數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

1、 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)報(bào)告班級(jí) : 數(shù)學(xué)師范153姓名 ：付爽學(xué)號(hào) ：1502012060實(shí)驗(yàn)名稱 : 數(shù)列極限與函數(shù)極限 基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn) 基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)一 數(shù)列極限與函數(shù)極限 第一部分 實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書解讀一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康膹膭⒒盏母顖A術(shù)、裴波那奇數(shù)列研究數(shù)列的收斂性并抽象出極限的定義；理解數(shù)列收斂的準(zhǔn)則；理解函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系。2、 實(shí)驗(yàn)使用軟件 Mathematic 5.0三實(shí)驗(yàn)的基本理論即方法1割圓術(shù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)注方田章圓田術(shù)中創(chuàng)造了割圓術(shù)計(jì)算圓周率。劉徽先注意到圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓面積；其次，當(dāng)將邊數(shù)屢次加倍時(shí)，正多邊形的面積增大，邊數(shù)愈大則正多邊形面積愈近于圓的面積?！案钪?/p>

2、彌細(xì)，所失彌少。割之又割以至不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣?！边@幾句話明確地表明了劉徽的極限思想。以表示單位圓的圓內(nèi)接正多邊形面積，則其極限為圓周率。用下列Mathematica程序可以從量和形兩個(gè)角度考察數(shù)列的收斂情況： m=2;n=15;k=10; Fori=2,i<=n,i+, li_:=N2*SinPi/(3*2i),k; (圓內(nèi)接正多邊形邊長(zhǎng)) si_:=N3*2(i-1)*li*Sqrt1-(li)2/4,k; (圓內(nèi)接正多邊形面積) ri_:=Pi-si; di_:=si-si-1; Printi," ",ri," ",li,"

3、; ",si," ",di t=Tablei,si,i,m,n (數(shù)組) ListPlott (散點(diǎn)圖)2裴波那奇數(shù)列和黃金分割 由有著名的裴波那奇數(shù)列。如果令，由遞推公式可得出 ，；。用下列Mathematica程序可以從量和形兩個(gè)角度考察數(shù)列的收斂情況： n=14,k=10; Fori=3,i<=n,i+, t1=(Sqrt5+1)/2; t2=(1-Sqrt5)/2; fi_:=N(t1(i+1)-t2(i+1)/Sqrt5,k; (定義裴波那奇數(shù)列通項(xiàng)) rn=(5(1/2)-1)/2-fi-1/fi;Rn=fi-1/fi;dn=fi-1/fi-fi

4、-2/fi-1; Printi," ",rn," ",Rn," ",dn; t=Tablei,fi-1/fi,i,3,n ListPlott3收斂與發(fā)散的數(shù)列數(shù)列當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散；數(shù)列發(fā)散。4函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系用Mathematica程序 m=0;r=10m;x0=0; fx_=x*Sin1/x Plotfx,x,-r,r Limitfx,x->x0觀察的圖象可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，且函數(shù)值不存在，但在點(diǎn)處有極限。 令，作函數(shù)的取值表，畫散點(diǎn)圖看其子列的趨向情況 k=10;p=25; an_=1/n; tf=Table

5、n,Nfan,k,n,1,p ListPlottf Limitfan,nInfinity,Direction1分別取不同的數(shù)列(要求)，重做上述過(guò)程，并將各次所得圖形的分析結(jié)果比較，可知各子列的極限值均為上述函數(shù)的極限值。對(duì)于，類似地考察在點(diǎn)處的極限。三、實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備 認(rèn)真閱讀實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c實(shí)驗(yàn)材料后要正確地解讀實(shí)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上制定實(shí)驗(yàn)計(jì)劃（修改、補(bǔ)充或編寫程序，提出實(shí)驗(yàn)思路，明確實(shí)驗(yàn)步驟），為上機(jī)實(shí)驗(yàn)做好準(zhǔn)備。四、實(shí)驗(yàn)思路提示3.1考察數(shù)列斂散性 改變或增大，觀察更多的項(xiàng)（量、形），例如，分別取50，100，200，；擴(kuò)展有效數(shù)字，觀察隨增大數(shù)列的變化趨勢(shì)，例如，分別取20，30，50；或固定50；

6、或隨增大而適當(dāng)增加。對(duì)實(shí)驗(yàn)要思考，例如，定義中的指標(biāo)與柯西準(zhǔn)則中的指標(biāo)間的差異；數(shù)列收斂方式；又例如，如何估計(jì)極限近似值的誤差。3.2考察函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系改變函數(shù)及極限類型，例如，考慮六種函數(shù)極限，既選取極限存在也選取極限不存在的例子；改變數(shù)列，改變參數(shù)觀察更多的量，考察形的變化趨勢(shì)；擴(kuò)展有效數(shù)字，提高計(jì)算精度。要對(duì)實(shí)驗(yàn)思考，歸納數(shù)列斂散與函數(shù)斂散的關(guān)系。 第二部分 實(shí)驗(yàn)計(jì)劃實(shí)驗(yàn)主要是從觀察數(shù)列的斂散性，觀察函數(shù)值的變化趨勢(shì)來(lái)理解極限的概念，進(jìn)一步體會(huì)實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)則1. 割圓術(shù) 中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)注方田章圓田術(shù)中創(chuàng)造了割圓術(shù)計(jì)算圓周率p。劉徽先注意到圓內(nèi)接正多邊形的面積

7、小于圓面積；其次，當(dāng)將邊數(shù)屢次加倍時(shí)，正多邊形的面積增大，邊數(shù)愈大則正多邊形面積愈近于圓的面積。 “割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割以至不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣?！边@幾句話明確地表明了劉徽的極限思想。 以nS表示單位圓的圓內(nèi)接正1 2 3-´n多邊形面積，則其極限為圓周率p。用下列Mathematica程序可以從量和形兩個(gè)角度考察數(shù)列nS的收斂情況：         m=2;n=15;k=10;       

8、;  Fori=2,i<=n,i+, li_:=N2*SinPi/(3*2i),k;   (圓內(nèi)接正123-´n多邊形邊長(zhǎng))           si_:=N3*2(i-1)*li*Sqrt1-(li)2/4,k;    (圓內(nèi)接正123-´n多邊形面積)         

9、  ri_:=Pi-si; di_:=si-si-1;           Printi,"  ",ri,"  ",li,"  ",si,"  ",di            &#

10、160;       t=Tablei,si,i,m,n   (數(shù)組)   ListPlott    (散點(diǎn)圖 2裴波那奇數(shù)列和黃金分割 由有著名的裴波那奇數(shù)列。如果令，由遞推公式可得出 ，；。用下列Mathematica程序可以從量和形兩個(gè)角度考察數(shù)列的收斂情況： n=14,k=10; Fori=3,i<=n,i+, t1=(Sqrt5+1)/2; t2=(1-Sqrt5)/2; fi_:=N(t1(i+1)-t2(i

11、+1)/Sqrt5,k; (定義裴波那奇數(shù)列通項(xiàng)) rn=(5(1/2)-1)/2-fi-1/fi;Rn=fi-1/fi;dn=fi-1/fi-fi-2/fi-1; Printi," ",rn," ",Rn," ",dn; t=Tablei,fi-1/fi,i,3,n ListPlott，；。 3.收斂與發(fā)散的數(shù)列數(shù)列當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散；數(shù)列發(fā)散。4.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系用Mathematica程序 m=0;r=10m;x0=0; fx_=x*Sin1/x Plotfx,x,-r,r Limitfx,x->x0觀察的圖象可以發(fā)

12、現(xiàn)，函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，且函數(shù)值不存在，但在點(diǎn)處有極限。 令，作函數(shù)的取值表，畫散點(diǎn)圖看其子列的趨向情況 k=10;p=25; an_=1/n; tf=Tablen,Nfan,k,n,1,p ListPlottf Limitfan,nInfinity,Direction1分別取不同的數(shù)列(要求)，重做上述過(guò)程，并將各次所得圖形的分析結(jié)果比較，可知各子列的極限值均為上述函數(shù)的極限值。對(duì)于，類似地考察在點(diǎn)處的 三 實(shí)驗(yàn)過(guò)程與結(jié)果設(shè)xn為實(shí)數(shù)列，a 為定數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)b,總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n > N 時(shí)，有|xn - a|<b,則稱數(shù)列收斂與a 定數(shù)a 稱為數(shù)列的極限，程序如下：程

13、序結(jié)果運(yùn)行如下:裴波那奇數(shù)列和黃金分割1.考察數(shù)列斂散性 改變或增大，觀察更多的項(xiàng)（量、形），例如，分別取50，100，200，；擴(kuò)展有效數(shù)字，觀察隨增大數(shù)列的變化趨勢(shì)，例如，分別取20，30，50；或固定50；或隨增大而適當(dāng)增加。對(duì)實(shí)驗(yàn)要思考，例如，定義中的指標(biāo)與柯西準(zhǔn)則中的指標(biāo)間的差異；數(shù)列收斂方式；又例如，如何估計(jì)極限近似值的誤差。2.考察函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系改變函數(shù)及極限類型，例如，考慮六種函數(shù)極限，既選取極限存在也選取極限不存在的例子；改變數(shù)列，改變參數(shù)觀察更多的量，考察形的變化趨勢(shì)；擴(kuò)展有效數(shù)字，提高計(jì)算精度。要對(duì)實(shí)驗(yàn)思考，歸納數(shù)列斂散與函數(shù)斂散的關(guān)系。例：用Mathematica程序 m=0;r=10m;x0=0; fx_=x*Sin1/x Plotfx,x,-r,r Limitfx,x->x0觀察的圖象可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，且函數(shù)值不存在，但在點(diǎn)處有極限。 令，作函數(shù)的取值表，畫散點(diǎn)圖看其子列的趨向情況 k=10;p=25; an_=1/n; tf=Tablen,Nfan,k,n,1,p ListPlottf Limitfan,nInfinity,Direction1分別取不同的數(shù)列(要求)，重做上述過(guò)程，并將各