數(shù)列求和的種常用方法最全

1、求數(shù)列前n項(xiàng)和的8種常用方法一.公式法（定義法）：1.等差數(shù)列求和公式：特別地，當(dāng)前項(xiàng)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，即前項(xiàng)和為中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。這個(gè)公式在很多時(shí)候可以簡化運(yùn)算；2.等比數(shù)列求和公式：（1），；（2），特別要注意對(duì)公比的討論；3.可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；4.常用公式:（1）；（2）；（3）；（4）.例1 已知，求的前項(xiàng)和.解：由由等比數(shù)列求和公式得 1例2 設(shè)，,求的最大值.解：易知 ， 當(dāng) ，即時(shí)，.二.倒序相加法:如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法。如：等差數(shù)列的前項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序）

2、，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個(gè).例3 求的值解：設(shè)將式右邊反序得 （反序） 又因?yàn)?+得 （反序相加）89 S44.5例4 函數(shù)，求的值.三.錯(cuò)位相減法：適用于差比數(shù)列（如果等差，等比，那么叫做差比數(shù)列）即把每一項(xiàng)都乘以的公比，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，即可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.如：等比數(shù)列的前項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的. 例5 求和：解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) （設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減）即： 變式 求數(shù)列前項(xiàng)的和.解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) （設(shè)制錯(cuò)位）得， （錯(cuò)位相減） 四.裂項(xiàng)相消法:即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消

3、，只余有限幾項(xiàng)，可求和。這是分解與組合思想（分是為了更好地合）在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 適用于，其中是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。其基本方法是.常見裂項(xiàng)公式：（1），；（的公差為）；（2）.（根式在分母上時(shí)可考慮利用分母有理化，因式相消求和）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）常見放縮公式：.例6 求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：設(shè) （裂項(xiàng)）則 （裂項(xiàng)求和） 例7 求和.例8 在數(shù)列中，又，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.解： （裂項(xiàng)） 數(shù)列的前項(xiàng)和 （裂項(xiàng)求和） 例9 求證：解

4、：設(shè) （裂項(xiàng)） （裂項(xiàng)求和） 原等式成立變式 求.解：五.分段求和法：例10 在等差數(shù)列中，求：（1）數(shù)列前多少項(xiàng)和最大；（2）數(shù)列前項(xiàng)和.六.分組求和法: 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列， 可把數(shù)列的每一項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例11 求數(shù)列的前項(xiàng)和：，解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 （分組）當(dāng)a1時(shí)， （分組求和）當(dāng)時(shí)，.例12 求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：設(shè) 將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 （分組） （分組求和）變式 求數(shù)列的前項(xiàng)和.解： 七.并項(xiàng)求和法：在數(shù)列求和過程中，將某些項(xiàng)分組合并后即可轉(zhuǎn)化為具有某種特殊的性質(zhì)的特殊

5、數(shù)列，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，最后再將它們求和，則稱之為并項(xiàng)求和.形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求.利用該法時(shí)要特別注意有時(shí)要對(duì)所分項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)進(jìn)行討論.例13 求cos1°+ cos2°+ cos3°+ cos178°+ cos179°的值.解：設(shè)Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+.+ cos178°+ cos179° （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）Sn （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ c

6、os177°）+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） 0例14 數(shù)列：，求.解：設(shè)由可得 （找特殊性質(zhì)項(xiàng)） （合并求和）5例15 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 得 （合并求和） 10變式 求和.八.利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例16 求之和.解：由于 （找通項(xiàng)及特征） （分組求和） 例17 已知數(shù)列：的值.解： （找通項(xiàng)及特征） （設(shè)制分組） （裂項(xiàng)） （分組、裂項(xiàng)求和） 變式 求的前項(xiàng)和.解：以上8種方法雖然各有