深入淺出的講解傅里葉變換

1、深入淺出的講解傅里葉變換我保證這篇文章和你以前看過的所有文章都不同，這是12年還在果殼的時(shí)候?qū)懙?，但是?dāng)時(shí)沒有來得及寫完就出國(guó)了于是拖了兩年，嗯，我是拖延癥患者這篇文章的核心思想就是：要讓讀者在不看任何數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析。傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太復(fù)雜了，所以很多大一新生上來就懵圈并從此對(duì)它深惡痛絕。老實(shí)說，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實(shí)在是太嚴(yán)肅了。（您把教材寫得好玩一點(diǎn)會(huì)死嗎？會(huì)死嗎？）所以我一直想寫一個(gè)有意思的文章來解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能

2、看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，并且一定將體會(huì)到通過傅里葉分析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感。至于對(duì)于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友，也希望不要看到會(huì)的地方就急忙往后翻，仔細(xì)讀一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。以上是定場(chǎng)詩(shī)下面進(jìn)入正題：抱歉，還是要啰嗦一句：其實(shí)學(xué)習(xí)本來就不是易事，我寫這篇文章的初衷也是希望大家學(xué)習(xí)起來更加輕松，充滿樂趣。但是千萬！千萬不要把這篇文章收藏起來，或是存下地址，心里想著：以后有時(shí)間再看。這樣的例子太多了，也許幾年后你都沒有再打開這個(gè)頁面。無論如何，耐下心，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕松、開心得多一、嘛叫頻域從我們出生，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢(shì)、人

3、的身高、汽車的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱其為時(shí)域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為，世間萬物都在隨著時(shí)間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會(huì)發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會(huì)不會(huì)覺得我瘋了？我沒有瘋，這個(gè)靜止的世界就叫做頻域。先舉一個(gè)公式上并非很恰當(dāng)，但意義上再貼切不過的例子：在你的理解中，一段音樂是什么呢？這是我們對(duì)音樂最普遍的理解，一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng)。但我相信對(duì)于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：好的！下課，同學(xué)們?cè)僖?。是的，其?shí)這一段寫到這里已經(jīng)可以結(jié)束了。上圖是音樂在時(shí)域的樣子，而下圖則是音樂在頻域

4、的樣子。所以頻域這一概念對(duì)大家都從不陌生，只是從來沒意識(shí)到而已?，F(xiàn)在我們可以回過頭來重新看看一開始那句癡人說夢(mèng)般的話：世界是永恒的。將以上兩圖簡(jiǎn)化：時(shí)域：頻域：在時(shí)域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會(huì)上一會(huì)下的擺動(dòng)，就如同一支股票的走勢(shì)；而在頻域，只有那一個(gè)永恒的音符。所（前方高能！非戰(zhàn)斗人員退散）以（前方高能預(yù)警前方高能）你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。（眾人：雞湯滾出知乎！）抱歉，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學(xué)告訴我們，任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個(gè)例子里我們可以理解為，利用對(duì)不同琴鍵不同力度，不同時(shí)

5、間點(diǎn)的敲擊，可以組合出任何一首樂曲。而貫穿時(shí)域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換（Fourier Transformation），我們從簡(jiǎn)單的開始談起。二、傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Series）還是舉個(gè)栗子并且有圖有真相才好理解。如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個(gè)帶90度角的矩形波來，你會(huì)相信嗎？你不會(huì)，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖：第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波cos（x）第二幅圖是2個(gè)賣萌的正弦波的疊加cos（x）+a.cos（3x）第三幅圖是4個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加第四幅圖是10個(gè)便秘的正弦波的疊加隨著正

6、弦波數(shù)量逐漸的增長(zhǎng)，他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會(huì)到了什么道理？（只要努力，彎的都能掰直?。╇S著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)90度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個(gè)。（上帝：我能讓你們猜著我？）不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個(gè)難點(diǎn)，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開始有意思起來了。還是上圖的正弦波累加成矩形波，

7、我們換一個(gè)角度來看看：在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個(gè)圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個(gè)波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每?jī)蓚€(gè)正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為0的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。好了，關(guān)鍵的地方來了！如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。對(duì)于我們最常見的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。（好

8、吧，數(shù)學(xué)稱法為基。在那個(gè)年代，這個(gè)字還沒有其他奇怪的解釋，后面還有正交基這樣的詞匯我會(huì)說嗎？）時(shí)域的基本單元就是“1秒”，如果我們將一個(gè)角頻率為的正弦波cos（t）看作基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是。有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個(gè)周期無限長(zhǎng)的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級(jí)數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對(duì)于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。接下來，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解

9、為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓不能傳動(dòng)態(tài)圖真是太讓人惋惜了想看動(dòng)圖的同學(xué)請(qǐng)戳這里：File:Fourier series square wave circles animation.gif以及這里：File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif點(diǎn)出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki寫的哪有這里的文章這么沒節(jié)操是不是。介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個(gè)矩形波，在頻域里的另一個(gè)模樣了：這是什么奇怪的東西？這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認(rèn)不出來了？教科書一般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實(shí)教科書只要

10、補(bǔ)一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是再清楚一點(diǎn)：可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0，也就對(duì)應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為0的正弦波。動(dòng)圖請(qǐng)戳：File:Fourier series and transform.gif老實(shí)說，在我學(xué)傅里葉變換時(shí)，維基的這個(gè)圖還沒有出現(xiàn)，那時(shí)我就想到了這種表達(dá)方法，而且，后面還會(huì)加入維基沒有表示出來的另一個(gè)譜相位譜。但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計(jì)好多人對(duì)這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個(gè)看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線，但實(shí)際這些曲線都是由這些無窮

11、無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時(shí)域上的投影，而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)什么畫面呢？我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪，大齒輪帶動(dòng)小齒輪，小齒輪再帶動(dòng)更小的。在最外面的小齒輪上有一個(gè)小人那就是我們自己。我們只看到這個(gè)小人毫無規(guī)律的在幕布前表演，卻無法預(yù)測(cè)他下一步會(huì)去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實(shí)話，這種對(duì)人生的描繪是我一個(gè)朋友在我們都是高中生的時(shí)候感嘆的，當(dāng)時(shí)想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級(jí)數(shù)上一篇文章深入淺出的講解傅里葉變換1發(fā)出來之后，為了掐

12、死我，大家真是很下工夫啊，有拿給姐姐看的，有拿給妹妹看的，還有拿給女朋友看的，就是為了聽到一句“完全看不懂啊”。幸虧我留了個(gè)心眼，不然就真的像標(biāo)題配圖那樣了。我的文章題目是，如果看了這篇文章你“還”不懂就過來掐死我，潛臺(tái)詞就是在你學(xué)了，但是沒學(xué)明白的情況下看了還是不懂，才過來掐死我。另外，想跟很多人抱歉，因?yàn)樵u(píng)論太多了，時(shí)間有限，不能給每個(gè)人回復(fù)，還望大家諒解。但是很感謝一直在評(píng)論區(qū)幫忙解答讀者問題的各位，就不一一了。這里鄭重感謝大連海事大學(xué)的吳楠老師，一位學(xué)識(shí)淵博、備課縝密、但授課不拘一格的年輕教師！當(dāng)時(shí)大三他教我通信原理，但是他先用了4結(jié)課幫我們復(fù)習(xí)了很多信號(hào)與系統(tǒng)的基本概念，那個(gè)用樂譜代

13、表頻域的概念就是他講的，一下子讓我對(duì)這門課豁然開朗，才有了今天的這篇文章。今天的定場(chǎng)詩(shī)有點(diǎn)長(zhǎng)下面繼續(xù)開始我們無節(jié)操的旅程：上次的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看。這次的關(guān)鍵詞是：從下面看。在第二課最開始，我想先回答很多人的一個(gè)問題：傅里葉分析究竟是干什么用的？這段相對(duì)比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個(gè)分割線。先說一個(gè)最直接的用途。無論聽廣播還是看電視，我們一定對(duì)一個(gè)詞不陌生頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個(gè)通道來進(jìn)行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：先在紙上畫一個(gè)sin（x），不一定標(biāo)準(zhǔn)，意思差不多就行。不是很難吧。好，接下去畫一個(gè)sin（3x）+sin（5x）的圖形。

14、別說標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了，曲線什么時(shí)候上升什么時(shí)候下降你都不一定畫的對(duì)吧？好，畫不出來不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個(gè)曲線的方程式，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。但是在頻域呢？則簡(jiǎn)單的很，無非就是幾條豎線而已。所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號(hào)處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。再說一個(gè)更重要，但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途求解微分方程。（這段有點(diǎn)難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分

15、方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情。因?yàn)槌艘?jì)算加減乘除，還要計(jì)算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统?，大學(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒有。傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。下面我們繼續(xù)說相位譜：通過時(shí)域到頻域的變換，我們得到了一個(gè)從側(cè)面看的頻譜，但是這個(gè)頻譜并沒有包含時(shí)域中全部的信息。因?yàn)轭l譜只代表每一個(gè)對(duì)應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位?；A(chǔ)的正弦波A.sin（wt+）中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對(duì)于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個(gè)相位譜。

16、那么這個(gè)相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個(gè)波疊加的圖。鑒于正弦波是周期的，我們需要設(shè)定一個(gè)用來標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰，而這個(gè)波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來表示。當(dāng)然，這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位。這里需要糾正一個(gè)概念：時(shí)間差并不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話，相位差則是時(shí)間差在一個(gè)周期中所占的比例。我們將時(shí)間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。在完整的立體圖中，我們將投影得到的時(shí)間差依次除以所在頻率的周期，就得

17、到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側(cè)面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話，可以告訴她：“對(duì)不起，我只是想看看你的相位譜?！弊⒁獾剑辔蛔V中的相位除了0，就是Pi。因?yàn)閏os（t+Pi）=-cos（t），所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已。對(duì)于周期方波的傅里葉級(jí)數(shù)，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡(jiǎn)單的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域?yàn)椋?pi，pi，所以圖中的相位差均為Pi。最后來一張大集合：好了，你是不是覺得我們已經(jīng)講完傅里葉級(jí)數(shù)了？抱歉讓你失望了，以上我們講解的只是傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)形式。接下去才是最究極的傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)。但是為了能更好的理解指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，我們還需要一個(gè)工具來幫忙歐拉公式。歐拉公式，以及指數(shù)形式的傅里葉級(jí)