數學物理方程期末考試試題及答案

1、數學物理方程期末考試試題及答案、求解方程(15分)Utt a Uxx 0U x at 0(X)U x at 0(X).其中(0)(0)。-=x at 、一、解：設則方程變?yōu)椋簒 atu 0, u F(x at) G(x at) (8')由邊值條件可得:F(0) G(2x)(x), F(2x) G(0)(x)由(0)(0)即得：x at x at、u(x,t)()()(0)。、利用變量分離法求解方程。(15分)2Utt a Uxx 0,(x,t) Q,Ux0 Uxi 0,t 0,U t 0(x), Ut t 0(x)其中0 x l o a 0為常數解：設 u X(x)T(t)代于方程得:

2、_2X'' X 0, T'' a T 0(8')C1 cos、 xC1 cos . atC2 sin .- at由邊值條件得:Ci0,十)2(Bn cos , atAn sin . at) sin n-xBnl0 (x)sinAn(x)sin-n-x dxan 0l三.證明方程ut2a u xxcu 0 (c0）具有狄利克雷邊界條件的初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性.（15分）證明：設Vcte u代入方程:Vtv(0,t) gi(t),v(l,t)g2(t).設Vi,V2都是方程的解設V ViV2代入方程得:2t a Vxxt 0(x). 2Vta Vxx

3、0V t 00V(0,t) ,V(l,t) 0由極值原理得V 0唯一性得證。(8)由ViV2ViV2,穩(wěn)定性得證由 V e ctu知u的唯一性穩(wěn)定性得證。四.求解二維調和方程在半平面上的狄利克雷問題（15分）.u uxx uyyuzz Q z Qz0 f(x).解:p（,）是上半平面內一點，在該點放置單位點電荷，其對稱點p(,格林函數:G(x,y,)ii4. (x )2 (y )2 (z )2ii4 (x )2 (y )2 (z )2GGz 072 722 ,3/2nz2 (x) (y )方程的解：u（ , ）廠 r2（x）2 （：y）223/2dX五、證明下列初邊值問題解的唯一性 .(20分

4、) 2 zUtt a (Uxx Uyy) f(x, y,t)u t 0(x, y),Ut t 0(x,y),u g(x,y,t).其中t 0,(x,y),為的邊界.解:設Ui,U2都是方程的解設uUi U2代入方程得：2Utta (Uxx Uyy) 0Ut0 0Ut t 00u 0. 12222設 E(t) - Ut a (Ux Uy dxdydE(t)22 UtUtta (UxUxtUyUyt)dxdydt2 ,2 UtUtt a (Uxx Uyy)dxdy0(10')E(t) E(0) 0, u C,由邊值條件得：U 0。(20')六考察邊值問題nUbi (x)Uxic(x)u fi 10.n試證c(x)當充分負時，其解具有唯一性及在能量模意義下的穩(wěn)定性.(20 分)證明：在原方程兩邊同乘以 u然后在 上積分:n2 ,u ubi (x)u u c(x)u dx fudxi 1u2由格林公式 u udx ds Du dx n2Du dxn由Young不等式ux|udxi 1-uxidx2 i i2 .u dx1.2又 fudx f dx2(u u2)dxi 11 9 一 u dx故得估計: