高二暑期文.第4講 直線與圓錐曲線初步 刪解析

1、.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系初步第4講解析幾何5級(jí)曲線與方程滿分晉級(jí) 解析幾何3級(jí)雙曲線與拋物線初步解析幾何4級(jí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系初步4.1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考點(diǎn)1：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)睛直線：與圓錐曲線：的位置關(guān)系：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離這三種位置關(guān)系的斷定條件可歸納為：設(shè)直線：，圓錐曲線：，由消去或消去，得到關(guān)于或的方程：方程組的解的個(gè)數(shù)與方程的解的個(gè)數(shù)是一致的假設(shè)，相交；相離；相切，假設(shè)，直線與圓錐曲線相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)<老師備案>的情況：當(dāng)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸時(shí)；當(dāng)直線平行于雙曲線的漸近線時(shí)所以直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公

2、共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件以拋物線為例，直線，只有當(dāng)時(shí)，代入拋物線方程，才會(huì)轉(zhuǎn)化成一次方程，此時(shí)，直線平行于拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)典精講【例1】 橢圓，直線：與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為_(kāi)直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么_直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ABCD以上都不對(duì) D；【點(diǎn)評(píng)】直線與橢圓的位置關(guān)系，只需考慮判別式即可進(jìn)步班學(xué)案1【拓1】 兩點(diǎn)，給出橢圓，問(wèn)在橢圓上是否存在點(diǎn)，使得？【解析】 的中點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率為，故的中垂線方程為：，根據(jù)題意知，此題即判斷直線與橢圓有無(wú)公共點(diǎn)的問(wèn)題聯(lián)立，消去得，此式的判別式，故有且僅有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)然也可以設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，直接計(jì)算【例2】

3、判斷以下直線與雙曲線的位置關(guān)系：假設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這樣的直線有_條【解析】 相切；相交只有一個(gè)交點(diǎn)；相離；相交<老師備案>過(guò)一個(gè)定點(diǎn)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)：圖中區(qū)域不包括邊界在雙曲線上，有條；在區(qū)域，有條；在漸近線上但不是原點(diǎn)，有2條；在區(qū)域，有條；是原點(diǎn)，有條【點(diǎn)評(píng)】直線與雙曲線的位置關(guān)系更多時(shí)候利用數(shù)形結(jié)合尖子班學(xué)案1【拓2】 雙曲線的右焦點(diǎn)為，假設(shè)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么此雙曲線離心率的取值范圍是 ABCD【解析】 C；目的班學(xué)案1【拓3】 直線與雙曲線的右支交于不同的，兩點(diǎn)，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍【例3】 函數(shù)的

4、圖象與直線相切，那么 ABCD直線，拋物線，當(dāng)為何值時(shí)，與：有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)【解析】 B 當(dāng)或時(shí)，直線與有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)【點(diǎn)評(píng)】 一般地，直線與拋物線相切，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么直線與拋物線不一定是相切的如圖因此，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要而非充分條件過(guò)定點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程為_(kāi)【解析】 或或【思路】顯然，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線，即軸滿足題意設(shè)過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線的斜率為，其方程為代入拋物線中得當(dāng)時(shí)，得直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)

5、，滿足題意當(dāng)時(shí)，令，得即直線，與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)綜上所述，所求直線的方程是或或【錯(cuò)因分析】誤區(qū)一是設(shè)點(diǎn)斜式不能表示過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線而軸恰滿足題意，誤區(qū)二是忽略過(guò)點(diǎn)與軸平行的直線4.2直線與圓錐曲線相交初步考點(diǎn)2：弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)睛直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)，將代入，消去或，得到一元二次方程，方程的兩根滿足，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為經(jīng)典精講【例4】 直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是 直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，那么的中垂線方程為 ABCD橢圓過(guò)點(diǎn)的弦恰好被平分，那么此弦所在的直線方程是_ C；進(jìn)步班學(xué)案2【拓1】 直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，那么線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_ 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于

6、、兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，那么這樣的直線 A有且僅有一條B有且僅有兩條C有無(wú)窮多條D不存在 B考點(diǎn)3：通徑問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)睛經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，作一條直線垂直于它的對(duì)稱軸，和拋物線相交于兩點(diǎn)，線段叫做拋物線的通徑類似的，我們也可以定義橢圓和雙曲線的“通徑：過(guò)橢圓雙曲線的焦點(diǎn)，作垂直于長(zhǎng)軸或?qū)嵼S的直線，那么直線被橢圓雙曲線截得的線段叫做橢圓雙曲線的“通徑拋物線的通徑長(zhǎng)為；橢圓的通徑長(zhǎng)為；雙曲線的通徑長(zhǎng)為<老師備案> 橢圓拋物線的通徑是過(guò)橢圓拋物線焦點(diǎn)的弦中最短的一條雙曲線的通徑是過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，同支的弦中最短的我們來(lái)證明通徑是最短的以橢圓為例設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓交

7、于兩點(diǎn)，下面求的最小值當(dāng)是通徑時(shí)，不難算出當(dāng)非通徑時(shí)，直線的斜率存在，不妨設(shè)的方程為，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得設(shè)，那么又由前面橢圓一講知，其中為橢圓的離心率，那么雙曲線和拋物線類似可證雙曲線需要注意焦點(diǎn)弦所在直線的斜率范圍，保證焦點(diǎn)弦在雙曲線的同支上經(jīng)典精講【例5】 雙曲線的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在雙曲線上，且軸，那么到直線的間隔 為 A B C D設(shè)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的弦為，那么 ABCD都有可能過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于拋物線軸的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線交拋物線的軸于點(diǎn)，那么一定是 A銳角 B直角 C鈍角 D銳角或鈍角 A考點(diǎn)4：求圓錐曲線的弦長(zhǎng)知識(shí)點(diǎn)睛連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦求弦長(zhǎng)的

8、一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的間隔 公式來(lái)求；另外一種求法是假如直線的斜率為，被拋物線截得弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，那么弦長(zhǎng)公式為兩根差公式：假如是一元二次方程的兩個(gè)根，那么當(dāng)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為時(shí)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線相交于、兩點(diǎn)，那么弦長(zhǎng)<老師備案>圓錐曲線求弦長(zhǎng)時(shí)，都有一定的計(jì)算量，求弦長(zhǎng)的方式根本上類似，其中以拋物線的計(jì)算相對(duì)較為簡(jiǎn)單，預(yù)習(xí)階段就主要講拋物線，外加一道橢圓的題。經(jīng)典精講【例6】 直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)斜率為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)尖子班學(xué)案2【拓2】 設(shè)拋物線被直線截得的

9、弦長(zhǎng)為，求值 以中的弦為底邊，以軸上的點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，當(dāng)三角形的面積為時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo) 點(diǎn)坐標(biāo)是或目的班學(xué)案2【拓3】 正方形的一條邊在直線上，頂點(diǎn)、在拋物線上，求正方形的邊長(zhǎng)【解析】 正方形的邊長(zhǎng)為或【例7】 橢圓，直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，且，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為的直線被橢圓截的弦，求橢圓的方程；弦的長(zhǎng)度【解析】 橢圓的方程為 弦的長(zhǎng)度為實(shí)戰(zhàn)演練 【演練1】過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這樣的直線條數(shù)為 ABCD【解析】 B【演練2】給定雙曲線，被雙曲線截得的弦的中點(diǎn)為的直線的條數(shù)為 ABCD【演練3】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線，假設(shè)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)到的間隔 ，那么橢圓的離心率為 【演練4】橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)【演練5】求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上且被直線所截得的弦長(zhǎng)為的拋物線方程【解析】 拋