氫原子光譜實(shí)驗(yàn)中里德伯常數(shù)計(jì)算方法的探討

1、基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)研究性報(bào)告氫原子光譜實(shí)驗(yàn)中里德伯常數(shù)計(jì)算方法的探討On different methods of estimating the Rydberg constant in the Hydrogen atoms spectrum experiment第一作者：彭志偉學(xué)號：10041189所在院系：能源與動力工程學(xué)院第二作者：賈林江學(xué)號：10041152所在院系：能源與動力工程學(xué)院目錄氫原子光譜實(shí)驗(yàn)中里德伯常數(shù)計(jì)算方法的探討1摘要3關(guān)鍵詞3Abstract3Key Words3一、引言1二、氫原子光譜實(shí)驗(yàn)綜述2三、實(shí)驗(yàn)原理23.1 氫原子光譜23.2 光柵及其衍射分光原理3四、里德伯常數(shù)數(shù)

2、據(jù)處理方法34.1 可能的一些數(shù)據(jù)處理方法34.1.1 算數(shù)平均與加權(quán)平均34.1.2 一元線性回歸法54.1.3 線性回歸與最小二乘加權(quán)平均的比較84.2 結(jié)論10五、結(jié)語11六、參考文獻(xiàn)12七、附錄原始實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)137.1 鈉黃光校準(zhǔn)光柵常數(shù)137.1.1 級譜線校準(zhǔn)光柵常數(shù)137.1.2 級譜線計(jì)算色分辨率137.2 氫光源測定里德伯常數(shù)137.2.1 紅光原始數(shù)據(jù)137.2.2 藍(lán)光原始數(shù)據(jù)137.2.3 紫光原始數(shù)據(jù)14摘要本文討論了氫原子光譜實(shí)驗(yàn)中里德伯常數(shù)的幾種不同的數(shù)據(jù)處理方法。理論上定量分析了不同算法的不確定度及置信水平，得出了應(yīng)用不同波長求出里德伯常數(shù)后再采用加權(quán)最小二乘平均

3、得到里德伯常數(shù)的最小方差無偏估計(jì)的算法較為合理的結(jié)論，并以原始實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證。關(guān)鍵詞：里德伯常數(shù)；數(shù)據(jù)處理；最小二乘法；加權(quán)平均AbstractThis paper discusses several data processing methods in the Hydrogen atoms spectrum experiment. By applying basic theory of mathematical statistics, the uncertainties and confidence levels of different methods are analyzed and

4、 compared. In conclusion, its better to utilize Weighted Least Squares method (WLS) to get the minimum-variance unbiased estimate of the Rydberg constant after calculating the Rydberg constant of different wavelengths.Key Words: Rydberg constant; data processing; least squares criterion; weighted av

5、erage一、引言里德伯常量，又譯為雷德堡常數(shù)，是原子物理學(xué)中的基本物理常量之一。根據(jù)2002年CODATA的結(jié)果，它的值是。1885年，瑞士數(shù)學(xué)教師約翰·雅各布·巴爾默（J. J. Balmer）在一篇論文中報(bào)告了氫原子光譜的一個經(jīng)驗(yàn)規(guī)律，同時得出里德伯常量的近似數(shù)值。1913年，丹麥物理學(xué)家尼爾斯·玻爾運(yùn)用自己創(chuàng)立的原子模型和普朗克的量子學(xué)說第一次試圖計(jì)算推導(dǎo)出里德伯常量的精確值。1914年，針對誤差，玻爾提出，這是由于假設(shè)原子核靜止不動引起的。實(shí)際情況是，原子核的質(zhì)量不是無窮大，它與電子圍繞共同的質(zhì)心轉(zhuǎn)動。玻爾對其理論進(jìn)行了修正，用原子核和電子的折合質(zhì)量代替

6、了電子質(zhì)量修正了模型。玻爾把普朗克常數(shù)和里德伯常量聯(lián)系起來，體現(xiàn)了聯(lián)系的普遍性和特殊性，原子結(jié)構(gòu)模型理論與原子光譜的本質(zhì)聯(lián)系為光譜學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ) E U Condon, G H Shortley, The Theory of Atomic Spectra., London; Cambridge University Press，1935。實(shí)驗(yàn)方法為由光柵衍射測出波長，進(jìn)而求得里德伯常數(shù)。數(shù)據(jù)處理依照巴耳末系公式：本實(shí)驗(yàn)中討論時的可見光，在基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)教材 李朝榮，徐平，唐芳，王慕冰. 基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)(修訂版). 北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2010中，采用各波長求后再加權(quán)平均的方法，在其他

7、教材中也有其他一些不同的算法，如直線擬合的方法。選擇合理的數(shù)據(jù)處理方法是物理實(shí)驗(yàn)的重要環(huán)節(jié)，直接關(guān)系到結(jié)果的符合程度以及不確定度的估計(jì)，同時也是科學(xué)研究的重要手段。因此有必要對不同數(shù)據(jù)分析方法進(jìn)行研究，得出最優(yōu)或者較優(yōu)的算法。二、氫原子光譜實(shí)驗(yàn)綜述衍射光柵在現(xiàn)代光譜分析中具有重要應(yīng)用。光譜分析就是利用物質(zhì)發(fā)射的光譜對其元素組成進(jìn)行分析和判斷。氫原子光譜是一種典型的現(xiàn)狀光譜，它是量子理論得以建立的最重要的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)之一。本實(shí)驗(yàn)把作為分光元件的光柵和精密測角儀器的分光儀結(jié)合起來進(jìn)行氫光譜的觀察與測量。三、實(shí)驗(yàn)原理3.1 氫原子光譜原子光譜是線光譜，光譜排列的規(guī)律不同，反映出原子結(jié)構(gòu)的不同，研究原子結(jié)

8、構(gòu)的基本方法之一是進(jìn)行光譜分析。氫原子光譜是最簡單、最典型的原子光譜。瑞士物理學(xué)家巴爾末根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果給出氫原子光譜在可見光區(qū)域的經(jīng)驗(yàn)公式為：式中為氫原子譜線在真空中的波長，=364.56,。若用波數(shù)表示譜線，則對于巴耳末系:式中為里德伯常量。根據(jù)玻爾理論，可得出氫和類氫原子的里德伯常數(shù)為：其中：為原子核質(zhì)量，為電子質(zhì)量，為電子電荷，為光速，為普朗克常數(shù)，為真空介電常數(shù)，為原子序數(shù)。當(dāng)時，就得到里德伯常量： 里德伯常數(shù)是重要的基本物理常數(shù)之一，對它的精密測量在科學(xué)上有重要意義，它的公認(rèn)值為：。3.2 光柵及其衍射分光原理通常把由大量等寬等間距的狹縫構(gòu)成的光學(xué)元件叫做衍射光柵。它能使入射光的振幅或

9、位相，或者兩者同時產(chǎn)生周期性空間調(diào)制。光柵最重要的應(yīng)用是用作分光元件，分光原理可以從多縫夫瑯和費(fèi)衍射圖象中亮線位置的光柵方程: 對應(yīng)于亮線的衍射角與波長有關(guān)，是衍射級次。因此對于給定間距（光柵常數(shù)）的光柵，當(dāng)用多色光照明時，不同波長的同一級亮線，除零級外均不重合，即發(fā)生了色散，這就是光柵的分光原理。如果通過透鏡接收，將在其焦平面上形成有序的光譜排列。若已知光柵常數(shù)，就可以測出波長。四、里德伯常數(shù)數(shù)據(jù)處理方法4.1 可能的一些數(shù)據(jù)處理方法4.1.1 算數(shù)平均與加權(quán)平均普通最小二乘法的離差平方和為：如果測量量的次測量結(jié)果為，單次測量結(jié)果的不確定度，由(1)式知，可取平均值作為測量結(jié)果，作為的不確定

10、度。本實(shí)驗(yàn)中的波長不是等精密度觀測量，算術(shù)平均算法得不到的最佳估計(jì)。在誤差項(xiàng)等方差不相關(guān)的條件下，算術(shù)平均估計(jì)是回歸參數(shù)的最小方差線性無偏估計(jì)。 然而在異方差的條件下，平方和中的每一項(xiàng)的地位是不相同的，誤差項(xiàng)的方差大的項(xiàng)，在式（1）平方和中的取值就偏大，在平方和中的作用就大，因而普通最小二乘估計(jì)的回歸線就被拉向方差大的項(xiàng)，方差大的項(xiàng)的擬合程度就好，而方差小的項(xiàng)的擬合程度就差。因此由式(1)求出的不再是最小方差線性無偏估計(jì) 王黎明，陳穎，楊楠. 應(yīng)用回歸分析. 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.06。為了得到最小方差的無偏估計(jì)，采用加權(quán)最小二乘法。即在平方和中加入一個適當(dāng)?shù)臋?quán)數(shù)，以調(diào)整各項(xiàng)在平方和

11、中的作用，加權(quán)最小二乘的離差平方和為：理論上最優(yōu)的權(quán)數(shù)為誤差項(xiàng)方差的倒數(shù),即：誤差項(xiàng)方差大的項(xiàng)接收小的權(quán)數(shù)，以降低其在式（2）平方和中的作用; 誤差項(xiàng)方差小的項(xiàng)接收大的權(quán)數(shù)，以提高其在平方和中的作用。取權(quán)數(shù),由(2)式知，在本實(shí)驗(yàn)中需滿足：取最小值。故最佳觀測值滿足：即：整理之后得因此得到的最小方差無偏估計(jì)：的不確定度滿足： 故：4.1.2 一元線性回歸法這里不能用等精密度測量的一元線性回歸算法，但我們可以做如下處理。根據(jù)巴耳末系公式：通過測量末態(tài)量子數(shù)，初態(tài)量子數(shù)時巴耳末系各譜線的波長，得到波長的倒數(shù)(即波數(shù))，再經(jīng)過線性擬合即可求得里德伯常數(shù)。給定樣本，可給出回歸模型：其中，為的數(shù)學(xué)期望，

12、為方差。若,分別為，的最優(yōu)線性無偏估計(jì)，則回歸方程為：其中，和由最小二乘法給出，稱為回歸常數(shù)，稱為回歸系數(shù)。下面給出不同的一些線性擬合方法：表格 1 線性回歸算法編號算法估計(jì)法1234注： 分別為紅光，藍(lán)光，紫光。 估計(jì)法指采用還是來求解。如2為斜率估計(jì)，3采用截距估計(jì)。算法1,2,3均以波數(shù)為因變量，回歸系數(shù)和回歸常數(shù)由最小二乘法給出。這里數(shù)據(jù)點(diǎn)(即)的標(biāo)準(zhǔn)差并不相同，但由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)較少，我們定義的平均標(biāo)準(zhǔn)差為。則可以推出：可以看出，：=。對于算法2和3，得到的里德堡常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差之比：結(jié)合，。故采用截距估計(jì)的算法3優(yōu)于算法2。對算法1而言，其回歸直線截距為零。標(biāo)準(zhǔn)差為：有。因此在算法1、2、

13、3中，1為最優(yōu)算法，但是考慮到波數(shù)不是等精密度觀測量，一般最小二乘算法的條件不滿足，需對數(shù)據(jù)點(diǎn)使用加權(quán)最小二乘法，這會對里德伯常數(shù)不確定度的計(jì)算帶來麻煩。算法4中，直接以不同波長為因變量，避免了不等精密度的問題。在權(quán)重相等的假設(shè)下，求得其回歸系數(shù)，則：其標(biāo)準(zhǔn)差。的分布符合自由度為3的分布。此算法較算法1更好，有更小的標(biāo)準(zhǔn)差。下面給出標(biāo)準(zhǔn)差隨實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢：圖表 1 算法2和算法4標(biāo)準(zhǔn)差隨測量譜線數(shù)目的變化從圖中看出采用斜率估計(jì)法的算法2標(biāo)準(zhǔn)偏差很大，而且不隨數(shù)據(jù)點(diǎn)的增多而趨于零，而算法4的標(biāo)準(zhǔn)差逐漸趨于零。特別值得注意的是在本實(shí)驗(yàn)中，僅有三個數(shù)據(jù)點(diǎn)，因此即使采用最優(yōu)的算法4進(jìn)行線性回歸仍

14、然有稍大的標(biāo)準(zhǔn)差。4.1.3 線性回歸與最小二乘加權(quán)平均的比較下面給出算法4及加權(quán)平均的分布特性：表格 2 不同算法標(biāo)準(zhǔn)差分布特征算法分布下限2.5%上限97.5%算法40.442.9加權(quán)平均近似分布1.621.63注：指自由度為3的分布。綜上所述，從理論上證明了加權(quán)平均算法為以上所列算法中最優(yōu)的數(shù)據(jù)處理方法。經(jīng)過上面的分析，從理論上可以看出算法4是線性回歸中的最優(yōu)方案。下面利用實(shí)際實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)將算法4與加權(quán)平均進(jìn)行比較。這里目的是驗(yàn)證上述理論結(jié)果，因此不再贅述所有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理過程。(原始數(shù)據(jù)列表見附錄)在鈉光校準(zhǔn)光柵常數(shù)的實(shí)驗(yàn)中得到：在實(shí)驗(yàn)中采用加權(quán)平均方法得出里德伯常數(shù)的最佳估計(jì)值：下面采用

15、算法4進(jìn)行數(shù)據(jù)處理：表格 3 待回歸數(shù)據(jù)用Matlab做線性回歸，源代碼如下：圖表 2 matlab線性回歸代碼相關(guān)性系數(shù)。回歸系數(shù)的估計(jì)值：可見加權(quán)平均的百分誤差與不確定度均小于算法4的線性回歸。至此從實(shí)驗(yàn)上證明了上述理論推導(dǎo)。最終可以得出采用加權(quán)平均算法獲得里德伯常數(shù)的最優(yōu)無偏估計(jì)是上述算法中最為合理的算法。4.2 結(jié)論由表格2知，采用算法4和加權(quán)平均所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果在置信概率均為95%時，算法4的置信區(qū)間明顯小于加權(quán)平均。此外由于數(shù)據(jù)點(diǎn)很少(只有三個)，采用算法4回歸所得不確定度。綜上所述，在氫原子光譜實(shí)驗(yàn)中里德伯常數(shù)的計(jì)算應(yīng)當(dāng)采用不同波長求得里德伯常數(shù)后在利用最小二乘加權(quán)平均得到里德伯常數(shù)

16、的最小方差無偏估計(jì)。即教材上所給的數(shù)據(jù)處理方法是幾種數(shù)據(jù)處理方法中最為合理的。五、結(jié)語氫原子光譜與里德伯常數(shù)實(shí)驗(yàn)的誤差很小，雖然采用不同算法都能得到較好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。但有必要去探討何種數(shù)據(jù)處理方法更為合理，不僅僅是其不確定度小，而且能夠更符合實(shí)驗(yàn)規(guī)律。研究性實(shí)驗(yàn)報(bào)告的撰寫，是整個物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的創(chuàng)新點(diǎn)和亮點(diǎn)。這讓我們很好的提前領(lǐng)略了一般科研的方式與方法。在這次研究型報(bào)告的寫作中，我查閱了大量的數(shù)據(jù)分析資料以及各個版本的物理實(shí)驗(yàn)教材，在整個撰寫過程中鞏固了舊的知識，同時學(xué)到了很多新的知識。不僅是物理實(shí)驗(yàn)的理論知識，也對數(shù)理統(tǒng)計(jì)，計(jì)算機(jī)在數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用有了新的認(rèn)識。如今，整整一個學(xué)年的基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)

17、學(xué)習(xí)即將畫上句號，而我在其中收獲的不僅僅是知識，更多的是同學(xué)間團(tuán)隊(duì)的合作精神還有難題被攻克時的興奮。忘不了查資料到凌晨時勤奮的身影，忘不了集體選課時緊張的神情，忘不了得到優(yōu)秀成績時喜悅的笑容。實(shí)驗(yàn)課程雖將要過去，但這些都將成為我人生中的一大財(cái)富?；A(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)為我們今后的工作科研奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，使我們逐漸學(xué)會以一個科學(xué)工作者的嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度去做事。六、參考文獻(xiàn)1 李朝榮，徐平，唐芳，王慕冰.基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)(修訂版).北京：北京航空航天大學(xué)出版社，20102 趙凱華，鐘錫華.光學(xué).下冊.北京：北京大學(xué)出版社，19843 王黎明，陳穎，楊楠.應(yīng)用回歸分析.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.64 楊振海

18、，程維虎，張軍艦.擬合優(yōu)度檢驗(yàn).北京：科學(xué)出版社，2011.35 E U Condon, G H Shortley. The Theory of Atomic Spectra .London: Cambridge University Press，19356 Frank R. Giordano, William P. Fox , Steven B. Horton. A First Course in Mathematical Modeling (Fourth Edition).Beijing: China Machine Press, 2009.10七、附錄原始實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)7.1 鈉黃光校準(zhǔn)光柵常數(shù)7.1.1 級譜線校準(zhǔn)光柵常數(shù)表格 4鈉黃光校準(zhǔn)光柵常數(shù) 讀數(shù)次數(shù)133726'15727'3176'1376