必修2 13空間幾何體表面積體積知識點

1、必修2 1.3空間幾何體的表面積、體積例1 已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體SABC（圖6），求它的表面積.圖6分析：由于四面體SABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面面積的4倍.解：先求SBC的面積，過點S作SDBC，交BC于點D.因為BC=a,SD=,所以SSBC=BC·SD=.因此，四面體SABC的表面積S=4×.變式訓(xùn)練1.已知圓柱和圓錐的高、底面半徑均分別相等.若圓柱的底面半徑為r，圓柱側(cè)面積為S，求圓錐的側(cè)面積.解：設(shè)圓錐的母線長為l，因為圓柱的側(cè)面積為S，圓柱的底面半徑為r，即S圓柱側(cè)=S，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式可得：圓柱

2、的母線（高）長為，由題意得圓錐的高為，又圓錐的底面半徑為r，根據(jù)勾股定理，圓錐的母線長l=，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式得：S圓錐側(cè)=rl=·r·.2.兩個平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積的比是（ ）A.123 B.1719 C.345 D.1927分析：因為圓錐的高被分成的三部分相等，所以兩個截面的半徑與原圓錐底面半徑之比為123，于是自上而下三個圓錐的體積之比為()·2h·3h=1827，所以圓錐被分成的三部分的體積之比為1（81）（278）=1719.答案：B3.三棱錐VABC的中截面是A1B1C1，則三棱錐VA1

3、B1C1與三棱錐AA1BC的體積之比是（ ）A.12 B.14 C.16 D.18分析：中截面將三棱錐的高分成相等的兩部分，所以截面與原底面的面積之比為14，將三棱錐AA1BC轉(zhuǎn)化為三棱錐A1ABC，這樣三棱錐VA1B1C1與三棱錐A1ABC的高相等，底面積之比為14，于是其體積之比為14.答案：B例2 如圖7，一個圓臺形花盆盆口直徑為20 cm，盆底直徑為15 cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長為15 cm.為了美化花盆的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100個這樣的花盆需要多少毫升油漆？（取3.14，結(jié)果精確到1毫升）圖7解：如圖7，由圓臺的表面積公式得一個花盆

4、外壁的表面積S=-()21 000(cm2)=0.1(m2).涂100個這樣的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100個這樣的花盆需要1 000毫升油漆.變式訓(xùn)練1.有位油漆工用一把長度為50 cm，橫截面半徑為10 cm的圓柱形刷子給一塊面積為10 m2的木板涂油漆，且圓柱形刷子以每秒5周的速度在木板上勻速滾動前進(jìn)，則油漆工完成任務(wù)所需的時間是多少?（精確到0.01秒）解：圓柱形刷子滾動一周涂過的面積就等于圓柱的側(cè)面積，圓柱的側(cè)面積為S側(cè)=2rl=2·0.1·0.5=0.1 m2，又圓柱形刷子以每秒5周勻速滾動，圓柱形刷子每

5、秒滾過的面積為0.5 m2，因此油漆工完成任務(wù)所需的時間t=6.37秒.2.已知三棱錐OABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，則三棱錐體積的最大值是_.分析：由題意得三棱錐的體積是(x-2)2+，由于x0，則當(dāng)x=2時，三棱錐的體積取最大值.答案：例3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是7.8 g/cm3）六角螺帽（圖8）共重5.8 kg,已知底面是正六邊形，邊長為12 mm,內(nèi)孔直徑為10 mm,高為10 mm，問這堆螺帽大約有多少個?（取3.14）圖8解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即V=×122×6×10

6、-3.14×()2×102 956(mm3)=2.956(cm3).所以螺帽的個數(shù)為5.8×1 000÷(7.8×2.956)252(個).答：這堆螺帽大約有252個.變式訓(xùn)練 如圖9，有個水平放置圓臺形容器，上、下底面半徑分別為2分米，4分米，高為5分米，現(xiàn)以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，當(dāng)水面的高度為3分米時，求所用的時間.（精確到0.01秒）圖9解：如圖10，設(shè)水面的半徑為r，則EH=r-2分米，BG=2分米，圖10在ABG中，EHBG，.AH=2分米,.r=分米.當(dāng)水面的高度為3分米時，容器中水的體積為V水=·3()2+

7、×4+42=立方分米,所用的時間為36.69秒.答：所用的時間為36.69秒.自我測試1.正方體的表面積是96，則正方體的體積是（ ）A. B.64 C.16 D.96分析：設(shè)正方體的棱長為a，則6a2=96，解得a=4，則正方體的體積是a3=64.答案：B2.如圖19所示，圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為（ ）A. B.2 C.3 D.4分析：設(shè)圓錐的母線長為l，則l=2，所以圓錐的表面積為S=×1×(1+2)=3.答案：C3.正三棱錐的底面邊長為3，側(cè)棱長為，則這個正三棱錐的體積是（ ）A. B. C. D.分析：可得正三棱錐的高h(yuǎn)=3，于是V=.答

8、案：D4.若圓柱的高擴大為原來的4倍，底面半徑不變，則圓柱的體積擴大為原來的_倍；若圓柱的高不變，底面半徑擴大為原來的4倍，則圓柱的體積擴大為原來的_倍.分析：圓柱的體積公式為V圓柱=r2h，底面半徑不變，高擴大為原來的4倍，其體積也變?yōu)樵瓉淼?倍；當(dāng)圓柱的高不變，底面半徑擴大為原來的4倍時，其體積變?yōu)樵瓉淼?2=16倍.答案：4 165.圖20是一個正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點.現(xiàn)在沿GFH所在平面鋸掉正方體的一個角，問鋸掉部分的體積是原正方體體積的幾分之幾?圖20分析：因為鋸掉的是正方體的一個角，所以HA與AG、AF都垂直，即HA垂直于立方體的上底面，實際上鋸掉的這個

9、角，是以三角形AGF為底面，H為頂點的一個三棱錐.解：設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3. 三棱錐的底面是RtAGF，即FAG為90°，G、F又分別為AD、AA1的中點，所以AF=AG=.所以AGF的面積為.又因AH是三棱錐的高，H又是AB的中點，所以AH=.所以鋸掉的部分的體積為.又因,所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的.6.已知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，且面積為S，則圓錐的底面面積是_.分析：如圖21，設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，由題意得解得r=，所以圓錐的底面積為r2=.圖21答案：7.如圖22，一個正三棱柱容器，底面邊長為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個側(cè)面作為底面，如圖23，這時水面恰好為中截面，則圖22中容器內(nèi)水面的高度是_. 圖22 圖23分析：圖22中容器內(nèi)水面的高度為h，水的體積為V，則V=SABCh.又圖23中水組成了一個直四棱柱