy代替上式中的x，從而有 （

2、3）滿足上述邊界條件。為計(jì)算方便，將原點(diǎn)坐標(biāo)從裂紋中心移至裂紋的右端點(diǎn)處，采用新坐標(biāo)，或?qū)懗?。?）式用新坐標(biāo)可寫成 （4）令 （5）則考慮裂紋尖端的附近的應(yīng)力場(chǎng)，即在時(shí)，為一實(shí)常數(shù)。令，則，其中就是型裂紋的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子。因此，在裂紋尖端處，在的很小的范圍內(nèi)，解析函數(shù)可以寫成 （6）采用極坐標(biāo)，將，從而式（10）變?yōu)榧矗?（7a） （7b）由有， （8a） （8b）同理有 （9a） （9b）且 （10）將公式（7），（8）和（10）代入式（1），并將公式（9）代入（2）式，得到各個(gè)應(yīng)力分量和應(yīng)變分量的表達(dá)式，即 （11a） （11b） （11c） （12a） （12b）, （12c）其

3、中：平面應(yīng)力情況：，平面應(yīng)變情況：，2 試求小范圍屈服時(shí)塑性區(qū)的大小，并討論在這種情況下如何對(duì)線彈性斷裂力學(xué)準(zhǔn)則進(jìn)行修正。對(duì)于平面問題，由材料力學(xué)知識(shí)知， (13a) (13b)（平面應(yīng)力）；（平面應(yīng)變） (13c)將公式（11）代入式（13）中，化簡(jiǎn)得到 （14a） (14b)（平面應(yīng)力）；（平面應(yīng)變） (14c)利用Mises屈服準(zhǔn)則， （15）式（15）中的為材料在單向拉伸時(shí)的屈服極限。對(duì)于平面應(yīng)力情況：將式（14）代入式（15），得到 （16）式（16）表示在平面應(yīng)力狀態(tài)下裂紋尖端塑性區(qū)的邊界曲線方程，在裂紋延長(zhǎng)線上（即在的x軸上），塑性區(qū)邊界到裂紋尖端的距離為 （17）同樣有，對(duì)于平

4、面應(yīng)變狀態(tài)下， （18）在這種情況下，當(dāng)裂尖出現(xiàn)的是小范圍屈服，則裂紋尖端附近的塑性區(qū)域被周圍廣大的彈性區(qū)所包圍，此時(shí)只需對(duì)塑性區(qū)的影響作出考慮，而仍可用線彈性斷裂理論來處理，因此可以采用“有效裂紋尺寸”法，用它對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行修正，得到所謂“有效應(yīng)力強(qiáng)度因子”，作為考慮塑性區(qū)影響的修正。 若欲使線彈性理論解仍然使用，則假想將裂紋尖端向右移動(dòng)，把實(shí)際的彈塑性應(yīng)力場(chǎng)，改用一個(gè)虛構(gòu)的彈性應(yīng)力場(chǎng)來代替?？梢杂?jì)算出不論平面應(yīng)力或是平面應(yīng)變問題，裂紋長(zhǎng)度的修正值為塑性區(qū)尺寸的一半，即修正后裂紋的裂尖正好處于x軸塑性區(qū)的中心。3 圖中受單向拉伸作用的“無限大”平板，板中有一條長(zhǎng)度為2a且與拉伸方向夾角為

5、的穿透斜裂紋。設(shè)板材的斷裂韌度為已知，按最大周向應(yīng)力理論和應(yīng)變能密度因子理論確定開裂角和臨界壓應(yīng)力。首先求出裂紋位置處的“當(dāng)?shù)貞?yīng)力”。利用材料力學(xué)中求軸向拉壓時(shí)斜截面上的公式有，注意到此處，可以得到由此可以看出，這是-復(fù)合型裂紋問題，其中最大周向應(yīng)力理論：將和代入有最大周向應(yīng)力理論確定的公式中，化簡(jiǎn)得 當(dāng)給定裂紋角時(shí)，可以由上式確定的開裂角，確定開裂角之后，將和一起代入公式，得到臨界應(yīng)力，應(yīng)變能密度因子理論：應(yīng)變能密度因子為將和一起代入上式，有其中系數(shù)根據(jù) ，的條件，確定開裂角。然后將開裂角的代入應(yīng)變能密度因子表達(dá)式中，便得到最小應(yīng)變能密度因子，當(dāng)達(dá)到材料對(duì)應(yīng)的臨界值時(shí)，裂紋開始擴(kuò)展，此時(shí)對(duì)應(yīng)

6、的就是臨界壓應(yīng)力。即，由此可以得到臨界壓應(yīng)力即4 用D-B模型計(jì)算裂紋尖端塑性區(qū)的寬度及裂紋尖端張開位移。首先確定裂紋尖端區(qū)的寬度R，假想把塑性區(qū)挖去，則在彈性塑性區(qū)的邊界上應(yīng)加上均勻拉力，于是得到裂紋長(zhǎng)度為2c，外加應(yīng)力是遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力以及塑性區(qū)有應(yīng)力的線彈性問題。此時(shí)裂紋尖端C的應(yīng)力強(qiáng)度因子應(yīng)由兩部分組成：一個(gè)是由遠(yuǎn)場(chǎng)均勻拉應(yīng)力產(chǎn)生的，另一個(gè)是由塑性區(qū)部位的裂紋表面所受的均勻應(yīng)力所產(chǎn)生的，根據(jù)無限大板中心貫穿裂紋公式有，從而有 （19）由于C點(diǎn)為塑性區(qū)的端點(diǎn)，應(yīng)力無奇異，因此=0，代入（19），得到即 （20）由于塑性區(qū)寬度R=c-a，將式（20）代入并化簡(jiǎn)得到，將上式按級(jí)數(shù)展開，且當(dāng)較小時(shí)，得

7、到R的近似表達(dá)式，考慮到無限大平板有中心貫穿裂紋時(shí)，故有下面計(jì)算裂紋尖端的張開位移：首先給出Paris位移公式， （21）在初始裂紋（2a）端點(diǎn)處各引入一對(duì)虛拉力F，產(chǎn)生的為 （22）將公式（19）和（22）代入（21）式，注意到積分式表示從原點(diǎn)擴(kuò)展到某裂紋長(zhǎng)的過程，用變量代替2c，表示裂紋在增長(zhǎng)過程中的瞬時(shí)長(zhǎng)度，于是有注意到當(dāng)時(shí)，對(duì)力F作用于韌帶上的同一點(diǎn)而互相抵消，使，故只需從a到c積分，積分后有 （23）當(dāng)時(shí)，公式（23）是較合適的。5 試給出雙材料界面應(yīng)力場(chǎng)的表達(dá)式。由兩種各向同性材料制成的帶界面裂紋的雙材料彈性體，其裂紋尖端前沿的應(yīng)力為 （24）其中， （25）式中：，是剪切彈性模量；對(duì)于平面應(yīng)力問題， ，對(duì)于平面應(yīng)變問題，是泊松比；式中下標(biāo)1和2分別表示