曲線積分習(xí)題解答

1、第十章 曲線積分與曲面積分（第三部分）曲線積分習(xí)題解答一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分1計(jì)算，其中為擺線的一拱解 由于, ；而 ，故 .2計(jì)算曲線積分，其中為圓周解 圓周在極坐標(biāo)下的方程為，則. 故.3 計(jì)算，其中為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界解 積分曲線為閉曲線（如右圖），可分解為，其中；.故 .4. 設(shè)螺旋線彈簧一圈的方程為，其中，它的線密度. 求此線關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.分析 本題為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分在物理中的應(yīng)用問題，應(yīng)首先將所求的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分表示，然后計(jì)算積分即可。解 所求的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，而，故 .二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1. 計(jì)算曲線積分，其中為區(qū)域的邊界，取逆時(shí)針方向。

2、解 令，則，即. 由于故利用格林公式，得.2. 計(jì)算曲線積分其中為曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧。解 補(bǔ)直線段：，從變到；并設(shè)閉曲線所圍區(qū)域?yàn)椋ㄈ鐖D所示），則由Green公式，得：.又 （：，從變到），故 .3. 設(shè)是一條封閉的光滑曲線，方向?yàn)槟鏁r(shí)針，計(jì)算曲線積分.分析 因，則，.故. 由于與在原點(diǎn)處不連續(xù)，因此可知：（1）若給定的曲線所圍成的閉區(qū)域不包括原點(diǎn)，則在此區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)；（2）若給定的曲線所圍成的閉區(qū)域包括原點(diǎn)，那么、在所圍成的閉區(qū)域上不滿足格林公式（積分與路徑無關(guān)的條件）。此時(shí)，我們可取一條特殊的封閉光滑曲線，在上應(yīng)用Green 公式，由此將上的曲線積分轉(zhuǎn)化為上的曲線積分。解

3、因，則，.故.（1）若給定的曲線圍成的閉區(qū)域不包括原點(diǎn). 由知曲線積分與路徑無關(guān)，故.（2）若給定的曲線所圍成的閉區(qū)域包括原點(diǎn)，則取一條特殊的有向曲線（充分?。?，規(guī)定的方向?yàn)槟鏁r(shí)針（如右圖所示）。設(shè)所圍城的區(qū)域?yàn)?，則在上應(yīng)用Green 公式，得,所以 . 而.故.或利用參數(shù)方程計(jì)算：令：，從到. 所以.4. 設(shè)在半平面內(nèi)有力構(gòu)成力場(chǎng)，其中為常數(shù)，證明在此力場(chǎng)中場(chǎng)力所作的功與所取的路徑無關(guān)。分析 由于場(chǎng)力沿路徑所作的功為,所以證明場(chǎng)力所作的功與所取的路徑無關(guān)的問題，實(shí)質(zhì)上就是證明上述曲線積分與路徑無關(guān)的問題。證明 場(chǎng)力沿路徑所作的功為.令，；則.由于右半平面為單連通區(qū)域，且，所以場(chǎng)力所作的功與所取的路徑無關(guān)。5設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線上，曲線積分的值為常數(shù)。(1) 設(shè)為正向閉曲線，證明： ；(2) 求函數(shù)；(3) 設(shè)是圍繞原點(diǎn)的光滑簡(jiǎn)單正向閉曲線，求(1) 證 設(shè)，閉曲線由組成。設(shè)為不經(jīng)過原點(diǎn)的光滑曲線，使得和分別組成圍繞原點(diǎn)的分段光滑閉曲線，由曲線積分的性質(zhì)和題設(shè)條件知 所以，即(