第4講　萬有引力與航天 講義

1、.第4講萬有引力與航天見學生用書P064微知識1 開普勒行星運動定律1開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。2開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積。3開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等，表達式：k。微知識2 萬有引力定律1公式：FG，其中G6.67×1011_N·m2/kg2，叫引力常量。2公式適用條件：此公式適用于質點間的互相作用。當兩物體間的間隔 遠遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點。均勻的球體可視為質點，r是兩球心間的間隔 。一個均勻球體與

2、球外一個質點間的萬有引力也適用，其中r為球心到質點間的間隔 。微知識3 衛(wèi)星運行規(guī)律和宇宙速度1地球同步衛(wèi)星的特點1軌道平面一定：軌道平面和赤道平面重合。2周期一定：與地球自轉周期一樣，即T24 h86 400 s。3角速度一定：與地球自轉的角速度一樣。4高度一定：據Gmr得r4.24×104 km，衛(wèi)星離地面高度hrR5.6R為恒量。5速率一定：運動速度v2r/T3.08 km/s為恒量。6繞行方向一定：與地球自轉的方向一致。2極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星1極地衛(wèi)星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛(wèi)星可以實現全球覆蓋。2近地衛(wèi)星是在地球外表附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行

3、的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9 km/s。3兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心。3三種宇宙速度比較微知識4 經典時空觀和相對論時空觀1經典時空觀1在經典力學中，物體的質量是不隨速度的改變而改變的。2在經典力學中，同一物理過程發(fā)生的位移和對應時間的測量結果在不同的參考系中是一樣的。2相對論時空觀同一過程的位移和時間的測量與參考系有關，在不同的參考系中不同。3經典力學有它的適用范圍只適用于低速運動，不適用于高速運動；只適用于宏觀世界，不適用于微觀世界。一、思維辨析判斷正誤，正確的畫“，錯誤的畫“×。1只要知道兩個物體的質量和兩物體之間的間隔 ，就可以由FG來

4、計算物體間的萬有引力。×2第一宇宙速度與地球的質量有關。3地球同步衛(wèi)星的運行速度大于第一宇宙速度。×4發(fā)射探月衛(wèi)星的速度必須大于第二宇宙速度。×5地球對其外表的物體的萬有引力就是物體的重力。×二、對點微練1開普勒三定律火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，根據開普勒行星運動定律可知A太陽位于木星運行軌道的中心B火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等C火星與木星公轉周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方D一樣時間內，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積解析行星做橢圓運動，且在不同的軌道上，所以A、B項錯誤；根據開普勒第三定律，可知C項正

5、確；對在某一軌道上運動的天體來說，天體與太陽的連線在相等時間內掃過的面積相等，而題中是兩個天體、兩個軌道，所以D項錯誤。答案C2對萬有引力定律的理解一名宇航員來到一個星球上，假如該星球的質量是地球質量的一半，它的直徑也是地球直徑的一半，那么這名宇航員在該星球上所受的萬有引力大小是它在地球上所受萬有引力的A0.25倍B0.5倍C2.0倍D4.0倍解析由F引2F地，故C項正確。答案C3對宇宙速度的理解北斗衛(wèi)星導航系統是我國自行研制開發(fā)的區(qū)域性三維衛(wèi)星定位與通信系統CNSS，建成后的北斗衛(wèi)星導航系統包括5顆同步衛(wèi)星和30顆一般軌道衛(wèi)星。對于其中的5顆同步衛(wèi)星，以下說法正確的選項是A它們運行的線速度一

6、定不小于7.9 km/sB地球對它們的吸引力一定一樣C一定位于赤道上空同一軌道上D它們運行的加速度一定一樣解析同步衛(wèi)星運行的線速度一定小于7.9 km/s，選項A錯誤；由于5顆同步衛(wèi)星的質量不一定相等，所以地球對它們的吸引力不一定一樣，選項B錯誤；5顆同步衛(wèi)星一定位于赤道上空同一軌道上，它們運行的加速度大小一定相等，方向不一樣，選項C正確，D錯誤。答案C見學生用書P065微考點1天體質量和密度的計算核|心|微|講天體質量及密度的估算方法典|例|微|探【例1】多項選擇1798年，英國物理學家卡文迪許測出萬有引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為能稱出地球質量的人。假設萬有引力常量G，地球外表處的重力

7、加速度g，地球半徑R，地球上一個晝夜的時間T1地球自轉周期，一年的時間T2地球公轉周期，地球中心到月球中心的間隔 L1，地球中心到太陽中心的間隔 L2。你能計算出A地球的質量m地B太陽的質量m太C月球的質量m月D可求月球、地球及太陽的密度【解題導思】1假設萬有引力常量、天體外表的重力加速度和半徑，能否求出天體的質量？答：能，用關系式Gmg。2假設萬有引力常量、地球繞太陽運動的周期和半徑，能否求出地球的質量？答：不能，由萬有引力提供向心力G知，只能求出太陽的質量，不能求出地球的質量。解析對地球外表的一個物體m0來說，應有m0g，所以地球質量m地，選項A正確；對地球繞太陽運動來說，有m地L2，那么

8、m太，B項正確；對月球繞地球運動來說，能求地球質量，不知道月球的相關參量及月球的衛(wèi)星運動參量，無法求出它的質量和密度，C、D項錯誤。答案AB估算天體質量和密度時應注意的問題1利用萬有引力提供天體做圓周運動的向心力估算天體質量時，估算的只是中心天體的質量，并非環(huán)繞天體的質量。2區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體外表附近的衛(wèi)星才有rR；計算天體密度時，VR3中的R只能是中心天體的半徑。題|組|微|練1過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內，行星“51 peg b的發(fā)現拉開了研究太陽系外行星的序幕。“51 peg b繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽

9、運動半徑的。該中心恒星與太陽的質量比約為A.B1C5D10解析行星繞恒星做圓周運動，萬有引力提供向心力，Gmr2，得M，該中心恒星的質量與太陽的質量之比·3×1，B項正確。答案B2我國成功發(fā)射“嫦娥三號探測器，實現了我國航天器首次在地外天體軟著陸和巡視探測活動，月球半徑為R0，月球外表處重力加速度為g0。地球和月球的半徑之比為4，外表重力加速度之比為6，地球和月球的密度之比為A.B.C4 D6解析設星球的密度為，由Gmg得GMgR2，聯立解得，設地球、月球的密度分別為、0，那么，將4，6代入上式，解得，選項B正確。答案B微考點2衛(wèi)星的運動核|心|微|講衛(wèi)星的線速度、角速度、

10、周期與軌道半徑的關系做勻速圓周運動的衛(wèi)星所受萬有引力完全提供所需向心力，即由Gmmr2mrman可推導出：當r增大時典|例|微|探【例2】 多項選擇如下圖，a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是R和2RR為地球半徑。以下說法正確的選項是Aa、b的線速度大小之比是1Ba、b的周期之比是12Ca、b的角速度大小之比是34Da、b的向心加速度大小之比是94【解題導思】1a、b兩衛(wèi)星的軌道半徑不同，但均由萬有引力提供向心力，此說法對嗎？答：對。2衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動時，線速度、角速度、向心加速度、周期與半徑有關嗎？答：上述物理量均與半徑有關。解析衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動

11、所需要的向心力由地球給衛(wèi)星的萬有引力提供。由Gm得，故A項錯；由Gm2r得，故B項錯；由Gm2r得，故C項正確；由Gma得，故D項正確。答案CD題|組|微|練3a、b、c、d是在地球大氣層外的圓形軌道上運行的四顆人造衛(wèi)星。其中a、c的軌道相交于P，b、d在同一個圓軌道上，b、c軌道在同一平面上。某時刻四顆衛(wèi)星的運行方向及位置如下圖。以下說法正確的選項是Aa、c的加速度大小相等，且大于b的加速度Bb、c的角速度大小相等，且小于a的角速度Ca、c的線速度大小相等，且小于d的線速度Da、c存在在P點相撞的危險解析由Gmmr2mrma，可知B、C項錯誤，A項正確；vavc，TaTc，所以a、c不會相撞

12、，D項錯誤。答案A4多項選擇美國科學家曾宣布：人類在太陽系外圍發(fā)現了一顆過去未知的巨行星，綽號為“九號行星。它的質量約為地球質量的10倍，繞太陽公轉周期為1萬至2萬年。假設認為包括“九號行星在內的所有行星公轉軌道近似為圓，不考慮各行星之間的互相作用，以下說法正確的選項是A“九號行星的公轉軌道半徑比地球的公轉軌道半徑大B“九號行星的公轉線速度比地球的公轉線速度大C“九號行星的公轉角速度比地球的公轉角速度小D“九號行星的公轉向心加速度約為地球公轉向心加速度的解析根據k，可以知道周期越大，那么半徑越大，應選項A正確；根據m，那么v，可以知道，半徑越大那么線速度越小，應選項B錯誤；根據m2r，那么，那

13、么半徑越大，角速度越小，應選項C正確；根據k和a可知，“九號行星的向心加速度約為地球向心加速度的倍，D項錯誤。答案AC微考點3衛(wèi)星的發(fā)射和變軌核|心|微|講1穩(wěn)定運行衛(wèi)星繞天體穩(wěn)定運行時萬有引力提供了衛(wèi)星做圓周運動的向心力，由m得v。由此可知，軌道半徑r越大，衛(wèi)星的速度越小。當衛(wèi)星由于某種原因速度v突然改變時，F引和m不再相等，因此就不能再根據v來確定v的大小，當F引時，衛(wèi)星做近心運動；當F引時，衛(wèi)星做離心運動。2變軌運行人造衛(wèi)星在軌道變換時，總是主動或由于其他原因使速度發(fā)生變化，導致萬有引力與向心力相等的關系被破壞，繼而發(fā)生近心運動或者離心運動，發(fā)生變軌。在變軌過程中，由于動能和勢能的互相轉

14、化，可能出現萬有引力與向心力再次相等，衛(wèi)星即定位于新的軌道。典|例|微|探【例3】中國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射“亞太九號通信衛(wèi)星，該衛(wèi)星運行的軌道示意圖如下圖，衛(wèi)星先沿橢圓軌道1運行，近地點為Q，遠地點為P。當衛(wèi)星經過P點時點火加速，使衛(wèi)星由橢圓軌道1轉移到地球同步軌道2上運行，以下說法正確的選項是A衛(wèi)星在軌道1和軌道2上運動時的機械能相等B衛(wèi)星在軌道1上運行經過P點的速度大于經過Q點的速度C衛(wèi)星在軌道2上時處于超重狀態(tài)D衛(wèi)星在軌道1上運行經過P點的加速度等于在軌道2上運行經過P點的加速度【解題導思】1衛(wèi)星的軌道半徑越大，其機械能也越大還是越?。看穑涸酱?。2衛(wèi)星的加速度由什么決定？答：由萬有

15、引力和衛(wèi)星的質量決定。解析衛(wèi)星在兩軌道上運動的機械能不相等，A項錯；在軌道上運行經過P點的速度應小于近地點Q的速度，萬有引力做正功使動能增加，B項錯；衛(wèi)星在軌道上應處于失重狀態(tài)，C項錯；由萬有引力提供向心力可知：Gma，a，在同一點P加速度相等，D項對。答案D題|組|微|練5多項選擇目前，在地球周圍有許多人造地球衛(wèi)星繞著它運轉，其中一些衛(wèi)星的軌道可近似為圓，且軌道半徑逐漸變小。假設衛(wèi)星在軌道半徑逐漸變小的過程中，只受到地球引力和稀薄氣體阻力的作用，那么以下判斷正確的選項是A衛(wèi)星的動能逐漸減小B由于地球引力做正功，引力勢能一定減小C由于氣體阻力做負功，地球引力做正功，機械能保持不變D衛(wèi)星抑制氣體

16、阻力做的功小于引力勢能的減小解析根據Gm，得v，可知軌道半徑越小，那么v越大，動能越大，故A項錯誤；根據功能關系，引力做正功，引力勢能一定減小，故B項正確；根據功能關系，機械能的變化與除重力以外其他力做功有關，既然氣體阻力做了負功，機械能一定會減小，故C項錯誤；根據動能定理，WGW阻Ek2Ek1，由于衛(wèi)星的動能逐漸增大，所以WG>W阻，故D項正確。答案BD6美國曾在夏威夷考艾烏的太平洋導彈靶場進展過一次中段反導試驗，中段是指彈道導彈在大氣層外空間依靠慣性飛行的一段。如下圖，一枚藍軍彈道導彈從地面上A點發(fā)射升空，目的是攻擊紅軍基地B點，導彈升空后，紅軍反導預警系統立即發(fā)現目的，從C點發(fā)射攔

17、截導彈，并在彈道導彈飛行中段的最高點D將其擊毀，以下說法正確的選項是A圖中E到D過程，彈道導彈機械能不斷增大B圖中E到D過程，彈道導彈的加速度大小不變C彈道導彈在大氣層外運動軌跡是以地心為焦點的橢圓D彈道導彈飛行至D點時速度大于7.9 km/s解析E到D過程，依靠慣性飛行，只受引力，只有引力做功，機械能守恒，故A項錯誤；E到D過程，高度增大，地球對導彈的引力減小，加速度減小，故B項錯誤；根據開普勒第一定律，導彈在大氣層外只受地球引力，其運動軌跡是以地心為焦點的橢圓，故C項正確；根據開普勒第二定律，導彈離地面越遠速度越小，離地面越近速度越大，地面附近的速度為第一宇宙速度7.9 km/s，所以彈道

18、導彈飛行至D點時速度小于7.9 km/s，故D項錯誤。應選C項。答案C見學生用書P067雙星模型素能培養(yǎng)1模型構建在天體運動中，將兩顆彼此相距較近，且在互相之間萬有引力作用下繞兩者連線上的某點做周期一樣的勻速圓周運動的恒星稱為雙星。2模型條件1兩顆星彼此相距較近。2兩顆星靠互相之間的萬有引力做勻速圓周運動。3兩顆星繞同一圓心做圓周運動。3模型特點1“向心力等大反向兩顆星做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，故F1F2，且方向相反，分別作用在兩顆恒星上，是一對作用力和反作用力。2“周期、角速度一樣兩顆恒星做勻速圓周運動的周期、角速度相等。3“半徑反比圓心在兩顆恒星的連線上，且r1r2L

19、，兩顆恒星做勻速圓周運動的半徑與恒星的質量成反比。4巧妙求質量和m12r1m22r2得2L，所以m1m2。經典考題雙星系統由兩顆恒星組成，兩恒星在互相引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期一樣的勻速圓周運動。研究發(fā)現，雙星系統演化過程中，兩星的總質量、間隔 和周期均可能發(fā)生變化。假設某雙星系統中兩星做圓周運動的周期為T，經過一段時間演化后，兩星總質量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的間隔 變?yōu)樵瓉淼膎倍，那么此時圓周運動的周期為A. TB. TC. TD. T解析雙星間的萬有引力提供向心力。設原來雙星間的間隔 為L，質量分別為M、m，圓周運動的圓心距質量為m的恒星間隔 為r。對質量為m的恒星Gm

20、2r，對質量為M的恒星GM2Lr，得GL，即T2，那么當總質量為kMm，間距為LnL時，TT，選項B正確。答案B【反思總結】分析求解雙星或多星問題的兩個關鍵點1向心力來源：雙星問題中，向心力來源于另一星體的萬有引力；多星問題中，向心力那么來源于其余星體的萬有引力的合力。2圓心或軌道半徑確實定及求解：雙星問題中，軌道的圓心位于兩星連線上某處，只有兩星質量相等時才位于連線的中點，此處極易發(fā)生的錯誤是列式時將兩星之間的間隔 當作軌道半徑；多星問題中，也只有各星體的質量相等時軌道圓心才會位于幾何圖形的中心位置，解題時一定要弄清題給條件。對法對題1. 多項選擇宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間

21、的萬有引力作用互相繞轉，稱之為雙星系統。在浩瀚的銀河系中，多數恒星都是雙星系統。設某雙星系統A、B繞其連線上的O點做勻速圓周運動，如下圖。假設AO>OB，那么A星球A的質量一定大于B的質量B星球A的線速度一定大于B的線速度C雙星間間隔 一定，雙星的質量越大，其轉動周期越大D雙星的質量一定，雙星之間的間隔 越大，其轉動周期越大解析設雙星質量分別為mA、mB，軌道半徑分別為RA、RB，兩者間距為L，周期為T，角速度為，由萬有引力定律可知：mA2RA，mB2RB，RARBL，由式可得，而AOOB，故A項錯誤；vARA，vBRB，B項正確；聯立得GmAmB2L3，又因為T，故T2 ，可知C項錯誤

22、，D項正確。答案BD2. 多項選擇宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統，其中有一種三星系統如下圖，三顆質量均為m的星位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R，忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內繞三角形中心O做勻速圓周運動，萬有引力常量為G，那么A每顆星做圓周運動的線速度為B每顆星做圓周運動的角速度為C每顆星做圓周運動的周期為2 D每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無關解析由圖可知，每顆星做勻速圓周運動的半徑rR。由牛頓第二定律得·2cos30°mm2rmrma可解得v，T2 ，a，故A、B、C項均正確，D項錯誤。答案ABC見學生用書P0671關于行星運動的規(guī)

23、律，以下說法符合史實的是A開普勒在牛頓定律的根底上，導出了行星運動的規(guī)律B開普勒在天文觀測數據的根底上，總結出了行星運動的規(guī)律C開普勒總結出了行星運動的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運動的原因D開普勒總結出了行星運動的規(guī)律，發(fā)現了萬有引力定律解析開普勒在第谷的觀測數據的根底上，總結出了行星運動的規(guī)律，B項正確；牛頓在開普勒總結的行星運動規(guī)律的根底上發(fā)現了萬有引力定律，找出了行星運動的原因，A、C、D項錯。答案B2我國于2016年10月17日發(fā)射“神舟十一號飛船與“天宮二號對接，并于11月18日順利返回。假設“天宮二號與“神舟十一號都圍繞地球做勻速圓周運動，為了實現飛船與空間實驗室的對接，以下措施可行的是A使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船加速追上空間實驗室實現對接B使飛船與空間實驗室在同一軌道上運