中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之專題八_三角形-完美編輯版(word文檔良心出品)

1、中考專題復(fù)習(xí)三角形中考復(fù)習(xí)之專題八三角形、的相似及全等、解直角三角形目也口手 教學(xué)準(zhǔn)備.教學(xué)目標(biāo):(1)掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關(guān)概念。(2)利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識進(jìn)行計(jì)算、解答有關(guān)綜合題。(3)培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類討論的數(shù)學(xué)思想的能力二.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基礎(chǔ)知識、基本技能是本節(jié)的重點(diǎn)。難點(diǎn)是綜合應(yīng)用這些 知識解決問題的能力。三.知識要點(diǎn)：知識點(diǎn)1三角形的邊、角關(guān)系三角形任何兩邊之和大于第三邊；三角形任何兩邊之差小于第三邊；三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 180° ;三角形三個(gè)外角的和等于 36

2、0° ;三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。知識點(diǎn)2 三角形的主要線段和外心、內(nèi)心三角形的角平分線、中線、高；三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點(diǎn)的距離相等；三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。知識點(diǎn)3等腰三角形等腰三角形的識別：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有兩角相等的三角形是等腰三角形(等角對等邊)；三邊相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是

3、等邊三角形；有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形。等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；等腰三角形是軸對稱圖形，底邊的中垂線是它的對稱軸；等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°。知識點(diǎn)4直角三角形直角三角形的識別：有一個(gè)角等于90°的三角形是直角三角形；有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；page 1 of 11中考專題復(fù)習(xí)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和

4、等于斜邊的平方。知識點(diǎn)5全等三角形定義、判定、性質(zhì)知識點(diǎn)6相似三角形定義，一兩對應(yīng)邊的比相等，夾角相等相似二角形判定方法兩個(gè)對應(yīng)角相等三條對應(yīng)邊的比相等對應(yīng)邊的比相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)高的比等于相似比周長比面積比相似比平方知識點(diǎn)7銳角三角函數(shù)與解直角三角形rhE弦片 _ I sin銳角三T角菌數(shù)|一雇而匕T特殊角三廂函數(shù)I|4三邊關(guān)系I麗苴通三箱形常用關(guān)系I 4兩班百吳系I T-一角關(guān)系I轉(zhuǎn)化直角三角形、,視角問題常用術(shù)語坡度方位角例題精講例1. (1)已知：等腰三角形的一邊長為12,另一邊長為5,求第三邊長。(2)已知：等腰三角形中一內(nèi)角為80。，求這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。分析：利用等

5、腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。解：(1)分兩種情況：若腰長為12,底邊長為5,則第三邊長為12。若腰長為5,底邊長為12,則第三邊長為5。但此時(shí)兩邊之和小于第三邊，故不合題意。因此第三邊長為12。(2)分兩種情況：若頂角為80。，則另兩個(gè)內(nèi)角均為底角分別是50。、50。若底角為80。，則另兩個(gè)內(nèi)角分別是80。、20。因此這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角分別是50。、50?；?0。、20。page 5 of 11中考專題復(fù)習(xí)說明：此題運(yùn)用“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，本題著重考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系。例2.已知：如圖，/ABC和ECD都是等腰三角形， Z ACB = Z DCE =90&

6、#176; ,BD 為 AB 邊上的一點(diǎn)，求證：(1)/ACEBCD, (2) AD 2 +AE2 = DE 2。分析：要證NACE/BCD,已具備AC=BC, CE=CD兩個(gè)條件，還需 AE =BD 或/ ACE = Z BCD,而/ ACE = Z BCD 顯然能證；要證 AD 2 + AE 2 = DE 2 ,需條件/ DAE = 90° ,因?yàn)? BAC = 45° ,所以只需證/ CAE = /B=45° ,由ACEN BCD能得證。證明：(1)DCE =/ACB=90° , DCE - Z ACD = Z ACB - Z ACD,即/ACE

7、=/BCD, .AC=BC, CE= CD, ./ACEE BCD。(2) ./ACEN BCD,CAE = Z B=45° , / Z BAC=Z B=45° , ，/DAE = 90° , ，AD2+AE2=DE 2。例3.已知：點(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，ZBPC = 150° , PB=2, PC=3, 求PA的長。分析：將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60°至BCD,即可證得BPD 為等邊三角形，/PCD為直角三角形。解：.BC=BA,將/BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60° ,使BA與BC重合，得BCD, 連ZPD。,-.BD

8、= BP=2, PA=DC。. BPD 是等邊三角形。 ./ BPD = 60° 。.Z DPC = Z BPC-Z BPD =150° 60° =90° 。DC = VpD2 PC2 也2 32 VT3 .PA= DC = x'tT?！咀兪健咳粢阎c(diǎn) P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA= ,13 , PB = 2, PC=3。能求出/ BPC的度數(shù)嗎？請?jiān)囋?。PBQ = 60° ,且 BQ = BP,例4.如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié) PA、PB、PC, ?以BP為邊作/連ZCQ.(1)觀察并猜想 AP與CQ之間的大小關(guān)系，并

9、證明你的結(jié)論.(2)若PA: PB: PC= 3: 4: 5,連結(jié)PQ,試判斷 PQC的形狀，并說明理由.解：(1)把4ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°即可得到 CBQ.利用等邊三角形的 性質(zhì)證 ABPACBQ ,得到 AP = CQ.(2)連接 PQ,則4PBQ 是等邊三角形. PQ=PB, AP= CQ 故 CQ: PQ: PC= PA: PB: PC=3: 4: 5, PQC是直角三角形.點(diǎn)評：利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識點(diǎn)完成此題的證明.中考專題復(fù)習(xí)例5.如圖，有兩個(gè)長度相同的滑梯 （即BC = EF）,左邊滑梯的高度 AC與右 邊滑梯水平方向的長

10、度 DF相等，則/ ABC +Z DFE =.分析：/ABC與Z DFE分布在兩個(gè)直角三角形中，？若說明這兩個(gè)直角三角形全等則問題便會迎刃而解.解答：在 RtABC 和 RtDEF 中，BC = EF, AC = DF ,ABCA DEF, ABC =/ DEF,.Z ABC + Z DFE = 90° ,因此填 90°點(diǎn)評：此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來識別兩個(gè)直角三角形全等，并運(yùn)用與它相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行解題.例6.中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例 規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過 70千米/時(shí)” .？ 一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示

11、），在距離路邊25米處有“車速檢測儀 O”，？測得該車從北偏西60°的A點(diǎn)行駛到北偏西30°的B點(diǎn)，所用時(shí)間為1.5秒.北（1）試求該車從 A點(diǎn)到B的平均速度；（2）試說明該車是否超過限速.='/ 1,S 'i C解析：（1）要求該車從 A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度.只需求出 AB的距離，"丁.， !"工 一在 OAC?中，OC = 25 米. / OAC = 90° 60° = 30° , OA = 2CO = 50%。米由勾股定理得 CA = JoA2 OC2 J502 252 =25 73 （米）25 二. BC

12、= v3 （米）3在 OBC 中，/ BOC=30°.BC= OBo . （2BC） 2=BC2+252 2.AB = AC - BC =25石一停向譚百 （米）從A到B的速度為 號 J3 + 1.5=100 33 （米/秒）100 .二一 一，（2） J3米/秒=69.3千米/時(shí)9.,69.3千米/時(shí)70千米/時(shí)該車沒有超過限速.點(diǎn)評：此題應(yīng)用了直角三角形中30°角對的直角邊是斜邊的一半及勾股定理，也是幾何與代數(shù)的綜合應(yīng)用.例7.如圖，正方形網(wǎng)格中，小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，小華按下列要求作圖：在正方形網(wǎng)格的三條不同的實(shí) 線上各取一個(gè)格點(diǎn)，使其中任意兩點(diǎn)不在同一實(shí)線上；連結(jié)三個(gè)

13、格點(diǎn)，使之構(gòu)成直角三角形，小華在下面的 正方形網(wǎng)格中作出了 RtAABC .請你按照同樣的要求，在右邊的兩個(gè)正方形網(wǎng)格中各畫出一個(gè)直角三角形，并使三個(gè)網(wǎng)格中的直角三角形互不全等.直角這一特征,簡析：此題的答案可以有很多種，關(guān)鍵是抓住有?可以根據(jù)勾股定理的逆定理“若兩邊page 7 of 11的平方和等于第三邊的平方，則三角形為直角三角形”構(gòu)造出直角三角形，答案如下圖.例8.如圖所示，在 ABC中，AB=AC=1,點(diǎn)D、ABECBD r1x1,即一, y=ACy1x， 一。1 一、(2)當(dāng)a、3滿足3=90 , y=仍成立.此時(shí)/ DAB + / CAE = 3 - a , . . / DAB

14、+ / ADB =又. / ABD =/ACE , ADB EAC , y=.x點(diǎn)評：確定兩線段間的函數(shù)關(guān)系，可利用線段成比例、找相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系.例9.如圖，梯形 ABCD中，AB /CD,且AB=2CD, E, F分別是 AB , BC?的中點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn)M .(1)求證： EDM s* FBM ;(2)若 DB = 9,求 BM .(1)證明：E 是 AB 中點(diǎn)，AB = 2BE, AB = 2CD ,CD = EB,又AB / CD, 四邊形 CBED是平行四邊形，.CB / DE,DEMEDMBFM, EDMA FBM .FBM(2)解：AEDM s、FBM ,DM D

15、EBM BF.F 是 BC 中點(diǎn)，DE = 2FB,DM = 2BM , BM = 1 DB = 33例 10.已知 ABC 中，/ ACB=90o, CD LAB 于 D, AD ： BD=2 : 3 且 CD = 6。求(1) AB; (2) AC。E在直線BC上運(yùn)動，設(shè) BD = x, CE=y.(1)如果/ BAC=30° , / DAE = 105° ,試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果/ BAC的度數(shù)為a, / DAE的度數(shù)為3 ,當(dāng)“、3滿足怎樣的關(guān)系式時(shí), (1)中y與x?之間的函數(shù)關(guān)系式還成立，試說明理由.解：(1)在 ABC 中，AB = AC =

16、 1 , /BAC = 30° , Z ABC = ?/ACB =75° , Z ABD = / ACE = 105又/DAE = 105° , DAB +/ CAE =75° . ?又/ DAB+?/ADB =/ ABC = 75° ,/ CAE = / ADB , ADB EAC ,分析：設(shè)AD = 2k, BD = 3k。根據(jù)直角三角形和它斜邊上的高，可知ABCA ACDA cbdo通過相似三角形對應(yīng)邊成比例求出其中k的大?。坏侨绻鶕?jù)射影定理，那么就可以直接計(jì)算出k的大小。解：設(shè) AD = 2k, BD=3k(k >0)。 ./

17、ACB=90o, CD± ABo . CD 2= AD?BD ,，62=2k?3k, . . k= <6。 . AB= 576。又. AC2= AD?AB, . AC= 2715。例 11.已知 ABC 中，/ ACB=90o, CH ±AB, HEXBC, HFXACo求證：(1) HEF EHC ; (2) HEFA HBCo分析：從已知條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形，要證明三角形全等要收集到三個(gè)條件，有公共邊EH,根據(jù)矩形的性質(zhì)可知EF = CH, HF=EC。要證明三角形相似，從條件中得/FHE = Z CHB = 90o,由全等三角形可知，/ HEF =

18、 / HCB ,這樣就可以證明兩個(gè)三角形相似。證明： HEX BC, HF ±AC, ./ CEH = /CFH =900。又. / ACB=90o, .四邊形 CEHF 是矩形。.EF=CH, HF = EC, / FHE = 900。又 HE= EH ,HFE EHCo . HEF =/HCB。 . / FHE = Z CHB = 90o, . HEFA HBCo說明：在這一題的分析過程中，走“兩頭湊”比較快捷，從已知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有用的信息，從結(jié)論出發(fā)，尋 找解決問題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺階”關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。例12.兩個(gè)全等的含300, 600角的

19、三角板 ADE和ABC如圖所示放置，E, A, C 三點(diǎn)在一條直線上，連接 BD,取BD的中點(diǎn) M,連結(jié) ME, MC。試判斷 EMC 是什么樣的三角形，并說明理由。分析：判斷一個(gè)三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問題：嘗試去證明EM = MC,要證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個(gè)三角形。這時(shí)思考的問題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個(gè)新問題：如何構(gòu)造一對全等三角形？根據(jù)已知點(diǎn) M是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點(diǎn)是斜邊的一半，得：MD = MB = MA。連結(jié)M A后，可以證明 MDEMAC。答： EM

20、C是等腰直角三角形。證明：連接AM,由題意得，DE=AC, AD = AB, / DAE+Z BAC = 90o。/ DAB = 900o .DAB為等腰直角三角形。又 MD= MB,，MA = MD = MB, AMXDB, /MAD = /M AB = 45o。 ./ MDE = Z MAC = 105。，/ DMA = 90o。 . MDEA MAC。 ./ DME = /AMC, ME=MC。又/ DME + Z EMA = 90o, ./ AMC + Z EMA = 90o。 MCXEMo .EMC是等腰直角三角形。說明：構(gòu)造全等三角形是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進(jìn)行的呢

21、？對條件的充分認(rèn)識和對知識點(diǎn)的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或轉(zhuǎn)化思維的角度。會轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化,更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是考題的一個(gè)熱點(diǎn)。日M聽 課后練習(xí)上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O, ?給出下列三個(gè)條件：/ EBO1.如圖， ABC中，D、E分別是 AC、AB =Z DCO;/ BEO = Z CDO; BE=CD.(1)上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定(2)選擇第(1)小題中的一種情況，證明2. (1)已知如圖，在 AOB和ACOD中,ABC是等腰三角形(用序號寫出所有情形)；ABC是等腰三角形.OA=OB, OC=OD, / AOB =

22、/COD = 60o。page 9 of 11求證： AC=BD,/ APB = 60o。(2)如圖，在 AOB 和ACOD 中，OA=OB, OC=OD, /AOB = /COD=a,則 AC 與 BD 間的等量 關(guān)系式為 ； / APB的大小為 。(3)如圖，在 AOB 和403口 中，OA=kOB, OC=kOD (k>1), /AOB = /COD=a,貝U AC 與 BD 間的等量關(guān)系式為 ; / APB的大小為 。中考專題復(fù)習(xí)3. 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m,面積為1.5m2,工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形，請兩位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖

23、(1),乙設(shè)計(jì)的方案如圖(2)。你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好？試說明理由。(加工損耗忽略，計(jì)算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù))(2)4. 一般的室外放映的電影膠片上每一個(gè)圖片的規(guī)格為:3.5cm x 3.5cm,放映的熒屏的規(guī)格為 2m x 2m ,若放page 11 of 11映機(jī)的光源距膠片 20cm時(shí)，問熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠(yuǎn)的地方，放映的圖象剛好布滿整個(gè)熒屏?5 .如圖，已知/ MON = 90o,等邊三角形 ABC的一個(gè)頂點(diǎn) A是射線OM上的一定點(diǎn)，頂點(diǎn) B與點(diǎn)O重合, 頂點(diǎn)C在/ MON內(nèi)部。(1)當(dāng)頂點(diǎn)B在射線ON上移動到Bi時(shí)，連結(jié)AB1為一邊的等邊三角形 ABiCi (保留作圖痕跡，不寫作 法

24、和證明)；(2)設(shè)AB1與OC交于點(diǎn)Q, AC的延長線與B1C1交于點(diǎn)D。求證：AC AD AB AQ ;(3)連結(jié)CC1，試猜想/ ACC1為多少度？并證明你的猜想。6 .如圖所示，設(shè) A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A?城正西方向600km的B處，正以每小時(shí)200km的速度沿北偏東60°的BF方向移動，距臺風(fēng)中心 500km?的范圍是受臺風(fēng)影響的區(qū)域.(1) A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺風(fēng)的影響，那么A城遭受這次臺風(fēng)的影響有多長時(shí)間?中考專題復(fù)習(xí)7. (1)如圖，在 RtAABC 中，/ C=90° , AD 是/ BAC 的角平分線，/ CAB

25、= 60° , ?CD = J3 , BD =2也,求AC, AB的長.(2) “實(shí)驗(yàn)中學(xué)”有一塊三角形狀的花園 ABC, ?有人已經(jīng)測出/ A = 30 ° , AC = 40米，BC = 25米，你 能求出這塊花園的面積嗎？(3)某片綠地形狀如圖所示，其中 AB ± BC , CDXAD , / A = 60° , AB = 200m , CD = 100m, ?求 AD、 BC的長.Lz8 .高為12米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹 AB,如圖所示.(1)某一時(shí)刻測得大樹 AB,教學(xué)樓ED在陽光下的投影長分別是 BC = 2.5米，DF=7.5米，求大樹

26、 AB 的高度；(2)現(xiàn)有皮尺和高為 h米的測角儀，請你設(shè)計(jì)另一種測量大樹 AB高度的方案，要求：在圖中，畫出你設(shè)計(jì)的圖形(長度用字母 m, n表示，角度用希臘字母a , 3表示) ；根據(jù)你所畫出的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，求出大樹的高度并用字母表示.9 .如圖所示，某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎戏较虻木用駱?，？該居民樓的一樓是?6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓的前面 15?米處要蓋一棟高20米的新樓.當(dāng)冬季正午的陽光與水平線的夾角為32。時(shí).(1)問超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？53(2)若要使超市采光不受影響，兩樓至少應(yīng)相距多少米？ (？結(jié)果保留整數(shù)，？參考數(shù)據(jù)：sin32。三

27、100cos32°皿32。的三.)1258練習(xí)答案1 .解：(1)或(2)已知求證 ABC是等腰三角形.證：先證 EBOA DCO.得 OB = OC,得/ DBC = / ECB./ ABC = / ACB ,即 ABC是等腰三角形2 .證明：. AOB和ACOD為正三角形，.OA=OB, OD = OC, /AOB=60o, /COD = 60o。. / AOB + Z BOC = Z COD + Z BOC , . / AOC=Z BOD。AOCABOD ,，AC=BD。/ OAC = / OBD , ./ APB = / AOB=60o。(2) AC與BD間的等量關(guān)系式為 AC=BD; / APB的大小為a。(3) AC與BD間的等量關(guān)系式為 AC= kBD; / APB的大小為180o- a。3.解：方案