正項級數(shù)斂散性的判定研究

1、淮北師范大學 2010屆學士學位論文 正項級數(shù)斂散性的判定研究學院、專業(yè) 數(shù)學科學學院 數(shù)學與應用數(shù)學研 究 方 向 數(shù)學分析 學 生 姓 名 楊昂 學 號 200511411212 指導教師姓名 張波 指導教師職稱 講師 2010 年 4 月 25 日 正項級數(shù)斂散性的判定研究 楊 昂(淮北師范大學數(shù)學科學學院，淮北，235000) 摘 要本文討論了四種常用的判定正項級數(shù)斂散性的方法。在充分了解正項級數(shù)定義以及基本性質的理論基礎上，對當前已經(jīng)運用于正項級數(shù)斂散性判定的多種多樣的方法進行篩選，選定四種方法進行詳細的介紹與探究。其中包括比較判別法，比式判別法，根式判別法和積分判別法，在介紹了各種

2、方法的基本理論與操作步驟后，在文章的末尾還介紹了兩個級數(shù)收斂性及其它領域（速度）有關例子，使我們對正項級數(shù)斂散性的判定更加熟練。關鍵詞:正項級數(shù)，比式判別法，根式判別法，積分判別法Study on Convergence and Divergence of Positive Term Series Yang ang(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University，Huaibei，235000) AbstractThis paper having discussed that four common methods about

3、convergence and dispersion of positive series .Series of positive terms in the full understanding of the properties of the definition and basic theory, based on the current series of positive terms have been applied to determine the convergence and divergence of a wide range of methods of selection,

4、 four methods selected for detailed presentation and exploration. Including ratio judging method, root-value judging method and integral test, introduced various methods in the basic theory and operation of steps, in the end of the article also describes the convergence of the two series, and other

5、areas ( speed) case, allows us to positive series for convergence of the judge is more skilled.Key words: positive term series , ratio judging method, root-value judging method, integral test目錄引言1一.正項級數(shù)的定義2二.正項級數(shù)收斂性的一般判別原則2三.比較判別法3四.比式判別法6五.根式判別法8六.積分判別法10結論11參考文獻15致謝16引言級數(shù)理論的意義 ：1.是研究函數(shù)的重要工具，級

6、數(shù)是產(chǎn)生新函數(shù)的重要方法，同時又是對已知函數(shù)表示、逼近的有效方法，在近似計算中發(fā)揮著重要作用。我們在建立定積分概念的同時，引入變上限積分定義出了一類新函數(shù)，使我們認識到除了初等函數(shù)之外的函數(shù)類；有了級數(shù)理論后，使我們的眼界進一步開闊了，認識到了更廣泛的非初等函數(shù)類型。級數(shù)理論的功能并不僅僅在于引進非初等函數(shù)，更重要的是給出了研究這些函數(shù)的有效方法，而且即使是初等函數(shù)，給出了它們的級數(shù)形式，有時會更便于研究它們的性質。我們知道，泰勞公式是用有限項的多項式近似表示函數(shù)，它對于研究函數(shù)的局部逼近和整體逼近有著重要意義，在此基礎上和一定的條件下，我們可以用無窮多項的多項式來準確地表示一個函數(shù)，這就是冪

7、級數(shù)。利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式，對研究函數(shù)的性質和計算都有著非常重要的作用。當然，能表示成冪級數(shù)的函數(shù)必須具備任意階可微的條件，這對于有些性質較差的函數(shù)（如分段函數(shù)），我們就不能展開成冪級數(shù)，此時付立葉級數(shù)卻能滿足這樣的函數(shù)的展開。級數(shù)理論的基礎仍然是極限，級數(shù)是一個無限求和的過程，它與有限求和有著根本的不同，即參與了極限運算，把極限及其運算性質移植到級數(shù)中去，就形成了級數(shù)的一些獨特性質。級數(shù)理論的第一個重要概念是收斂性。此外，級數(shù)的運算、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性、一致收斂級數(shù)的分析性質、函數(shù)的冪級數(shù)展開、函數(shù)的付立葉級數(shù)展開都是級數(shù)理論的基本內(nèi)容。2.數(shù)列與數(shù)項級數(shù)的關系  

8、數(shù)列逐項累加起來的式子稱為級數(shù)。或者說，數(shù)列逐項累加的極限形式稱為級數(shù)。若定義級數(shù)的前n項部分和為Sn，則逐項累加的極限S如果存在，則稱級數(shù)收斂，否則稱為發(fā)散。數(shù)項級數(shù)的斂散性是用部分和數(shù)列的斂散性來定義的。所以數(shù)列極限的理論移植過來，就可以建立數(shù)項級數(shù)的一般理論。由于級數(shù)是在有限項相加的基礎上施行的極限運算，從而確切地定義了無限項相加，形成了這種特殊的形式，所以它有著比數(shù)列極限更獨特的性質和意義。3.函數(shù)項級數(shù)一致收斂的作用 如果我們把有限個函數(shù)相加稱為有限和，那么函數(shù)項級數(shù)就可稱為無限和，在有限和的情形下，連續(xù)函數(shù)的和函數(shù)仍然連續(xù)，但在無限和的情形下，連續(xù)函數(shù)的和函數(shù)卻不一定連續(xù)

9、。類似的，在有限和的情形下，逐項積分與逐項微分是成立的，但在無限和的情形下，卻不一定成立。為保證以上運算，在無限和的情形下成立，僅有收斂是不夠的，因此引進了函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性的理論。函數(shù)項級數(shù)在一致收斂的條件下，可實現(xiàn)函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)的連續(xù)、逐項積分與逐項微分。4.傅立葉級數(shù)研究的基本問題 最早的三角級數(shù)展開是由于解偏微分方程的需要，在18世紀由法國的工程師兼學者Fourier在其名著 熱的解析理論中予以詳細討論的。實際上，三角級數(shù)展開不僅在實用中有重大意義，而且對于現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展，都深具影響一般情況下，利用定義和準則來判斷級數(shù)的收斂性是很困難的，能否找到更簡單有效的判

10、別方法呢？我們先從最簡單的一類級數(shù)找到突破口，那就是正項級數(shù)。一.正項級數(shù)的定義若級數(shù)中各項都是非負的( 即)，則稱該級數(shù)為正項級數(shù)。由正數(shù)和零構成的級數(shù)稱為正項級數(shù)。二.正項級數(shù)收斂性的一般判別原則若級數(shù)各項的符號都相同，則稱為同號級數(shù)。而對于同號級數(shù)，只須研究各項都由正數(shù)組成的級數(shù)正項級數(shù)。因負項級數(shù)同正項級數(shù)僅相差一個負號，而這并不影響其收斂性。定理1 正項級數(shù)收斂部分和數(shù)列有界。證明：由于對，故是遞增的，因此，有 收斂收斂有界。定理2（比較原則） 設和均為正項級數(shù)，如果存在某個正數(shù)N，使得對都有，則 （1）若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂； （2）若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散。證明：由定義及定理1

11、即可得。比較判別法；比較判別法的極限形式；推論（常用結論）比較判別法是判斷正項級數(shù)收斂性的一個重要方法。對一給定的正項級數(shù)，如果要用比較判別法來判別其收斂性，則首先要通過觀察，找到另一個已知級數(shù)與其進行比較，并應用定理2進行判斷。只有知道一些重要級數(shù)的收斂性，并加以靈活應用，才能熟練掌握比較判別法。至今為止，我們熟悉的重要的已知級數(shù)包括等比級數(shù)、調(diào)和級數(shù)以及級數(shù)等。要應用比較判別法來判別給定級數(shù)的收斂性，就必須給定級數(shù)的一般項與某一已知級數(shù)的一般項之間的不等式。但有時直接建立這樣的不等式相當困難，為應用方便，我們給出比較判別法的極限形式。使用比較判別法或其極限形式，需要找到一個已知級數(shù)作比較，

12、這多少有些困難。下面介紹的幾個判別法，可以利用級數(shù)自身的特點，來判斷級數(shù)的收斂性。 比值判別法（達朗貝爾判別法）：適合與有公因式且 存在或等于無窮大的情形。 根值判別法（柯西判別法）：適合中含有表達式的次冪，且 或等于的情形。積分判別法：對于正項級數(shù)，如果可看作由一個在上單調(diào)減少函數(shù)所產(chǎn)生，即有。則可用積分判別法來判定正項級數(shù)的斂散性。三.比較判別法對于兩個正項級數(shù)，若(n=1,2,3)，c 是大于零的常數(shù)，那么，收斂收斂，發(fā)散發(fā)散。證明 設=+，=+因為，若收斂有界有界收斂；若發(fā)散無界無界發(fā)散例1 、斷調(diào)和級數(shù)的斂散性。解 因為 可以按如下加括號，得，級數(shù)而上述加括號后的級數(shù)的各項

13、大于級數(shù)的對應項，又后一級數(shù)是發(fā)散的，所以原調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的。例2 、判斷級數(shù)的斂散性。解 因為而等比級數(shù)是收斂的，且=2，所以是收斂的。例3 、察的收斂性。解：由于當時，有，因正項級數(shù)收斂，故收斂。推論（比較判別法的極限形式） 設 和是兩個正項級數(shù)，若 ，則 （i） 當時，級數(shù)、同時收斂或同時發(fā)散； （ii）當且級數(shù)收斂時，級數(shù)也收斂； （iii）當且發(fā)散時，級數(shù)也發(fā)散。證明：由，對任給正數(shù),存在某正數(shù),當時，恒有<或 . (1)由定理2及(1)式推得，當 (這里設)時，數(shù)和同時收斂或同時發(fā)散。就證得(i)。 對于(ii),當時，(1)式右半部分及比較原則可得：若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂

14、。 對于(iii),若，即對任給的正數(shù)M，在相應的正數(shù)N，當n>N時，有 或 .于是由比較原則知道，若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散。例4、級數(shù)的發(fā)散性，可知級數(shù)是發(fā)散的。 增加例題：級數(shù)=是發(fā)散的。為根據(jù)推論以及調(diào)和級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)也發(fā)散。四.比式判別法定理3（達朗貝爾判別法，或稱比式判別法） 設為正項級數(shù)，且存在某個正整數(shù)及常數(shù)：（1）若對，有 ，則級數(shù)收斂 ；（2）若對，有 ，則級數(shù)發(fā)散。證明：（1）不妨設對一切，有成立，于是，有 ，。故 ， 即 ，由于，當時，級數(shù)收斂，由比較原則，可知級數(shù)收斂。 （2）因此時，故級數(shù)發(fā)散。推論（比式判別法的極限形式） 設為正項級數(shù)，且 ，則（1）當時，

15、級數(shù)收斂；（2）當（可為）時，級數(shù)發(fā)散；（3）當時，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。如：，。證明：由比式判別法和極限定義即可得。例5、討論級數(shù) 的收斂性。由于根據(jù)上述推論級數(shù)是收斂的。例6、 討論級數(shù)的收斂性。解 因為 根據(jù)推論，當時級數(shù)收斂；當時級數(shù)發(fā)散；而當時，所考察的級數(shù)是,它顯然也是發(fā)散的。 若(9)中，這時用比式判別法不能對級數(shù)的斂散性作出判斷，因為它可能是收斂的，也可能是發(fā)散的。如級數(shù)和,它們的比式極限都是但是收斂的(§例4)，而卻是發(fā)散的。若某級數(shù)的(9)式的極限不存在，則可應用上、下極限來判別。推論2 設為正項級數(shù)。(i)若，則級數(shù)收斂； (ii) 若，則級數(shù)發(fā)散。例7、研

16、究級數(shù) (10)的斂散性，其中。 解 由于 故有于是，當時，級數(shù)(10)收斂；當時，級數(shù)(10)發(fā)散；但當，比式判別法無法判斷級數(shù)(10)的斂散性。五.根式判別法定理4（柯西判別法，或稱根式判別法） 設為正項級數(shù)，且存在某個正整數(shù)及正常數(shù)，（1）若對，有 ，則級數(shù)收斂；（2）若對，有 ，則級數(shù)發(fā)散。證明：由比較判別法即可得。推論（根式判別法的極限形式） 設為正項級數(shù)，且 ，則 （1）當時，級數(shù)收斂；（2）當（可為）時，級數(shù)發(fā)散；（3）當時，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。如：，。例8、 討論級數(shù) 的斂散性。解：由于 所以級數(shù)是收斂的。若在(13)式中=1，則根式判別法仍無法對級數(shù)的斂散性作出判斷例如

17、，對都有 但是收斂的，而卻是發(fā)散的。若(13)式的極限不存在，則可根據(jù)根式的上極限來判斷。推論2 設為正項級數(shù)，且 則當（i）<1時級數(shù)收斂； (ii) >1時級數(shù)發(fā)散。本推論的證明可仿照推論1的證法進行。增加例題考察級數(shù)其中。解 由于 及 因此級數(shù)是收斂的。但若應用比式判別法，則由于 ， 則無法應用定理12.7推論2判斷其收斂性。 我們知道，若 則必有 這說明凡能由比式判別法鑒別收斂性的級數(shù)，它也能由根式判別法來判斷，而且可以說，根式判別法較之比式判別法更有效。例如，級數(shù)由于 故由比式判別法無法鑒別此級數(shù)的收斂性。但應用根式判別法來考察這個級數(shù)（例7），可知此級數(shù)是收斂的。說明：

18、因 這就說明凡能用比式判別法判定收斂性的級數(shù)，也能用根式判別法來判斷，即根式判別法較之比式判別法更有效。但反之不能，如例6。六.積分判別法特點：積分判別法是利用非負函數(shù)的單調(diào)性和積分性質，并以反常積分為比較對象來判斷正項級數(shù)的斂散性。定理4 設為上非負減函數(shù)，則正項級數(shù)與反常積分同時收斂或同時發(fā)散。證明：由假設為上非負減函數(shù)，則對任何正數(shù)A，在1，A上可積，從而有 ，依次相加，得 若反常積分收斂，則對，有 。于是，知 級數(shù) 收斂。反之，若級數(shù)收斂，則對任意正整數(shù)，有 。又因為上非負減函數(shù)，故對任何，有 , 。故知，反常積分收斂。同理可證它們同時發(fā)散。例9、討論下列級數(shù)（1） ，（2）， （3）

19、 的斂散性。解 （1）函數(shù)，當時在上是非負減函數(shù)。知道反常積分在時收斂，時發(fā)散故由定理4得去當時收斂，當時發(fā)散。至于的情形，則可由定理12.1推論知道它也是發(fā)散的。（2）研究反常積分，由于當時收斂，時發(fā)散；根據(jù)定理4知級數(shù)(2)在時收斂，時發(fā)散。對于(3)，考察反常積分，同樣可推得級數(shù)(3)在時收斂，在時發(fā)散。 結論比較審斂法是判別正項級數(shù)斂散性的一種常用且非常有效的方法。比較審斂法如果正項級數(shù)收斂，且滿足，則收斂；如果正項級數(shù)發(fā)散，且滿足，則發(fā)散；比較審斂法只適用于正項級數(shù)斂散性的判別，而尋求合適的級數(shù)是解題的關鍵。幾何級數(shù)和p-級數(shù)常用來充當比較審斂法中的級數(shù)。例10、證明級數(shù)是收斂的。證

20、由于，所以，而級數(shù)為p=2 的p-級數(shù)且收斂，故由比較審斂法，級數(shù)是收斂的。例11、判別下列級數(shù)的斂散性。分析這是一個典型的例題，通項是關于的一個有理分式。應注意分母和分子中的最高冪次之差，通項為關于的一個有理分式的級數(shù)和相應的p-級數(shù)有相同的斂散性。本題中這一差數(shù)為，故應和p=1的p-級數(shù)做比較。解，而級數(shù)與有相同的斂散性，即同時發(fā)散，故由比較審斂法，級數(shù)是收斂的。在例中，由于級數(shù)的通項比較復雜，使得斂散性的判別過程較為復雜，為使比較審斂法的應用更為方便，給出其極限形式。比較審斂法的極限形式設和為兩個正項級數(shù)，如果()，則級數(shù)和有相同的斂散性。如果正項級數(shù)發(fā)散，且滿足，則發(fā)散；例12、判別級

21、數(shù)的斂散性。解因為，故由比較審斂法的極限形式得知此級數(shù)收斂。如果不用比較審斂法的極限形式，例中的級數(shù)斂散性的判別較為困難。例13、用比較審斂法的極限形式判別例中的級數(shù)的斂散性。解因為，故由比較審斂法得知此級數(shù)收斂。比值審斂法設正項級數(shù)的后項與前項的比值的極限等于：，(3)則當時級數(shù)收斂；時級數(shù)發(fā)散。例14、判別級數(shù)的斂散性。解因為，故，從而。由比值審斂法可知級數(shù)發(fā)散。易知，當級數(shù)的通項含有階乘或出現(xiàn)在指數(shù)位置時，一般可用比值審斂法判別其斂散性。例15、判別級數(shù)的斂散性。分析此級數(shù)的通項中既含有的階乘，又含有和，所以可用比值審斂法判斷其斂散性。解因為，所以從而，由比值審斂法可知，此級數(shù)收斂。當(

22、3)中等于時，用比值審斂法不能判別級數(shù)的斂散性?？捎闷渌椒ㄅ袆e其斂散性。根值審斂法設正項級數(shù)的通項的次方根的極限等于：，(4)則當時級數(shù)收斂；時級數(shù)發(fā)散。例16、證明級數(shù)收斂。分析當級數(shù)的通項中含有或類似的表達式時，通常采用根值審斂法判別級數(shù)的斂散性。證因為()故由根值審斂法得知所給級數(shù)收斂。以上給出了正項級數(shù)的各種判別法。對于給定的正項級數(shù)，可以按照以下順序對其斂散性進行判別：1首先觀察其通項是否趣于零，如果通項不趣于零，則級數(shù)發(fā)散。2如果通項趣于零，可根據(jù)級數(shù)通項的特點，考慮用比較審斂法、比值審斂法或根值審斂法。3極其特殊的情況下，也可以用級數(shù)的部分和數(shù)列來判斷級數(shù)的斂散性。最后我們來看

23、下兩個級數(shù)收斂性及其它領域（速度）有關例子問題1：曾經(jīng)有同學向我提出這樣一個問題：假設汽車速度快于自行車的速度，而汽車在自行車的后方，則顯然經(jīng)過時間后，汽車就會追趕上自行車。但是，他有這樣一個疑問？當汽車前進路程到達自行車原來所在的位置時，即經(jīng)過了時間時，自行車又前進了路程。當汽車前進路程，即又經(jīng)過了時，自行車又前進了路程，這樣一直下去，直觀上感覺，汽車總是差一點才能追趕上自行車。問題出在哪里呢？事實上該問題與無窮級數(shù)的收斂性有關。汽車追趕第段路程化肥的時間為，此時，汽車與自行車相距路程為，汽車追趕自行車花費的時間的總和是一個無窮級數(shù)，它是一個公比的幾何級數(shù)，因此，和為。所以，經(jīng)過時間后，汽車

24、就會追趕上自行車。問題2：爬金箍棒的螞蟻的故事（選自數(shù)學趣題與妙解）：這天，孫悟空閑暇無時，他把他的金箍棒變成了10cm長的小棒，立在地上。這是一只螞蟻來到棒的底部，沿著小棒往上爬，孫悟空眼睛一亮，心想“要爬，沒那么容易！”只聽他叫了一聲“變”，地上的棒應聲長了起來，眼看越長越高，而那只螞蟻似乎什么都沒有發(fā)現(xiàn)，還是慢悠悠地一如既往地往上爬。如果螞蟻始終沿鉛垂線勻速上爬，每分鐘上升1cm。 在孫悟空叫變時，已經(jīng)爬至高1cm處，此后，棒的各部分每個時刻都是勻速地變長，每經(jīng)1分鐘，棒就增長10cm，即第一分鐘末，高10cm，第二分鐘末，高20cm，第三分鐘末，高30cm，. 請問最終螞蟻能夠爬到棒的頂端嗎？不少人會說，由于螞蟻爬行的速度不變，而棒的長度不停的變長，螞蟻永遠