材料力學筆記

1、材料力學（土）筆記第三章 扭 轉(zhuǎn)1概 述等直桿承受作用在垂直于桿軸線的平面內(nèi)的力偶時，桿將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形若構件的變形時以扭轉(zhuǎn)為主，其他變形為次而可忽略不計的，則可按扭轉(zhuǎn)變形對其進行強度和剛度計算等直桿發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的受力特征是桿受其作用面垂直于桿件軸線的外力偶系作用其變形特征是桿的相鄰橫截面將繞桿軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，桿表面的縱向線將變成螺旋線當發(fā)生扭轉(zhuǎn)的桿是等直圓桿時，由于桿的物性和橫截面幾何形狀的極對稱性，就可用材料力學的方法求解對于非圓截面桿，由于橫截面不存在極對稱性，其變形和橫截面上的應力都比較復雜，就不能用材料力學的方法來求解2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)設一薄壁圓筒的壁厚遠小于其平均半徑（），其兩端承受

2、產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的外力偶矩，由截面法可知，圓筒任一橫截面n-n上的內(nèi)力將是作用在該截面上的力偶該內(nèi)力偶矩稱為扭矩，并用表示由橫截面上的應力與微面積之乘積的合成等于截面上的扭矩可知，橫截面上的應力只能是切應力考察沿橫截面圓周上各點處切應力的變化規(guī)律，預先在圓筒表面上畫上等間距的圓周線和縱向線，從而形成一系列的正方格子在圓筒兩端施加外力偶矩后，發(fā)現(xiàn)圓周線保持不變，縱向線發(fā)生傾斜，在小變形時仍保持直線薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)變形后，橫截面保持為形狀、大小均無改變的平面，知識相互間繞圓筒軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，因此橫截面上各點處切應力的方向必與圓周相切。相對扭轉(zhuǎn)角：圓筒兩端截面之間相對轉(zhuǎn)動的角位移，用來表示圓筒表面上每個格

3、子的指教都改變了相同的角度，這種直角的該變量稱為切應變這個切應變和橫截面上沿沿圓周切線方向的切應力是相對應的由于圓筒的極對稱性，因此沿圓周各點處切應力的數(shù)值相等由于壁厚遠小于其平均半徑，故可近似地認為沿壁厚方向各點處切應力的數(shù)值無變化薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時，橫截面上任意一點處的切應力值均相等，其方向與圓周相切由橫截面上內(nèi)力與應力間的靜力學關系，從而得由于為常量，且對于薄壁圓筒，可以用其平均半徑代替，積分為圓筒橫截面面積，引進，從而得到由幾何關系，可得薄壁圓筒表面上的切應變和相距為的兩端面間相對扭轉(zhuǎn)角之間的關系式，式子中為薄壁圓筒的外半徑當外力偶矩在某一范圍內(nèi)時，相對扭轉(zhuǎn)角與外力偶矩（在數(shù)值上等于）之間

4、成正比可得和間的線性關系為上式稱為材料的剪切胡克定律，式子中的比例常數(shù)稱為材料的切變模量，其量綱和單位與彈性模量相同，鋼材的切邊模量的約值為剪切胡克定律只有在切應力不超過某材料的某極限值時才適用該極限稱為材料的剪切比例極限，適用于切應力不超過材料剪切比例極限的線彈性范圍3傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖3.1 傳動軸的外力偶矩設一傳動軸，其轉(zhuǎn)速為n（r/min），軸傳遞的功率由主動輪輸入，然后通過從動輪分配出去設通過某一輪所傳遞的功率為，常用單位為kW1 kW=1000 W；1 W=1 J/s ; 1 J=1 N·m當軸在穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時，外力偶在t秒內(nèi)所做的功等于其矩與輪在t秒內(nèi)

5、的轉(zhuǎn)角之乘積因此，外力偶每秒鐘所作的功即功率為 即得到作用在該輪上的外力偶矩為外力偶的轉(zhuǎn)向，主動輪上的外力偶的轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)動方向相同，從動輪上的外力偶的轉(zhuǎn)向則與軸的轉(zhuǎn)動方向相反3.2 扭矩及扭矩圖可用截面法計算軸橫截面上的扭矩為使從兩段桿所求得的同一橫截面上扭矩的正負號一致按桿的變化情況，規(guī)定桿因扭轉(zhuǎn)而使其縱向線在某段內(nèi)有變成右手螺旋線的趨勢時則該段桿橫截面上的扭矩為正，反之為負若將扭矩按右手螺旋法則用力偶矢表示，則當力偶矢的指向離開截面時扭矩為正，反之為負為了表明沿桿軸線各橫截面上扭矩的變化情況，從而確定最大扭矩及其所在橫截面的位置可仿照軸力圖的作法繪制扭矩圖4等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應力·

6、;強度條件4.1 橫截面上的應力與薄壁圓筒相仿，在小變形下，等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時橫截面上也只有切應力幾何方面為研究橫截面上任意一點處切應變隨點的位置而變化的規(guī)律在等直圓桿的表面上作出任意兩個相鄰的圓周線和縱向線當桿的兩端施加一對其矩為的外力偶后，可以發(fā)現(xiàn)：兩圓周線繞桿軸線相對旋轉(zhuǎn)了一個角度，圓周線的大小和形狀均為改變在變形微小的情況下，圓周線的間距也未變化縱向線則傾斜了一個角度假設橫截面如同剛性平面般繞桿的軸線轉(zhuǎn)動，即平面假設上述假設只適用于圓桿為確定橫截面上任一點處的切應變隨點的位置而變化的規(guī)律假想地截取長為的桿段進行分析由平面假設可知，截面b-b相對于截面a-a繞桿軸轉(zhuǎn)動了一個微小的角度因此其

7、上的任意半徑也轉(zhuǎn)動了同一角度由于截面轉(zhuǎn)動，桿表面上的縱向線傾斜了一個角度縱向線的傾斜角就是橫截面周邊上任一點A處的切應變同時經(jīng)過半徑上任意一點的縱向線在桿變形后也傾斜了一個角度為圓心到半徑上點的距離即為橫截面半徑上任意一點處的且應變由幾何關系可得即上式表示等直接圓桿橫截面上任一點處的切應變隨該點在橫截面上的位置而變化的規(guī)律式子中的表示相對扭轉(zhuǎn)角沿桿長度的變化率，對于給定的橫截面是個常量在同一半徑的圓周上各點處的切應變都相同，且與成正比物理方面由剪切胡可定律可知，在線彈性范圍內(nèi)，切應力與切應變成正比令相應點處的切應力為，即得橫截面上切應力變化規(guī)律表達式由上式可知，在同一半徑的圓周上各點處的切應力

8、 值均相等，其值與成正比因為垂直于半徑平面內(nèi)的切應變，故的方向垂直于半徑靜力學方面由于在橫截面任一直徑上距圓心等遠的兩點處的內(nèi)力元素等值且反向則整個截面上的內(nèi)力元素的合力必等于零，并組成一個力偶，即為橫截面上的扭矩因為的方向垂直于半徑，故內(nèi)力元素對圓心的力矩為由靜力學中的合力矩原理可得經(jīng)整理后得上式中的積分僅與橫截面的幾何量有關，稱為極慣性矩，用表示其單位為，整理得可得上式即等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點處切應力的計算公式當?shù)扔跈M截面的半徑時，即在橫截面周邊上的各點處，切應力將達到其最大值在上式中若用代表，則有式中，稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，單位為推導切應力計算公式的主要依據(jù)為平面假設，且材料符合胡克

9、定律因此公式僅適用于在線彈性范圍內(nèi)的等直圓桿為計算極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)在圓截面上距圓心為處取厚度為的環(huán)形面積作為面積因素可得圓截面的極慣性矩為圓截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為由于平面假設同樣適用于空心截面桿件，上述切應力公式也適用于空心圓截面桿設空心圓截面桿的內(nèi)、外直徑分別為和，其比值則可得空心圓截面的極慣性矩為所以扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為4.2 斜截面上的應力在圓桿的表面處用橫截面、徑向截面及與表面相切的面截取一單元體在其左右兩側(cè)（即桿的橫截面）上只有切應力，其方向與y軸平行在其前后兩平面（即與桿表面相切的面）上無任何應力由于單元體處于平衡狀態(tài)，故由平衡方程可知單元體在左右兩側(cè)面上的內(nèi)力元素應是大小相等，指向

10、相反的一對力并組成一個力偶，其矩為為滿足令兩個平衡方程， 和在單元體上、下兩個平面上將有大小相等、指向相反的一對內(nèi)力元素并組成其矩為的力偶該力偶與前一力偶矩數(shù)值相等而轉(zhuǎn)向相反，從而可得上式表明，兩相互垂直平面上的切應力和數(shù)值相等，且均指向（或背離）該兩平面的交線，稱為切應力互等定理該定理具有普遍意義純剪切應力狀態(tài)：單元體在其兩對互相垂直的平面上只有切應力而無正應力的狀態(tài)等直圓桿和薄壁圓筒在發(fā)生扭轉(zhuǎn)時，其中的單元體均處于純剪切應力狀態(tài)現(xiàn)分析在單元體內(nèi)垂直于前、后量平面的任意斜截面上的應力斜截面外法線n與x軸的夾角為規(guī)定從x軸至截面外法向逆時針轉(zhuǎn)動時為正，反之為負應用截面法，研究其左邊部分的平衡設

11、斜截面的面積為，則面和面的面積分別為和選擇參考軸和分別于斜截面平行和垂直由平衡方程和即利用切應力互等定理公式，整理后即得任意一斜截面上的正應力和切應力的計算公式單元體的四個側(cè)面（和）上的切應力絕對值最大，均等于和兩截面上正應力分別為即該兩截面上的正應力分別為中的最大值和最小值，即一為拉應力，另一為壓應力其絕對值均等于，且最大、最小正應力的作用面與最大切應力的作用面之間互成45°這些結(jié)論是純剪切應力狀態(tài)的特點，不限于等直圓桿在圓桿的扭轉(zhuǎn)試驗中，對于剪切強度低于拉伸強度的材料（如低碳鋼），破壞是由橫截面上的最大切應力引起，并從桿的最外層沿與桿軸線約成45°傾角的螺旋形曲面發(fā)生拉

12、斷而產(chǎn)生的在最大切應力相等的情況下，空心圓軸的自重較實心圓軸為輕，比較節(jié)省材料4.3 強度條件強度條件是最大工作切應力不超過材料的許用切應力，即等直圓桿的最大工作應力存在于最大扭矩所在橫截面即危險截面的周邊上任一點，即危險點上述強度條件可寫為5等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件5.1 扭轉(zhuǎn)時的變形等直桿的扭轉(zhuǎn)變形是用兩橫截面繞桿軸相對轉(zhuǎn)動的相對角位移，即相對扭轉(zhuǎn)角來度量的為相距的兩橫截面間的相對扭轉(zhuǎn)角 因此，長為的一段桿兩端面間的相對扭轉(zhuǎn)角長為的一段桿兩端間的相對扭轉(zhuǎn)角為當?shù)戎眻A桿僅在兩端受一對外力偶作用時，則所有橫截面上的扭矩均相同且等于桿端的外力偶矩對于由同一材料制成的等直圓桿，及亦

13、為常量，則可得或的單位為，其正負號隨扭矩而定由上式可見，相對扭轉(zhuǎn)角與成反比，稱為等直圓桿的扭轉(zhuǎn)剛度由于桿在扭轉(zhuǎn)時各橫截面上的扭矩可能并不相同，且桿的長度也各不相同因此在工程中，對于扭轉(zhuǎn)桿的剛度通常用相對扭轉(zhuǎn)角沿桿長度的變化率來度量，稱為單位長度扭轉(zhuǎn)角，并用表示公式只適用于材料在線彈性范圍內(nèi)的等直圓桿例題3-5截面C相對于截面B的扭轉(zhuǎn)角，應等于截面A相對于B的扭轉(zhuǎn)角與截面C相對于A的扭轉(zhuǎn)角之和5.2 剛度條件等直桿扭轉(zhuǎn)時，除需滿足強度條件外，有時還需滿足剛度條件剛度要求通常是限制器單位長度扭轉(zhuǎn)角中最大值不超過某一規(guī)定的允許值，即上式即為等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的剛度條件式中，稱為許可單位長度扭轉(zhuǎn)角，其常

14、用單位是需要將單位換算，于是可得許可單位長度扭轉(zhuǎn)角是根據(jù)作用在軸上的荷載性質(zhì)以及軸的工作條件等因素決定的6等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應變能當圓桿扭轉(zhuǎn)變形時，桿內(nèi)將積蓄應變能計算桿內(nèi)應變能，需先計算桿內(nèi)任一點處的應變能密度，再計算全桿內(nèi)所積蓄的應變能受扭圓桿的任一點處于純剪切應力狀態(tài)設其左側(cè)面固定，則單元體在變形后右側(cè)面將向下移動當材料處于線彈性范圍內(nèi)，切應力與切應變成正比，且切應變值很小因此在變形過程中，上、下兩面上的外力將不作功只有右側(cè)面上的外力對相應的位移做功，其值為單元體內(nèi)所積蓄的應變能數(shù)值上等于于是可得單位體積內(nèi)的應變能即應變能密度為根據(jù)剪切胡克定律，上式可改寫為或求得受扭圓桿任一點處的應變能密

15、度后，全桿的應變能可由積分計算為桿的體積，為桿的橫截面積，為桿長若等直桿僅在兩端受外力偶矩作用，則任一橫截面的扭矩和極慣性矩均相同可得桿內(nèi)得應變能為以上應變能表達式也可利用外力功與應變能數(shù)值上相等的關系，直接從作用在桿端的外力偶矩在桿發(fā)生扭轉(zhuǎn)過程中所做的功算得7等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時的應力和變形對于非等直圓桿，在桿扭轉(zhuǎn)后橫截面不在保持為平面取一矩形截面桿，事先在其表面繪出橫截面的周線，則在桿扭轉(zhuǎn)后，這些周線變成了曲線從而可以推知，其橫截面在桿變形后將發(fā)生翹曲而不再保持平面對于此類問題，只能用彈性的理論方法求解等直非圓桿在扭轉(zhuǎn)時橫截面發(fā)生翹曲，但當?shù)戎睏U在兩端受外力偶作用，且端面可以自由翹曲時，稱

16、為純扭轉(zhuǎn)或自由扭轉(zhuǎn)這時，桿相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同，橫截面上仍然是只有切應力沒有正應力若桿的兩端受到約束而不能自由翹曲，稱為約束扭轉(zhuǎn)，則其相鄰兩橫截面的翹曲程度不同，將在橫截面上引起附加的正應力8開口和閉口薄壁截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的應力和變形8.1 開口薄壁截面桿薄壁截面的壁厚中線是一條不封閉的折線或曲線，責成開口薄壁截面如各種軋制型鋼（工字鋼、槽鋼、角鋼等）或工字形、槽形、T字型截面等8.2 閉口薄壁截面桿薄壁截面的壁厚中線是一條封閉的折線或曲線，這類截面稱為閉口薄壁截面討論這類桿件在自由扭轉(zhuǎn)時的應力和變形計算設一橫截面為任意形狀、變厚度的閉口薄壁截面等直桿在兩自由端承受一對扭轉(zhuǎn)外力偶作用

17、桿橫截面上的內(nèi)力為扭矩，因此其橫街滿上將只有切應力假設切應力沿壁厚無變化，且其方向與壁厚的中線相切在桿的壁厚遠小于其橫截面尺寸時，又假設引起的誤差在工程計算中是允許的取的桿段，用兩個與壁厚中線正交的縱截面從桿壁中取出小塊ABCD設橫截面上C和D兩點處的切應力分別為和，而壁厚分別為和根據(jù)切應力互等定理，在上、下兩縱截面上應分別有切應力和由平衡方程，可得由于所取的兩縱截面是任意的，上式表明橫截面沿其周邊任一點處的切應力與該點處的壁厚乘積為一常數(shù)沿壁厚中線取出長為的一段，在該段上的內(nèi)力元素為其方向與壁厚中線相切，其對橫截面內(nèi)任意一點O的矩為是從矩心O到內(nèi)力元素作用線的垂直距離由力矩合成原理可知，截面上扭矩應為沿壁厚中線全長的積分，即得為圖中陰影三角形面積2倍故其沿