數(shù)列通項(xiàng)公式常用求法及構(gòu)造法

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的常用求法構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式一、構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用乘、除、去分母、添項(xiàng)、去項(xiàng)、取對(duì)數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推公式變形成為=A（其中A為常數(shù)）形式，根據(jù)等差數(shù)列的定義知是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，先求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)與，從而求出的通項(xiàng)公式。例1 在數(shù)列中，=，（），求數(shù)列通項(xiàng)公式.解析：由得，an+1 an=3 an+1-3 an=0，兩邊同除以an+1 an得，設(shè)bn=，則bn+1- bn=，根據(jù)等差數(shù)列的定義知，數(shù)列bn是首項(xiàng)b1=2，公差d=的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得bn=2（n-1）=n數(shù)列通項(xiàng)公式為an=例2 在數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)

2、和，且Sn0，a1=1，an=(n2)，求Sn與an。解析：當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1 代入an=得，Sn-Sn-1=，變形整理得Sn-Sn-1= SnSn-1？?jī)蛇叧許nSn-1得，-=2，是首相為1，公差為2的等差數(shù)列=1+2（n-1）=2n-1, Sn=(n2),n=1也適合，Sn=(n1)當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-=-，n=1不滿足此式，an=二、構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用乘、除、去分母、添項(xiàng)、去項(xiàng)、取對(duì)數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推公式變形成為f（n+1）=Af（n）（其中A為非零常數(shù)）形式，根據(jù)等比數(shù)列的定義知是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，先求出的通項(xiàng)公式，再根

3、據(jù)與，從而求出的通項(xiàng)公式。例3在數(shù)列an中，a1=2，an=an-12(n2)，求數(shù)列an通項(xiàng)公式。解析： a1=2，an=an-12(n2)0，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，lg an=2lg an-1=2， 根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列l(wèi)g an是首相為lg2，公比為2的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得lg an=2n-1lg2=數(shù)列通項(xiàng)公式為an=評(píng)析：本例通過兩邊取對(duì)數(shù)，變形成形式，構(gòu)造等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)公式，從而求出的通項(xiàng)公式。例4在數(shù)列an中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求數(shù)列an通項(xiàng)公式。解析：設(shè)an+1+A（n+1）+B=4（an+An+B），（A、B為待定系數(shù)），展開得an

4、+1=4an+3An+3B-A，與已知比較系數(shù)得 an+1+（n+1）+=4（an+n+），根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列an+n+是首項(xiàng)為，公比為q=3的等比數(shù)列，an+n+=×3n-1數(shù)列通項(xiàng)公式為an=×3n-1-n-例5 在數(shù)列an中，a1=1 ，an+1an=4n ，求數(shù)列an通項(xiàng)公式。解析：an+1an=4n anan-1=4 n-1 兩式相除得 =4 ，a1，a3，a5與a 2，a 4 ，a 6 是首相分別為a1，a 2 ，公比都是4的等比數(shù)列，又a1=1，an+1an=4n ，a2=4an=三、等差等比混合構(gòu)造法數(shù)列有形如的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以先求出例6設(shè)數(shù)

5、列滿足求解：原條件變形為兩邊同乘以得.四、輔助數(shù)列法有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，?gòu)造出一個(gè)新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而利用這個(gè)數(shù)列求其通項(xiàng)公式。例7.在數(shù)列中，求。解析：在兩邊減去，得 是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由累加法得= = = 練習(xí)1、在數(shù)列an中，a1=1，an+1=3an+2n（nN*），求數(shù)列an通項(xiàng)公式。解：由an+1=3an+2n（nN*）得，an+1+2n+1=3（an+2n）（nN*），設(shè)bn= an+2n 則bn+1=3bn，=3，根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列bn是首相b1=3，公比為q=3的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得bn=3n，

6、即an+2n=3n，數(shù)列通項(xiàng)公式為an=3n-2n注意：2n+1-2n=2n2、在數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：、由得，根據(jù)等差數(shù)列的定義知，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，所以 ，所以3、已知數(shù)列滿足，求解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，4. 數(shù)列a滿足a=1，a=a+1（n2），求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。解：由a=a+1（n2）得a2=（a2），而a2=12=1，數(shù)列 a2是以為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列a2=（） a=2（）5. 數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得設(shè)比較系數(shù)得，解得或若取，則有是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列由逐差法可得=6. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和

7、為，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有等式：成立，求的通項(xiàng)an.解：， ，. 即是以2為公差的等差數(shù)列，且.7. 設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，（nN*），求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：由題設(shè)得.，.8. 數(shù)列中，前n項(xiàng)的和，求.解： ，9.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對(duì)數(shù)得：，設(shè)，則是以2為公比的等比數(shù)列，.，總結(jié)而運(yùn)用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。遞推式一般為：；（1）通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列a+k的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p1，pq0）型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對(duì)常數(shù)q分解法：設(shè)a+k=p（a+k）與原式比較系數(shù)可得pkk=q，即k=，

8、從而得等比數(shù)列a+k。（2）通過分解系數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的形式求解。這種方法適用于型的遞推式，通過對(duì)系數(shù)p的分解，可得等比數(shù)列：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得。3、構(gòu)造法 構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問題的過程中，通過對(duì)條件與結(jié)論的充分剖析，聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點(diǎn)就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式.（1）構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.（2）構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭

9、加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.（3）構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(jiǎn)（4）構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對(duì)數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單，使問題得以解決.補(bǔ)充一般方法：一、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目例1等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列，即，得，由得：，二、累加法求形如an-an-1=f(n)（f(n)為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列）的數(shù)列通項(xiàng)，可用累加法，即令n=2，3，n1得到n1個(gè)式子累加求得通項(xiàng)。例2已知

10、數(shù)列an中，a1=1，對(duì)任意自然數(shù)n都有，求解：由已知得，以上式子累加，利用得-=，三、累乘法對(duì)形如的數(shù)列的通項(xiàng)，可用累乘法，即令n=2，3，n1得到n1個(gè)式子累乘求得通項(xiàng)。例3已知數(shù)列中，前項(xiàng)和與的關(guān)系是，求通項(xiàng)公式解：由得兩式相減得：，將上面n1個(gè)等式相乘得：四、公式法若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。例4已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：由當(dāng)時(shí)，有，經(jīng)驗(yàn)證也滿足上式，所以點(diǎn)評(píng)：利用公式求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并五、“歸納猜想證明”法直接求解或變形都比較困難時(shí)，先求出數(shù)列的前面幾項(xiàng)，猜測(cè)出通項(xiàng)，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法就是“歸納猜想證明”法例5若數(shù)列滿足：計(jì)算a2，a3，a4的值，由此歸納出an的公式，并證明你的結(jié)論解：a2=2 a1+3×2°=2×1+3×2°，a3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21，a4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；猜想an=2n1+（n1）×3×2n2=2n