柱坐標(biāo)系含內(nèi)熱源一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題

1、2-1!Thecoreofapoolrealtorismadeofcylindricalfuelelements,eachcom-posedofauraniumrodofradius/?andastainlosssteelcladdingofnegligiblethickness(Fig.2-54)-Thereactorhastheuniformtemperature7pinitially;theninternalenergyisassumedsuddenlytobegenera忱dintheuraniumrodsas=1一("爐，whereu(fzistheinternalener

2、gygenerationatthecenterline.Thetemperatureofthecoolantisheldconstantat7意.Theheattransfercoefficientislarge.Formulatetheproblem.丁w » ， >Z*<-V<->> . ->'V?. r.L個(gè)7行”二 J二;.4 / , ,O ：6»，k ；> »7. q；火*，”、w .w ， w »<， 心"3 I.VJ >5/ ，： ； 一 , ”/3»wVZ*

3、 ' - ',- “了 ! .<r * ，.J 2 ,:衣; 7。W，. IT ”第；、y / J Q. ，.，.”FIG. 2542.11解：對(duì)于該一維有熱源的非左常熱傳導(dǎo)問(wèn)題，設(shè)導(dǎo)熱系數(shù)k為常數(shù)有初始條件/()二兀邊界條件為打r=0d01d=adrrdr(ce11-u&（幾o(hù)）=0=0do喬r-Ak+hOqdr-o其中ci=一為熱擴(kuò)散率或熱擴(kuò)散系數(shù)（thermaldi±fusivity）,過(guò)余溫度&=/-人，則pc令6>=w+/（r）,并使其中/（廠）滿(mǎn)足原方程及邊界條件不妨設(shè)/。）=-伊-創(chuàng)+S+G ,顯然其滿(mǎn)足原方程，現(xiàn)用邊界條件待

4、定其中系數(shù)=G = 0 = > G = 016kl.v-0/（）二-4 廣一f +p1 37?0 = 1（ 4r26k+ 01 3Qh4k代入原方程及邊界條件中有dulddu=ardrrdrdr代入初始條件中有坦中空=0I+力"|=0*也二處)M0(/)=16“叫13R、4g現(xiàn)用分離變量法進(jìn)行求解令w(r,r)=/?(r)T(r)帶入(14)中泛定方程中有/?(r)r(r)=t/IQr)T(r)+,r(r)T(r)尺0)+用"(廠)_7蟲(chóng)7)=乂/7?(r)6<r(r)由邊界條件知由初始條件有T(r)+A«T(r)=0,rr(r)+/?r(r)+2r/

5、?(r)=0.RO)=O.RR)+-R(R)=0.k7?(r)T(0)=八(r)現(xiàn)對(duì)k的值進(jìn)行討論當(dāng)2=0時(shí)，將其帶入式(L6)中有'")=0,rR”(r)+R(r)=0.%)=c/?(r)=Ain"BKAx)(1.9)代顯然不符合題意舍去當(dāng)兄0時(shí)，對(duì)于式(1-6)令x=夕，有r(r)+加T(r)=0,2附R八2dnXTXXR-0.ZsrR(x)=M(x)+BK°(x)T(r)=Ce2/?(r)=>4/()(pr)+BK()(注意到當(dāng)TOO時(shí)s即最終的溫度這在實(shí)際情況下是不可能的，故該種情況應(yīng)當(dāng)舍去。當(dāng)2>0時(shí)，對(duì)于式(16)令x=>jk

6、r石r(r)+AaT(r)=。,2cPRdR2d八dx1dx其中第二式為零階貝塞爾方程弘六心)+吩)一Mr=>T(t)一,-C7?(fTJo(屈)+3人(屈)帶入邊界條件得顯然滿(mǎn)足方程莊二牛負(fù)伴根有無(wú)窮多個(gè)。用下而符號(hào)表示其無(wú)窮多個(gè)正根力人貝(J)H-I代入初始條件有"（CO）=1Df,J°ef,=（p（r）n-l將00）展開(kāi)為廣義傅里葉級(jí)數(shù)0（廠）二£也（屈）n-l其中?。◤S）兒（屈）r機(jī)（阿）2小（廠）兒（阿）/，XEP;（掙）+川存）此處0（r）過(guò)于復(fù)雜，但該積分可積，這里就不帶入里而進(jìn)行進(jìn)一步運(yùn)算了，如有興趣可繼續(xù)計(jì)算?，F(xiàn)給出進(jìn)行下一步積分的參考公式

7、，JxX-.（A-）A=yvM,（x）+c對(duì)比系數(shù)得20（訕（屁）ZE川何）+岸（后）其中叫4/13用16k、在4/r-lr MR f| T h 4&414 4kJ0=u+f(r)二言可以（奸）嘀綜上所述：最終結(jié)果為心$如r阿）T吾其中J2匚燉（訕朗訕.，!叩：（亦）+玳亦）察L+竺h4k)j。（>/!/?備/u血，為滿(mǎn)足方程比二一八4的無(wú)窮多個(gè)正根并按從小到大排列。hA（彳巨R）Example2-2.Considerapoolreactor(Fig.2-33)whosecoreisconstructedfromanumberofverticalfuelplatesofthick

8、ness2L.InitiallythesystemhastheuniformtemperatureTjthenassumethattheconstantnuclearinternalenergyisuniformlygeneratedintheseplates.Theheattransfercoefficientbetweentheplatesandthecoolantish.Thetemperatureofthecoolantre-Core (fuel places)FIG. 2 33解：以板中心為原點(diǎn)，x軸垂直于板，建立坐標(biāo)系，則該問(wèn)題可簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題由能量守恒有取該板上長(zhǎng)為 改微段為控制

9、體,dtdpcdrdxdx)pHddedrdxdx)其中8=f一7為過(guò)余溫度考慮到邊界條件和初始條件有dO=0&x-0霎+加=0&仁二。令&="+/(x),并使英中/(X)滿(mǎn)足原方程及邊界條件dx不妨設(shè)/(%)=-X2+C,X+C2,顯然其滿(mǎn)足原方程，現(xiàn)用邊界條件待泄其中系數(shù)2kx+CJ+力x-+CX+C、)V2k=L2+C?/?=O2k(iIA=>G="S±+±h2k)/w=0=u-2kUi2k)2k代入原方程及邊界條件中有ducfiudxA-0f£*,nYL=0其中a二一為熱擴(kuò)散率或熱擴(kuò)散系數(shù)(thermald

10、iffusivity)pc代入初始條件中有x2+umL/_!_+24l(石一其中/A,./IL(px=x-_L_+，72k1/?2k)現(xiàn)用分離變量法進(jìn)行求解"設(shè)z/(A;r)=X(x)T(r),代入上面的方程可得xu)_r(c_xX(A)aT(r)jF(r)+2«r(r)=0|X7x)+2X(x)=0由邊界條件知A0)=O,PB(A)+hX(L)=G現(xiàn)對(duì)兄的值進(jìn)行討論當(dāng)兄=0時(shí)X(x)=Ax+B帶入邊界條件得a=r=n顯然不符合題意，舍去當(dāng)兄0時(shí)X(x)=AeAx+BeM帶入邊界條件得A=8=0也符合題意,舍去當(dāng)兄0時(shí)X(x)=AcosyfXx+BsinyXx顯然滿(mǎn)足方程t

11、an尿二炸根有無(wú)窮多個(gè)。用下而符號(hào)表示其無(wú)窮多個(gè)正根及相應(yīng)的特征函數(shù)Xn(x) = Ah cos揚(yáng) x再由方程F(r) + 26/T(r) = 0,可得7 ; )二嚴(yán),從而我們得到滿(mǎn)足邊界條件的一組解(X, T) = C C -cos羽匚所以/(X, T) = £c嚴(yán)*COS 城 Xn-1F面由初始條件求待泄系數(shù)由初始條件有WL=Zc-cos>=0(x)H-l由廣義傅里葉級(jí)數(shù)，對(duì)0(x)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)有0(x)=工億COSA/AXW-l其中1L+h2ksincosL).IL一+一h2k)Iv'mc , vr1一一口讓鵬h4a/4x2cosyAxdx/=Ax2dsinAx-£2x sin=-j=(Nsin=*A2sinL+，=J:2xdcos去嚴(yán)亦施Y+2片芒sin必L+2LCOS隔L-j-sin女石打：j-j=(Z?sinL+2ACOSffrL-|-sin4壬/JL曰:品扳沁x=4J:(cos2旋+i問(wèn)sin2 J&