微積分在大學(xué)物理中的幾點(diǎn)應(yīng)用

1、畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（論文）題 目：微積分的幾點(diǎn)物理應(yīng)用 學(xué) 院： 數(shù)理學(xué)院 專業(yè)名稱： 應(yīng)用物理 學(xué) 號(hào)： 200941220103 學(xué)生姓名： 孫 川 指導(dǎo)教師： 李 建 2013年05月18日摘 要微元法在物理學(xué)中應(yīng)用非常普遍.在大學(xué)物理學(xué)中, 從靜電場(chǎng)到恒定磁場(chǎng)，從質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)到剛體的力學(xué)，都要遇到用微積分來解決的問題.本論文主要探討的是在大學(xué)物理學(xué)習(xí)中,應(yīng)用微積分方法解決問題時(shí)幾個(gè)問題.微積分主要思想和方法利用微元法處理比較復(fù)雜物理問題時(shí),可以先把它分割成許多在較小時(shí)間、空間等范圍內(nèi)的可以近似處理的基本問題,然后再對(duì)此可研究的簡(jiǎn)單的基本問題進(jìn)行討論,最后再把所有局部范圍內(nèi)研究的結(jié)果累積起來

2、,就可以得到問題結(jié)果.在理論分析時(shí),把分割過程無限地進(jìn)行下去,局部范圍便會(huì)無限地小下去,這就是微分;把所有的無限多個(gè)微分元的結(jié)果進(jìn)行疊加,便是積分.這就是微積分的主要思想和方法,是一種辯證的思想和分析方法 關(guān)鍵字微積分 微元法 質(zhì)點(diǎn)力學(xué) 剛體力學(xué) 電磁學(xué) AbstractCalculus is quite common in physics. In College Physics, from the particle motion mechanics to particle dynamics mechanics, both the electrostatic field and a const

3、ant magnetic field meet the question which needs use the calculus. This article mainly discusses the learning of university physics; Applied Calculus approach to the problem should pay attention to several issues.The main ideas and methods of the calculus, using the calculus method to deal with more

4、 complex physical problems. Its first “break up the whole into parts “, it is divided into many smaller time, space Etc. within the range of processing of the basic Can be approximated. Then, to research simple questions hold discussion. Lastly, “Zero for the whole plot”, within the scope of all the

5、 result of study Accumulated. The results can be obtained. In theoretical analysis, the segmentation process is carried on unlimited. Then Local scope Narrow down unlimited. This is differentiation. All the Differential element Superimposed, it is integral calculus. This is the main ideas and method

6、s of the calculus. Is a kind of dialectical thinking and analytical methods.Key wordsCalculus Micro-element method Particle mechanics Rigidbody mechanics Electricity and Magnetism目 錄第一章 緒論4第二章 微積分在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的應(yīng)用52.1 用微積分解決速度和加速度的問題52.2用微積分解決變力做功問題8第三章 定積分在計(jì)算剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中的應(yīng)用8第四章 定積分在電場(chǎng)強(qiáng)度以及電勢(shì)計(jì)算中的應(yīng)用104.1、定積分在電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)

7、算中的應(yīng)用104.2、定積分在電勢(shì)計(jì)算中的應(yīng)用11參考文獻(xiàn)14致 謝15第一章 緒論偉大的科學(xué)家牛頓有很多偉大的成就建立了經(jīng)典物理理論比如：牛頓三大定律，萬有引力定律等；另外在數(shù)學(xué)上也有偉大的成就創(chuàng)立了微積分.微積分（Calculus）是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支.微積分是建立在實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的.微積分最重要的思想是用"微元"和"無限逼近"就像一個(gè)事物始終在變化很難研究但通過微元分割成許多無限小那就可以認(rèn)為是常量處理最終加起來就是積分. 微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，“無限細(xì)分”就是微分，那么“無限求和

8、”就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是要運(yùn)用一種運(yùn)動(dòng)的思想來看待問題。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一，在大學(xué)物理中，微積分思想發(fā)揮了極其重要的作用。微積分方法是一種辨證思想方法它包含有限與無限的對(duì)立統(tǒng)一近似與精確的對(duì)立和統(tǒng)一.它把復(fù)雜物理問題進(jìn)行時(shí)間和空間上的有限次分割，在有限小的范圍內(nèi)進(jìn)行近似處理然后讓分割無限地進(jìn)行下去局部范圍無限的變小那么近似處理也就會(huì)越來越精確這樣在理論上就能得到精確的結(jié)果.微分就是理論分析時(shí)，把分割過程無限的進(jìn)行下去局部范圍便無限小下去. 積分就是把無限小的微分元求和這就是微積分的方法.物理學(xué)就是要抓住主要方面，忽略次要方面從而使得復(fù)雜問題簡(jiǎn)單

9、化因此在大學(xué)物理中應(yīng)用微積分方法能夠把看似復(fù)雜的問題近似成簡(jiǎn)單、基本、可研究問題.物理現(xiàn)象及其規(guī)律研究都是以最簡(jiǎn)單的現(xiàn)象和規(guī)律為基礎(chǔ)例如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)是從勻速、勻變速的直線運(yùn)動(dòng)開始帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)是以點(diǎn)電荷為基礎(chǔ)的對(duì)于實(shí)際中復(fù)雜問題則可化整為零把它分割成在較小時(shí)間、空間等范圍內(nèi)的相應(yīng)局部問題，只要把局部范圍被分割到足夠小小到這些局部問題可近似處理為簡(jiǎn)單、基本、可研究地問題，然后把局部范圍內(nèi)結(jié)果累積起來，就可以得出問題的結(jié)果.第二章 微積分在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的應(yīng)用2.1 用微積分解決速度和加速度的問題1.位置矢量定義：由坐標(biāo)原點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)所在位置的矢量稱為位置矢 量（簡(jiǎn)稱位矢或徑矢）。如圖選取的是直角坐標(biāo)系，

10、為質(zhì)點(diǎn)P的位置矢量因?yàn)閤、y、z都是時(shí)間的函數(shù)，既 ；因此，可以反映任意t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置，因此把上式稱作質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。2位移在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)由時(shí)刻t1，起始位置A處，經(jīng)過時(shí)間后，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了位置B處，質(zhì)點(diǎn)的位矢由變化到處。由始點(diǎn)A指向終點(diǎn)B的有向線段稱為點(diǎn)A到點(diǎn)B的位移矢量，簡(jiǎn)稱位移。可用或表示。矢量，剛好為三角形的三邊，由三角形法則可以得出 =-3. 速度為了描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)快慢及方向，從而引進(jìn)速度概念。(1) 平均速度 在時(shí)刻時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的位移為，那么二者的比值，稱為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)的平均速度，平均速度描述物體的運(yùn)動(dòng)是比較粗糙的，因?yàn)樵跁r(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的各個(gè)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況不一定相同，

11、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以時(shí)快時(shí)慢，方向也可以不斷地改變，平均速度不能反映質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的真實(shí)細(xì)節(jié)，如果要精確到質(zhì)點(diǎn)在某一刻時(shí)刻或某一位置的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況，應(yīng)使盡量小，即，用平均速度的極限值瞬時(shí)速度來秒速。(2) 瞬時(shí)速度 瞬時(shí)速度即為平均速度的極限值即瞬時(shí)速度（速度）為位置矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)速度在直角坐標(biāo)系下表達(dá)式為：   ,3. 加速度 同理加速度應(yīng)該為位置矢量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，直系分解形式： 這就是說，質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻或某位置的(瞬時(shí))加速度等于速度矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，或等于位置矢徑對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。 例題1、 一質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為=3+5, =2+3-4.式中以

12、s計(jì)，,以m計(jì)(1)以時(shí)間為變量，寫出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式；(2)求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算4 s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；(3)求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的表示式，計(jì)算4s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度解：（1） (2) 則 (3) 由例題1可知，由運(yùn)動(dòng)方程求速度、加速度，這類問題主要是用求導(dǎo)的方法解決例題2 已知一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為 4+3 ，開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，5 m， =0，求該質(zhì)點(diǎn)在10s 時(shí)的速度和位置 解： 分離變量，得 積分，得 由題知，, ,故 又因?yàn)?分離變量， 積分得 由題知 , ,故 所以時(shí)由例題2知、已知加速度（或速度）以及初始條件求運(yùn)動(dòng)方程，這類問題主要用積分的方法2.2用微積分解決變力做功問題

13、功：力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量與位移大小的乘積。元功 變力所作的功 直角坐標(biāo)系中 說明：功是力對(duì)空間的累積；合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功，等于每個(gè)分力所作的功的代數(shù)和。例題3 選取彈簧自然伸長(zhǎng)處為x坐標(biāo)的原點(diǎn)，當(dāng)彈簧形變量為x時(shí)，彈性力做功為多少？解：彈性力為F=-kx 式中k為彈簧的勁度系數(shù)則 可見，功是力對(duì)位置的積分。上述例子在整個(gè)過程中間，F(xiàn)為變力，為了解決問題，取位移元，則在內(nèi)，F(xiàn)可以看做一恒力，那么利用功的定義，元功,再對(duì)于整個(gè)區(qū)間進(jìn)行積分，就可得到結(jié)果。第三章 定積分在計(jì)算剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中的應(yīng)用剛體:把物體看作有質(zhì)量和大小形狀，但在外力作用下大小形狀不發(fā)生改變的理想模型；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

14、是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度，是剛體力學(xué)中的一個(gè)重要參數(shù)，在質(zhì)點(diǎn)系中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式為有定積分的定義可知當(dāng)質(zhì)量連續(xù)分布時(shí)，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可表示為例1、 如圖所示，求質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒的傳統(tǒng)慣量：（1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直；（2）轉(zhuǎn)軸通過棒一端并與棒垂直。解：（1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直在棒上任取一質(zhì)元，其長(zhǎng)度為，距軸0的距離為x，設(shè)棒的線密度（即單位長(zhǎng)度上的質(zhì)量）為，則該質(zhì)元的質(zhì)量dm=.該質(zhì)元對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為整個(gè)棒對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端與棒垂直時(shí)，整個(gè)棒對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由于棒上各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離不一樣，因此不能用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義計(jì)算，那么我們就要選取就要選取

15、一個(gè)質(zhì)元dm=，此質(zhì)元可以作為質(zhì)點(diǎn)來看，那么運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義，那么該質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后對(duì)整個(gè)區(qū)間進(jìn)行積分，就得到整個(gè)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由此看出，同一均勻細(xì)棒，轉(zhuǎn)軸位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量不同。由上述例子，可以看出定積分可以解決已知質(zhì)量分布時(shí)，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。第四章 定積分在電場(chǎng)強(qiáng)度以及電勢(shì)計(jì)算中的應(yīng)用4.1、定積分在電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算中的應(yīng)用1、設(shè)真空中的優(yōu)點(diǎn)電荷為q，P點(diǎn)位空間一點(diǎn)（稱為場(chǎng)點(diǎn)）。為從q到P點(diǎn)的矢徑。點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度由疊加原理，點(diǎn)電荷系在空間點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度由定積分的定義，連續(xù)帶電體在空間點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度例1、 一個(gè)半徑為的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為,求環(huán)心處點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)解: 如圖在圓上取，它

16、在點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大小為方向沿半徑向外則 積分 ，方向沿軸正向上述例題中因?yàn)閹щ婓w為一圓環(huán)，各點(diǎn)在在點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)的方向不同，因此計(jì)算上不可能一蹴而就，我們的方法是先取微元，此時(shí)可以看出是點(diǎn)電荷，其在點(diǎn)處激發(fā)的電場(chǎng)，然后對(duì)在整個(gè)區(qū)間上積分即可得到結(jié)果。4.2、定積分在電勢(shì)計(jì)算中的應(yīng)用1、設(shè)真空中的優(yōu)點(diǎn)電荷為q，P點(diǎn)位空間一點(diǎn)（稱為場(chǎng)點(diǎn)）。為從q到P點(diǎn)的矢徑。點(diǎn)處的電勢(shì)由疊加原理，點(diǎn)電荷系在空間點(diǎn)處的電勢(shì)由定積分的定義，連續(xù)帶電體在空間點(diǎn)處的電勢(shì)例2、如圖所示的絕緣細(xì)線上均勻分布著線密度為的正電荷,兩直導(dǎo)線的長(zhǎng)度和半圓環(huán)的半徑都等于試求環(huán)中心點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)解: (1)由于電荷均勻分布與對(duì)稱性，和段電荷在

17、點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)互相抵消，取則產(chǎn)生點(diǎn)如圖，由于對(duì)稱性，點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)沿軸負(fù)方向(2) 電荷在點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)，以同理產(chǎn)生 半圓環(huán)產(chǎn)生 上述例題中因?yàn)閹щ婓w為不規(guī)則，各點(diǎn)在在點(diǎn)處的電勢(shì)的大小不同，因此計(jì)算上也不可能一蹴而就，我們的方法是先取微元，此時(shí)可以看出是點(diǎn)電荷，其在點(diǎn)處激發(fā)的電場(chǎng)，然后對(duì)在整個(gè)區(qū)間上積分即可得到結(jié)果?？偨Y(jié)：由以上的分析可以看出，微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用不僅是數(shù)學(xué)工具 的應(yīng)用，還是一種思維方法的應(yīng)用.在物理學(xué)中應(yīng)用微積分解決問題是學(xué)習(xí)物理必不可少的一部分，在具體的問題當(dāng)中選取合適的微元，是解題的關(guān)鍵，也就是把具體問題怎樣分割才能便于我們更簡(jiǎn)單的解題。參考文獻(xiàn)1賈曉峰.微積分與數(shù)學(xué)模型.高等教育

18、出版社. 2008年6月2王飛.物理學(xué).新華出版社.2006年6月3許瑞珍.大學(xué)物理.機(jī)械工業(yè)出版社.2006年8月1日4黎定國(guó).大學(xué)物理中微積分的思想方法淺談J.大學(xué)物理2005，24（12）：5254.5趙建彬.物理學(xué)M.北京機(jī)械出版社，2006.6周圣源.高工專物理學(xué)M.北京高等教育出版社，1996.7 Jia Xiaofeng. calculus and mathematical models . Higher Education Press.2008.06 89 Xu zhenrui.University physics. Mechanical Industry Press 2006.0810 Li dingguo. College Physics ideological discussion on the method of calculusJ.College Physics 2005,24(12):5254.11Zhao jianbin. PhysicsM. Beijing Machinery Press,2006.12Zhou shengyuan, Hydrallic physicsM. Beijing Higher Education Press,1996.致 謝通過此次畢業(yè)設(shè)計(jì)，加深了我對(duì)微積分的了解，為今后順利的開展工作打下良好的基