導(dǎo)數(shù)系列：一類以自然指數(shù)對數(shù)為背景的導(dǎo)數(shù)壓軸題解法教師版

1、一類以自然指數(shù)和對數(shù)為背景的壓軸題解法注：本文以目前數(shù)學(xué)成績在一本線上下的學(xué)子的數(shù)學(xué)水準(zhǔn)，進(jìn)行展開講解。根據(jù)“遺傳學(xué)規(guī)律”明年全國乙卷再次考到的可能性極大，打出來給學(xué)生將保準(zhǔn)學(xué)生橫掃此類壓軸題！源于課本：1-1課本99頁B組1題或課本2-2第32頁B組1題的習(xí)題：利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖像直觀驗證：ex 1 x；【探究拓展】探究1:證明不等式ex 1 x*變式1:設(shè)f(x) ex x a ,其中a R,若對于任意x R, f(x) 0恒成立，則參數(shù)a的取值范圍是 a 1變式2:設(shè)f(x)exax 1 ,其中aR,若對于任意xR,f(x)0恒成立，則參數(shù)a的取值范圍是 a

2、1變式3:設(shè)f(x)aexx 1 ,其中aR,若對于任意xR,f(x)0恒成立，則參數(shù)a的取值范圍是 a 1點(diǎn)評：太巧了：增之一分則太肥，減之一分則太瘦探究2:不等式ex 1 x*有哪些等價變形并在坐標(biāo)系中畫圖？變形1: ex 1 x1變形2: e x 1x 1變形 3: ln(1 x) x(x 1)變形 4： in x x 1(x 0) *1變形 5: In x 1(x 0) x1變形 6: In x 1(x 0) x歸一：我們只要通過畫圖并記住 ex 1 x*, Inx x 1(x 0)*即可，考試出現(xiàn)了其它變形換元轉(zhuǎn)化為這2個不等式即可。探究3:觀察：“插中”不等式(當(dāng)然是我編的名字)變

3、形 4： ln x x 1(x 0) *1變形 6: In x 1(x 0)* x兩式相加除以2,試比較：左邊lnx還是右邊-(x 1)的大小并證明:2 x結(jié)論：“插中”不等式*:若0 x 1,則lnx - x.；若x 1,則lnx - x -;2 x2 x請在坐標(biāo)系中畫出圖像：這個圖像很漂亮，容易記住。點(diǎn)評：數(shù)學(xué)很美，插中不等式很明顯是加強(qiáng)，更加精準(zhǔn)了，在高考中經(jīng)常考到，往后看 總結(jié)：ex 1 x*, lnx x 1(x 0) * “插中”不等式*，以上三式都是將自然指數(shù)和對 數(shù)放縮為我們更加熟悉的一次函數(shù)或者反比例函數(shù)進(jìn)行放縮處理。題型一：化3為指數(shù)型ex 1 x放縮例1 (2010年全國

4、)設(shè)函數(shù) f x ex 1 x ax2。(1)若a 0,求f x的單調(diào)區(qū)間；(2)若x 0時f x 0,求a的取值范圍。(提示：ex x 1)解：(1) a 0時，f(x) ex 1 x, f'(x) ex 1.當(dāng)x ( ,0)時，f'(x) 0；當(dāng)x (0,)時，f'(x) 0.故f(x)在(，0)單調(diào)減少，在(0,)單調(diào)增加(2) f '(x) ex 1 2ax由(I)知ex 1 x,當(dāng)且僅當(dāng)x 0時等號成立.故f'(x)x 2ax (1 2a)x ,1 .從而當(dāng) 1 2a 0,即 a 時，f'(x) 0 (x 0),而 f(0) 0, 2于

5、是當(dāng)x 0時，f (x) 0.xx1由e 1 x(x 0)可得e 1 x(x 0).從而當(dāng)a 時，2_xxx xxf'(x) e 1 2a(e 1) e (e 1)(e2a),故當(dāng) x (0,ln2a)時，f'(x) 0 ,而 f (0) 0 ,于是當(dāng) x (0,ln 2a)時，f (x) 0.1綜合得a的取值范圍為（，.2練習(xí)1： (2012年全國)已知函數(shù) f x f' 1 ex 11 2.(2)右f x x ax b,求a 1 b的最大值。2.1 2f 0 x x,（1）求fx的解析式及單調(diào)區(qū)間; 2（很簡單,省略）練習(xí)2: （2013年全國）已知函數(shù) f xxe

6、 In x m .當(dāng)m 2時，證明f x0.（很簡單，省略）練習(xí)3： （2016年廣一模）已知函數(shù) f x exm x3,g x In x 1 2。1）若曲線y f x在點(diǎn)0, f 0 處的切線斜率為1,求實數(shù) m的值。2）當(dāng)m 1時，證明：f x g x x3。（2016年廣二 模也有用到）練習(xí)4：已知函數(shù)f（x） ex ax 1（a 0,e為自然對數(shù)的底數(shù)）.求函數(shù)f（x）的最小值； 若f （x） >0對任意的x R恒成立，求實數(shù)a的值;在的條件下，證明：(1)n (-)n(')n (n)n 二(其中n N*).n nn n e 1解：(1)由題意 a 0, f (x) ex

7、 a ,由 f (x) ex a 0 得 x In a.當(dāng) x ( ,lna)時，f (x) 0；當(dāng) x (In a,)時，f (x) 0.f(x)在(，lna)單調(diào)遞減，在(ln a,)單調(diào)遞增.即f (x)在x In a處取得極小值，且為最小值，其最小值為 f(lna) elna aln a 1 a a In a 1.(2) f(x戶0對任意的x R恒成立，即在x R上，f (x)min>0.由(1),設(shè) g(a) a aln a 1.,所以 g(a)n0.由 g (a) 1 In a 1 In a 0 得 a 1.g(a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞減，g(a

8、)在a 1處取得極大值g(1) 0.因此g(a戶0的解為a 1 ,a 1.(3)由(2)知，因為a 1 ,所以對任意實數(shù) x均有exk /(n nN*, k 0,1,2,3，n 1),則 0 1k k-< e n.，(1 -)n < (e n) nn/2 n/n 1、n n、n (n 1) (n 2)(一)()(-)< e enn nn1 e 1111 e 1 e練習(xí)5：已知函數(shù)f (x)= eax x ,其中aw 0.(1)若對一切xC R, f (x) >1恒成立，求a的取值集合. 在函數(shù)f(x)的圖像上取定兩點(diǎn)A(x1,f(刈)，B(x2,f (x2)(x1x2)

9、，記直線ABW斜率為K,問：是否存在X0C (xi,X2),使f (Xo) k成立？若存在,Xo的取值范圍；若不存在，請說明理由eaxx 1,這與題設(shè)矛盾，又 a 0,1 . 1,、一,、,.1 . in 時，f (x) 0, f (x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x in a aa【答案】(1)若a 0,則對一切x 0, f(x)故a 0.11而 f (x) ae 1,令 f (x) 0,得x -ln.a a-1.1當(dāng)x ln時，f (x) 0, f (x)單倜遞減；當(dāng)x a a1111 1時，f(x)取取小值f (in) in .aaaa a于是對一切x R, f (x) 1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) in 1.

10、令 g(t) t tintJUg(t) in t.當(dāng)0 t 1時，g (t) 0,g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t 1時，g (t) 0,g單調(diào)遞減.1故當(dāng)t 1時，g(t)取最大值g(1) 1.因此，當(dāng)且僅當(dāng)一1即a 1時，式成立 a綜上所述，a的取值集合為 1 .(2)由題意知，k f(x23)e 2 鏟 1.x2 x1x2 x1eax2ea均令(x) f (x) k aeax e-e-,則& x1ax1(x1) ea(x2 " a(x2 x1) 1 ,x2 x1a為(x2)- ea(>1 x2) a(x1 x2) 1 .x2 x令 F(t) et t 1,則 F (t) e

11、t 1 .當(dāng) t 0 時，F(xiàn) (t)0,F(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t 0時，F(xiàn) (t)0,F(t)單調(diào)遞增.故當(dāng) t 0, F(t)F(0) 0,即 S t 1 0.從而ea(x %)a(x1 x2)a(x2 x1) 1 0, ea(x( x2) 10,又eax2 0,一0,x2x1x2x1所以(x1) 0,(溝)0.因為函數(shù)y (x)在區(qū)間Xi,X2上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在xo (Xi,X2)使1eaX2(Xo) 0, (x) a2eax 0, (x)單調(diào)遞增，故這樣的c是唯一的，且 c -ln故當(dāng)且僅當(dāng)a a(x2 x1)1eax2 eaxix (-ln -7區(qū))時，f (Xo)

12、k.aa(x2 x1)1 eax2 eaxi綜上所述，存在 Xo (x,X2)使f (Xo) k成立.且x0的取值范圍為(一 In,x2).a a(x2 %)【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出f(x)取最小值.111 11f(-ln-) - -ln-.對一切XCR, f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為f(x)min 1 ,從而得出a的取值集合；第 a aa a a二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的單調(diào)性及最值來進(jìn)行分析判斷l(xiāng)n x k一一練習(xí)4：

13、 (2。12年山東)已知函數(shù)f X,曲線y f x在點(diǎn)1,f 1 處的切線與X軸平行。1)e求k的值；2)求f X的單調(diào)區(qū)間；3)設(shè)g x X2 X f ' X ,其中f ' X為f X的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意x o, g (x) 1 e 2。(答案略)例2、(2。11年湖北)已知函數(shù)f x ln x x 1,x o,.求函數(shù)的最大值；2)設(shè)ak,bk k 1,2,., n均為正數(shù)，證明：若aha2b2.anbnbib2.bn,則a'abL.abn1 (提示：ln x x 1)1解：(1) f(x)的定義域為(o,)，令 f/(x) 1 1 o x 1,Xf (x)在(o

14、,1)上遞增，在(1,)上遞減，故函數(shù) f(x)在x 1處取得最大值f(1) o由(I)知當(dāng) X (o,)時有 f(x) f (1) o 即 lnx x 1,nnak,bk o, bk lnakbk(ak 1),(k 1,2,L n) ln abkbk(ak 1)k 1k 1nnakbkbkk 1k 1nbkln akk 1IP . . b1 b2bnb1 b2bnoln( a-a2Lan) oaa2Lan1練習(xí)1: (2。6年全國)函數(shù)f Xx 1 ln x 1 ,若對所有的x 1都有f x ax成立，求實數(shù)a的取值范圍。(很簡單，省略)練習(xí)2：已知函數(shù)f(x) (x 1)ln x x 1.

15、2(1)右xf'(x) x ax 1,求a的取值范圍；(2)證明：(x 1)f(x) 0 .x 11斛：(I) f (x) In x 1 In x 一，xxf (x) xln x 1,2題設(shè)xf (x) x ax 1等價于In x x a .1令 g(x) In x x ,則 g (x) 1x''當(dāng) 0< x< 1 , g (x)> 0；當(dāng) x>1 時，g (x)<0 , x 1 是 g(x)的最大值點(diǎn),g(x)< g(1)1綜上，a的取值范圍是1,.(n)有(i)知，g(x)< g(1)1 即 Inx x 10 0.當(dāng) 0&l

16、t;x< 1 時，f(x) (x 1)ln x x 1 x In x (In x x 1)< 0；當(dāng)x> 1時，f (x) In x (xln x x 1)，“1/、In x x(ln x 1) x,/(11,、In x x(ln 一 1) x x>0練習(xí)3: （2014年陜西）設(shè)函數(shù)fln 1 x ,g x xf' x ,x 0,其中f ' x是f x的導(dǎo)函數(shù)。若f x ag x恒成立，求實數(shù) a的取值范圍。（很簡單，省略）練習(xí)4：(2011浙江理22,替換構(gòu)造)已知函數(shù)f(x) 2aln(1 x) x(a 0).求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(1 n)

17、n*求證：4lge lge lgelge lgenn (n 1) (n N ). 2a解：定義域為 1,f'(x) 1.1 x令 f '(x) 01 x 2a 1 ,令 f '(x) 0 x 2a 1故f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1,2a 1 , f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為2a 1,f(x)的極大值為2aln 2a 2a 1證明：要證4lg e lge lge 23(1 n)nlg e lg e n (n 1) n(1 n)n1nnln e (n 1) nn(1 n)n-即證 / 1 11 lge n (n 1),即證 4 1 12 3 n lg e2 31111 n即證1

18、1113 ln(n 1) (1-)n23nn.1令a -,由可知f (x)在(0, 2)上遞減，故f (x) f (0)即 ln(1 x) x ,令 x累加彳導(dǎo),ln(n 1) 111ln(1 -) ln(1nn1*1 n 1(n N ),故 ln(1-)ln nn n1112 3n1 n1 n-)1(1 -) e 3nn0ln( n1) ln n1111 n故1 2 31 3 ln(n 1) (1 n),得證法二：(11n 0 _) =Cn nC11CnC2 ACn 2n1n!12212n11223,其余相同證法練習(xí)5：已知函數(shù)f(x)ln( x 1) k(x 1) 1.(1)求函數(shù)f(x)

19、的極值點(diǎn)。(2)若f (x) 0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍。ln 4而In n解：(1) f (x)的定義域為(1+ oo)f/(x)(n 4)(n 1) (n N,n 1).f/(x)0,則f (x)在(1+ °°)上是增函數(shù)。f (x)在(1, +oo)上無極值點(diǎn).當(dāng)k 0時，令0,則x所以當(dāng)x (1,111)時, kf/(x)f(x)在(1,11、一)上是增函數(shù), k、 f/(x)時，)上是減函數(shù)。1x 1 一時,kf (x)取得極大值。綜上可知，當(dāng)k0時，f(x)無極值點(diǎn);當(dāng)k 0時，f(x)有唯一極值點(diǎn)x(2)由(1)可知，當(dāng)k 0時，f (2)f(x)0不成

20、立.故只需考慮k 0.由(1)知,1 f(x)max f(1 k)In k若 f(x)0恒成立，只需f ( x) max f (1化簡得:k 1,所以k的取值范圍是11) k+ oo)ln k0即可,(3)由(2)知,當(dāng)k 1時理解得：lnxx 1, x1. ln n31 (n 1)(n2 n 1)(n 1)(n1)2.ln n(nN,n 1)ln 231ln38(3 n2ln 4151).一(n(n 4)(n 1)(n N ,n 1)n 1)1)36練習(xí) 6：已知函數(shù) f(x) ln(x 1) k(x 1) 1.求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；若f (x) < 0恒成立，試確定實數(shù) k的取值

21、范圍；證明：當(dāng) x 2 時，ln(x 1) x 2；Jn-L n(n 1)(n N*,n 1).i i i 141解：函數(shù)的定義域為 (1,)中，f (x) k .x 1當(dāng)kw0時，f (x) 0,則f(x)在(1,)上是增函數(shù).1、1當(dāng)k 0時，f(x)在(1,1 )上是增函數(shù)，在(1 -,)上是減函數(shù).kk由知，當(dāng)kwo時，f(x)在(1,)上是增函數(shù).而f(2) 1 k 0 , f(x)wo不成立.1 .當(dāng)k 0時，由知ymax f (1 )ln k ,要使f(x)w。恒成立，則lnkw。，解得k>1.k由知當(dāng)k 1時，有f (x)在(1,)上恒成立，且f (x)在(2,)是減函數(shù)

22、.又 f(2) 0, 當(dāng) x 2 時，f(x) f (2) 0,即 ln(x 1) x 2.令x.2.21 n ,則 In n2n 1,即 2ln n (n1)(n 1),從而In nIn 23ln3 ln4 L45In nn 112 32 2 2nL n 1 n(n 1)a 1l 2a則 g(1) 0,b例3、(2010湖北)已知函數(shù)f(x) ax - Ca 0)的圖象在點(diǎn)(1, f (1)處的切線方程為y x 1. x用a表示出b、c；若f (x戶ln x在1,)上恒成立，求a的取值范圍；1 11n證明：1 一一 一 ln(n 1) (n 1)2 3 n2(n 1)同事考察綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識

23、進(jìn)行推理論證的能解：本題主要考察函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識, 力和分類討論的思想。bf (1) a b c 0”，則有fa 01，解得.a 1由知，f (x) ax 1 2a,x人 a1. 一,令 g(x) f (x) In x ax 1 2a In x , x 1,xg'(x)當(dāng)a 12x12ax x (a 1)2xa(x 1)(x 一)(x)0, g(x)是減函數(shù)，所以g(x) g(l) of(x)In x ,故 f (x) In x 在1,上恒不成立。61 .a 時, 2若 f(x)ln x ,故當(dāng)x 1時,f (x) In x。綜上所述,所求a的取值范圍為1 一當(dāng)a ”有f(x)ln x(x 1).由知:有當(dāng)x 1時,.11f (x) (x ) In x(x 12x12(x