橢圓典型題型歸納

1、橢圓典型題型歸納題型一. 定義及其應(yīng)用例1.已知一個(gè)動(dòng)圓與圓相內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn)，求這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程； 練習(xí)：1.方程對(duì)應(yīng)的圖形是（ ）A.直線 B. 線段 C. 橢圓 D. 圓2.方程對(duì)應(yīng)的圖形是（ ）A.直線 B. 線段 C. 橢圓 D. 圓4.如果方程表示橢圓，則的取值范圍是 5.過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)與橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的的周長(zhǎng)等于 ；6.設(shè)圓的圓心為，是圓內(nèi)一定點(diǎn)，為圓周上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與的連線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為 ；題型二. 橢圓的方程 （一）由方程研究曲線例1.方程的曲線是到定點(diǎn) 和 的距離之和等于 的點(diǎn)的軌跡；（二）分情況求橢圓的方程例

2、2.已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3倍，并且過(guò)點(diǎn)，求橢圓的方程；（三）用待定系數(shù)法求方程例3.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、，求橢圓的方程；例4.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓有共同焦點(diǎn)的橢圓方程；注：一般地，與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)其方程為；（四）定義法求軌跡方程；例5.在中，所對(duì)的三邊分別為，且，求滿足且成等差數(shù)列時(shí)頂點(diǎn)的軌跡；（五）相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程；例6.已知軸上一定點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程； （六）直接法求軌跡方程；例7.設(shè)動(dòng)直線垂直于軸，且與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線上滿足的點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程； （七）列方程組求方程例8.中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線截

3、得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此橢圓的方程； 題型三.焦點(diǎn)三角形問(wèn)題例1.已知橢圓上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，求、及；題型四.橢圓的幾何性質(zhì)例1.已知是橢圓上的點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為，、分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的半焦距為，則的最大值與最小值之差為 例2.橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為，若四邊形的內(nèi)切圓恰好過(guò)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為 ；例3.若橢圓的離心率為，則 ；例4.若為橢圓上一點(diǎn)，、為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 題型七.求離心率例1. 橢圓的左焦點(diǎn)為，是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果到直線的距離為，則橢圓的離心率 例2.若為橢圓上一點(diǎn)，、為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 例3. 、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直

4、線交橢圓于兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 ；題型八.橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用例1. 橢圓上的點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo) 例2.方程()表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；題型九.直線與橢圓的關(guān)系（1）直線與橢圓的位置關(guān)系例1. 當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓相切、相交、相離？例2.曲線（）與連結(jié)，的線段沒(méi)有公共點(diǎn)，求的取值范圍。例3.過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線傾斜角的正切值。例4.求直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍。 （二）弦長(zhǎng)問(wèn)題例1.已知橢圓，是軸正方向上的一定點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)。例2.橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，為坐標(biāo)

5、原點(diǎn)，的斜率為，求的值。例3.橢圓的焦點(diǎn)分別是和，過(guò)中心作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若的面積是20，求直線方程。（三）弦所在直線方程例1.已知橢圓，過(guò)點(diǎn)能否作直線與橢圓相交所成弦的中點(diǎn)恰好是；例2.已知一直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程；例3. 橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其離心率,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且C分有向線段的比為2.（1）用直線的斜率表示的面積；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求橢圓E的方程例4.已知是橢圓上的三點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，且成等差數(shù)列，則的垂直平分線是否過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論。（四）關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題例1.已知橢圓，試確定的取值范圍，使得橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線

6、對(duì)稱； 例2.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于6，離心率，試問(wèn)是否存在直線，使與橢圓交于不同兩點(diǎn)，且線段恰被直線平分？若存在，求出直線傾斜角的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。題型十.最值問(wèn)題F2F1M1M2例1若，為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值。結(jié)論1：設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為,最小值為；例2,為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值。論2設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓外一點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為，最小值為;2.二次函數(shù)法例3求定點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)之間的最短距離。結(jié)論3：橢圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)A(m,0)或B(

7、0,n)距離的最值問(wèn)題，可以用兩點(diǎn)間距離公式表示MA或MB，通過(guò)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上消去y或x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。3.三角函數(shù)法例4求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值；結(jié)論4：若橢圓上的點(diǎn)到非坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的距離求最值時(shí),可通過(guò)橢圓的參數(shù)方程，統(tǒng)一變量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值。4.判別式法例4的解決還可以用下面方法結(jié)論5：橢圓上的點(diǎn)到定直線l距離的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為與l平行的直線m與橢圓相切的問(wèn)題,利用判別式求出直線m方程，再利用平行線間的距離公式求出最值。例5.已知定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在該橢圓上移動(dòng)時(shí)，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（第二定義的應(yīng)用）題型十一.軌跡問(wèn)題例1到兩定點(diǎn)，的距離之和為定值5的點(diǎn)的軌跡是 ( ) A橢圓 雙曲線 直線 線段例2已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓的上半圓周上(即y0)