浙江農(nóng)林大學靜電場的高斯定理習題

1、四、計算題1、 兩個無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為和，試求空間各處場強兩面間 , 面外 , 面外 . （填寫A、B、C或D，從下面的選項中選?。〢、 B、 C、 D、答案：A，C，D 解: 如圖所示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為與，兩面間， 面外， 面外， ：垂直于兩平面由面指為面abcl2、一無限長帶電直線,電荷線密度為l,傍邊有長為a, 寬為b的一矩形平面, 矩形平面中心線與帶電直線組成的平面垂直于矩形平面，帶電直線與矩形平面的距離為c，如圖，求通過矩形平面電通量的大小. . （填寫A、B、C或D，從下面的選項中選?。〢、 B、 C、 D、答案：BabclxyErq

2、解：取窄條面元,該處電場強度為過面元的電通量為3、 如圖所示，在xy平面內(nèi)有與y軸平行、位于xa / 2和x-a / 2處的兩條“無限長”平行的均勻帶電細線，電荷線密度分別為l和l求z軸上任一點的電場強度. . （填寫A、B、C或D，從下面的選項中選?。?A、 B、 C、 D、答案：C解：過z軸上任一點(0 , 0 , z)分別以兩條帶電細線為軸作單位長度的圓柱形高斯面，如圖所示按高斯定理求出兩帶電直線分別在該處產(chǎn)生的場強大小為 場強方向如圖所示 按場強疊加原理，該處合場強的大小為 方向如圖所示 或用矢量表示 4、均勻帶電球殼內(nèi)半徑6cm，外半徑10cm，電荷體密度為2×C·

3、;m-3求距球心5cm的場強 ，8cm的場強 ,12cm的場強 . （填寫A、B、C或D，從下面的選項中選?。〢、， 方向沿半徑向外 B、 , 沿半徑向外C、,方向沿半徑向外 D、 0答案： D, A，B解: 高斯定理,當時，,時， ， 方向沿半徑向外cm時, 沿半徑向外.5、有兩個半徑分別為、的同心球殼，帶電分別為、，試求空間電場分布。(1) , . （填寫A、B、C或D，從下面的選項中選?。?2)， .(3)， .A、 B、C、 D、 0答案： D, A，B解：對稱性分析：球對稱高斯面：閉合球面(1) ，(2)， ，(3)，6、 一個半徑為R的帶電球體，電荷分布均勻，體密度為，試求此帶電球

4、體內(nèi)的場強, . （填寫A、B、C或D，從下面的選項中選?。┣蝮w外的場強, .A、 B、C、 D、 0答案：B, A解： 以球心為圓心，為半徑作一高斯面，根據(jù)高斯定理由高斯定理。 - 則各區(qū)域內(nèi)的電場分布為： ， ； ： ，； 7、如圖所示，兩個帶有等量異號電荷的無線長同軸圓柱面，半徑分別為 和()單位長度上的電荷為。求離軸線為處的電場強度 （1）, . （填寫A、B、C或D，從下面的選項中選?。?）, . （填寫A、B、C或D，從下面的選項中選?。?）, . （填寫A、B、C或D，從下面的選項中選?。?A、 B、C、 D、 0答案：D, B, DR1R2解 電荷軸對稱分布，因此電場的分布

5、具有軸對稱性。在離軸線為r處作單位長度的同軸圓柱形高斯面，根據(jù)高斯定理，有 其中為高斯面包圍的電荷。(1) ：，(2)：，(3)：，8、 實驗表明，在靠近地面處有相當強的電場，電場強度垂直于地面向下，大小約為100N/C，在離地面1.5km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小約為25 N/C，求：（1）從地面到此高度大氣中電荷的平均體密度 . （填寫A、B、C或D，從下面的選項中選?。唬?）假設地球表面處的電場強度完全是由均勻分布在地表面的電荷產(chǎn)生的，求地面上的電荷面密度 . （填寫A、B、C或D，從下面的選項中選?。、 B、C、 D、答案： B, C解 (1) 設大氣中電荷的平均體密

6、度為，如圖（a）所示取圓柱形高斯面，側面垂直底面，底面 平行地面，上下底面處的場強分別為和，則通過高斯面的電通量為圓柱形高斯面包圍的電荷為，由高斯定理有因此得 (2) 設地面上的面電荷密度為，取高斯面如圖（b）所示。由于電荷只分布在地表面，所以電力線終止于地面，通過高斯面的電通量為由高斯定理，有 因此得 9、如圖，在電荷體密度為的均勻帶電球體中，存在一個球形空腔，若將帶電體球心O指向球形空腔球心的矢量用表示。試證明球形空腔中任一點電場強度為 . （填寫A、B、C或D，從下面的選項中選?。?。A、 B、C、 D、答案：A 證 球形空腔可以看成是由電荷體密度分別為和的均勻帶電大球體和小球體疊加而成。

7、空腔內(nèi)任一點P處的場強，可表示為 其中和分別為帶電大球體和小球體在P點的場強。由幾何關系，上式可寫成即證。RaddPO10、半徑為R的無限長圓柱體內(nèi)有一個半徑為a(a<R)的球形空腔,球心到圓柱軸的距離為d(d>a),該球形空腔無限長圓柱體內(nèi)均勻分布著電荷體密度為的正電荷,如圖所示。求：(1) 在球形空腔內(nèi)，球心O處的電場強度EO. . （填寫A、B、C或D，從下面的選項中選?。?2) 在柱體內(nèi)與O點對稱的P點處的電場強度EP. . （填寫A、B、C或D，從下面的選項中選取）。A、 方向向右 B、 方向向右C、 方向向右 D、 方向向左答案：A, D解：球形空腔無限長圓柱帶電體可

8、認為是均勻帶正電(體電荷密度為r)無限長圓柱體與均勻帶負電(體電荷密度為-r)球體組成.分別用高斯定理求無限長均勻帶電圓柱體激發(fā)的電場E1與均勻帶電球體激發(fā)的電場E2.為求E1,在柱體內(nèi)作同軸的圓柱形高斯面,有方向垂直于軸指向外;為求E2,在球體內(nèi)外作同心的球形高斯面,有球內(nèi)r<a ，球外r>a ，負號表示方向指向球心.（1）對于O點 (因r2=0)得 ，方向向右;（2）對于P點, 得 方向向左.一、判斷題1.1. 已知一高斯面所包圍的體積內(nèi)電量代數(shù)和=0，則高斯面上各點場強均為零。錯誤分析：高斯面上的電通量只與高斯面內(nèi)電荷代數(shù)和有關，與外部電荷無關，但高斯面上的電場強度是空間所有

9、電荷共同產(chǎn)生的，是矢量疊加的結果。注意區(qū)分電場強度和電通量是兩個不同的物理量。1.2. 穿過整個高斯面的電通量為零，則可以肯定高斯面內(nèi)所包圍的體積內(nèi)電量代數(shù)和=0.正確分析：高斯面上的電通量只與高斯面內(nèi)電荷代數(shù)和有關。因此電通量為零時，必然有=0。1.3. 只有當穿過高斯面上每一面元的電通量均為零時，穿過整個高斯面的電通量才為零。錯誤分析：高斯面上每一面元的電通量均為零時，高斯面的電通量必然為零，但反之則不成立。電場線從一側穿進，另一側穿出，高斯面電通量為零，但穿進傳出處的面元的電通量均不為零。2. 半徑為R的均勻帶電球平面，若其電荷面密度為，則在其兩側的電場強度大小均為。錯誤分析：當半徑，所

10、得結論正確。3.靜電場的高斯定理中取決于高斯面內(nèi)部的電荷。錯誤分析：高斯面上的電場強度是空間所有電荷共同產(chǎn)生的，是矢量疊加的結果。4. 若高斯面上處處為0，則該面內(nèi)必無凈電荷.正確5.1. 若高斯面上處處不為0，則高斯面內(nèi)必有凈電荷. 錯誤分析：高斯面上處處不為0，但又可能電通量為零，此時高斯面內(nèi)無凈電荷。5.2. 若高斯面內(nèi)有電荷，則高斯面上處處不為0。錯誤分析：高斯面上的電場強度是空間所有電荷共同產(chǎn)生的，是矢量疊加的結果。因此不能排除高斯面上可能存在一些地方所有矢量疊加的結構為零。三 填空題：1、由一根絕緣細線圍成的邊長為l的正方形線框，使它均勻帶電，其電荷線密度為l，則在正方形中心處的電

11、場強度的大小E_答案：0分析：答案為0，相對的兩條帶電細線產(chǎn)生的電場強度剛好大小相同，方向相反。2、一面積為S的平面，放在場強為的均勻電場中，已知與平面間的夾角為，則通過該平面的電場強度通量的數(shù)值_。答案：ES sin分析：答案為，電通量的定義。-s2s圖3.53、如圖, 兩塊“無限大”的帶電平行平板，其電荷面密度分別為-s (s > 0 )及2s.試寫出各區(qū)域的電場強度.區(qū)E的大小 ，方向 .區(qū)E的大小 ，方向 .區(qū)E的大小 ，方向 .答案：/(20), 向左; 3/(20), 向左; /(20), 向右.分析：答案分別為,向左; ,向左; ,向右.無限大均勻帶電平面（電荷面密度s）兩

12、側的電場強度大小為，對每個分區(qū)，根據(jù)電場強度矢量疊加便可以得到上述答案。4、三個平行的“無限大”均勻帶電平面，其電荷面密度都是+,則A、B、C、D四個區(qū)域的電場強度分別為，EA_，EB_，Ec_，ED_ 。(設方向向右為正)答案：-3/(20); -/(20); /(20); 3/(20).分析：答案分別為, , , ，分析同上。5、電荷分別為q1和q2的兩個點電荷單獨在空間各點產(chǎn)生的靜電場強分別為和，空間各點總場強為現(xiàn)在作一封閉曲面S，如圖所示，則以下兩式分別給出通過S的電場強度通量 _， _答案：q1/0; (q1+ q2) /0. 分析：答案分別為 、；解答第一個問題其實就是高斯定理在高

13、斯面內(nèi)僅存在q1時的直接運用，第二個問題就是高斯面內(nèi)僅存在q1和q2高斯面內(nèi)僅存在的直接運用。6、S-Q+Qba2RRO圖3.6如圖所示, 真空中有兩個點電荷, 帶電量分別為Q和-Q, 相距2R.若以負電荷所在處O點為中心, 以R為半徑作高斯球面S, 則通過該球面的電場強度通量F = ；若以r0表示高斯面外法線方向的單位矢量，則高斯面上a、b兩點的電場強度分別為 、 .答案：-Q/e0, -2Qr0/(9pe0R2), -Qr0/(2pe0R2).分析：答案分別為-Q/e0, -2Qr0/(9pe0R2), -Qr0/(2pe0R2).根據(jù)高斯定理，高斯面上的電通量只與高斯面內(nèi)的電荷有關，因此

14、，a點的電場強度由-Q與+Q共同疊加而成，因此同理，要注意r0表示高斯面外法線方向的單位矢量。· q1· q3· q4S圖3.7q27、電荷q1、q2、q3和q4在真空中的分布如圖所示, 其中q2 是半徑為R的均勻帶電球體, S為閉合曲面，則通過閉合曲面S的電通量= ，式中電場強度E是電荷 產(chǎn)生的.是它們產(chǎn)生電場強度的矢量和還是標量和?答:是 .答案：(q1+ q2) /0. 所有電荷共同，矢量。分析：答案分別為，所有電荷共同，矢量。高斯面上的電通量只與高斯面內(nèi)電荷代數(shù)和有關，與外部電荷無關，但高斯面上的電場強度是空間所有電荷共同產(chǎn)生的，是矢量疊加的結果。注意區(qū)分

15、電場強度和電通量是兩個不同的物理量。8、在點電荷+q和-q的靜電場中，作出如圖所示的三個閉合曲面S1、S2、S3，則通過這些閉合曲面的電場強度通量分別是：_；_； _。答案：q /0; 0, q /0.分析：答案分別為，高斯面上的電通量只與高斯面內(nèi)電荷代數(shù)和有關。9、如圖所示，一點電荷q位于正立方體的A角上，則通過側面abcd的電場強度通量Fe_ 答案：q /(240)分析：答案為，)電荷在頂點時，將立方體延伸為邊長的立方體，使處于邊長的立方體中心，則邊長的正方形上電通量。對于邊長的正方形，如果它不包含所在的頂點，則，10、由一半徑為R，電荷體密度為的無限長均勻帶電圓柱體產(chǎn)生的電場空間，當r&

16、lt;R時，E=，當r>R時，E=。答案：r /(20), R2 /(20r)分析：答案分別為，。去單位高度的同軸圓柱面為高斯面，根據(jù)高斯定理，時，則；，則二、選擇題EOxy1、 如圖所示，有一電場強度E平行于x軸正向的均勻電場，則通過圖中一半徑為R的半球面的電場強度通量為A、pR2E .B、pR2E/2 .C、2pR2E .D、0 .答案：D分析：答案為（D），E從左至右，左側穿進的電場線又要從右側傳出，總的通量為零。2、 關于高斯定理，以下說法正確的是：A、高斯定理是普遍適用的,但用它計算電場強度時要求電荷分布具有某種對稱性;B、高斯定理對非對稱性的電場是不正確的;C、高斯定理一定可

17、以用于計算電荷分布具有對稱性的電場的電場強度;D、高斯定理一定不可以用于計算非對稱性電荷分布的電場的電場強度.答案：A分析：答案為（A），高斯定理是普遍適用的，它的適用性與電荷分布是否具有對稱性沒有任何關系，只是當它用于計算電荷分布具有某種對稱性的電場的電場強度時，使用高斯定理可以方便快速的求解。3、有兩個點電荷電量都是+q，相距為2a，今以左邊的點電荷所在處為球心，以a為半徑作一球形高斯面. 在球面上取兩塊相等的小面積S1和S2，其位置如圖3.2所示. 設通過S1和S2的電場強度通量分別為F1和F2，通過整個球面的電場強度通量為F，則xOqqa2aS2S1A、F1 >F2 , F =

18、q /e0 .B、F1 <F2 , F = 2q /e0 .C、F1 = F2 , F = q /e0 .D、F1 <F2 , F = q /e0 .答案：D分析：答案為（D）, 電場強度通量的比較可以通過穿過兩塊面積的電場線的條數(shù)進行比較，兩個點電荷電量都是+q， 兩個點電荷分別在S1上的電通量相減，在S2上的電通量相加，顯然F1 <F2 , 而根據(jù)高斯定理，通過整個球面的電場強度通量為F只與高斯面內(nèi)的電荷有關，F(xiàn) = q /e0 .abcdqll/24、如圖所示，一個帶電量為q的點電荷位于一邊長為l的正方形abcd的中心線上，q距正方形l/2,則通過該正方形的電場強度通量

19、大小等于：A、. B、.C、.D、.答案：B分析：答案為（B），取以q為中心，正方形abcd為其中一個側面的立方體為高斯面，則該立方體的總的電通量為，正方體共6個面，故正方形abcd的電通量為。5、點電荷放在球形高斯面的中心處，下列哪種情況高斯面的電通量會發(fā)生變化A、將另一點電荷放在高斯面外 B、將球心處的點電荷移到高斯面內(nèi)另一處C、將另一點電荷放進高斯面內(nèi) D、改變高斯面半徑大小答案：C分析：答案為（C），根據(jù)高斯定理，通過整個球面的電場強度通量F只與高斯面內(nèi)的電荷有關，F(xiàn) = q /e0 。因此只要高斯面內(nèi)的電荷代數(shù)和不變，高斯面的電通量就不會發(fā)生改變。6、如圖所示，任一閉合曲面S內(nèi)有一點電荷q，O為S面上任一點，若將q由閉合曲面內(nèi)的P點移到T點，且OP=OT，那么 。 A、穿過S面的電通量改變，O點的場強大小不變；B、 穿過S面的電通量改變，O點的場強大小改變；C、穿過S面的電通量不變，O點的場強大小改變；D、穿過S面的電通量不變，O點的場強大小不變。答案：D分析：答案為（D），只要高斯面內(nèi)的電荷代數(shù)和不變，高斯面的電通量就不會發(fā)生改變。另外將q由P點移到T點，由于離O點的距離不變，因此強大小不變，但務必注意場強的方向已經(jīng)發(fā)生了變化。rEµ1/r2E4圖4O4圖4R4圖47、圖所示為一球對稱性靜電場的E r關系曲線，請指出該電場是由哪種帶