畢業(yè)論文對稱性在簡化積分運算中的應(yīng)用

1、畢業(yè)設(shè)計（論文） 題 目：對稱性在簡化積分運算中的應(yīng)用學(xué)生姓名：學(xué) 號：所在學(xué)院：金融與數(shù)學(xué)學(xué)院專業(yè)班級：應(yīng)數(shù)1001班屆 別：指導(dǎo)教師：目 錄前言11.對稱性在定積分中的應(yīng)用21.1相關(guān)定理及其應(yīng)用22.對稱性在重積分計算中的應(yīng)用32.1對稱性在二重積分中的應(yīng)用32.2對稱性在三重積分計算中的應(yīng)用43.對稱性在曲線積分計算中的應(yīng)用53.1對稱性在第一類曲線積分中的應(yīng)用53.2 對稱性在第二類曲線積分計算中的應(yīng)用64.對稱性在曲面積分計算中的應(yīng)用94.1對稱性在第一類曲面積分計算中的應(yīng)用94.2 對稱性在第二類曲面積分運算中的應(yīng)用105.化積分區(qū)域為對稱區(qū)域的幾種方法11結(jié)束語12參考文獻:1

2、2對稱性在簡化積分運算中的應(yīng)用摘 要：在計算積分中，恰當(dāng)?shù)氖褂幂啌Q對成性和對稱性，以及奇偶性都可以簡化計算。本文主要結(jié)合實例闡述對稱性在化簡幾類積分計算中的妙用。具體總結(jié)平移變換和區(qū)域劃分方法來構(gòu)造對稱性。關(guān)鍵字：對稱性；奇偶性；定積分；曲線積分；曲面積分Symmetry In The Integral CalculationAbstract：In calculating of the calculus , proper use translatable symmetry、symmetry and parity can simplify the calculation . This paper

3、 mainly use example to elaborated symmetry in the simplify the calcalation .Specific summarize parallel moving transformation and divide the area to construct symmetry.Keywords:Symmetry; parity; definite integral;curve points; surface integrals前言微積分是高等數(shù)學(xué)中的難點和重點。在很多復(fù)雜的微積分證明和計算過程中，尤其是涉及多元微積分問題,常規(guī)的方法很難

4、解決，恰當(dāng)?shù)睦梅e分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性，可以大大簡化積分計算。積分計算中,有很多積分區(qū)域存在對稱性的問題.合理、恰當(dāng)?shù)睦闷渌哂械膶ΨQ性的性質(zhì)，則可以使其計算過程得到簡化,甚至有些問題直接可以判斷出其結(jié)果.當(dāng)積分形式不具有對稱性時，有時可以通過變換積分的區(qū)域形成對稱。本文具體總結(jié)平移變換和區(qū)域劃分等方法來構(gòu)造對稱性，從而達到簡化積分計算的效果。本文主要結(jié)合實例闡述對稱性在簡化定積分、二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分計算中的妙用。1.對稱性在定積分中的應(yīng)用1.1相關(guān)定理及其應(yīng)用 定理1.1【1】設(shè)在區(qū)間可積：（1） 若為奇函數(shù)，則；（2） 若為偶函數(shù)，則例1.1：計算積分其中

5、為偶函數(shù)，則令，則在定積分的計算中，當(dāng)積分區(qū)間為任意有限區(qū)間時，該積分區(qū)間一定關(guān)于直線對稱，由此我們可得以下出定理。 定理1.24 設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，則例1.2 計算定積分解： 令，則由定理1.2知以上是對稱性在定積分計算中的應(yīng)用，可以得出對稱性可以大大的簡化定積分的運算。2.對稱性在重積分計算中的應(yīng)用2.1對稱性在二重積分中的應(yīng)用相關(guān)定理及應(yīng)用35 若D關(guān)于x軸對稱，D1位于x軸上半部分，當(dāng)函數(shù)是關(guān)于y的奇函數(shù)，即時，；當(dāng)函數(shù)是關(guān)于y的偶函數(shù)，即時，5 若D關(guān)于y軸對稱，D2位于y軸右半部份，當(dāng)函數(shù)f(x,y)是關(guān)于x的奇函數(shù)，即時：；當(dāng)函數(shù)f(x,y)是關(guān)于x的偶函數(shù)，即時：。6

6、若區(qū)域D為關(guān)于原點對稱，其中D3為D中關(guān)于原點對稱的右側(cè)。 當(dāng)為奇函數(shù)即時，有 當(dāng)為偶函數(shù)即時，有推論1 設(shè)D是有界平面區(qū)域，函數(shù)在平面內(nèi)連續(xù)，且D關(guān)于x軸、y軸對稱，則 （1）若函數(shù)關(guān)于變量x、y都是偶函數(shù)，則， （2）若函數(shù)關(guān)于其中一個變量x或者變量y為奇函數(shù)，則為方便敘述，以下為輪換對稱性的定理和定義：7 設(shè)函數(shù)在xoy平面上的有界區(qū)域D上連續(xù)，且D關(guān)于x,y存在輪換對稱性，則7 設(shè)D為一有界可度量平面區(qū)域（或光滑平面曲線段），若，則稱區(qū)域D（或光滑平面曲線段）關(guān)于x,y具有輪換對稱性。例2.1.2 設(shè)區(qū)域D由x=0,y=0,x+y=1圍城，求解 由題意得，變量x,y互換，積分區(qū)域區(qū)域D

7、不變則所以2.2對稱性在三重積分計算中的應(yīng)用 三重積分應(yīng)用對稱性定理如下：8 設(shè)函數(shù)是定義在空間有界閉區(qū)間區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，且關(guān)于坐標(biāo)平面對稱，則 （1） 若是關(guān)于變量的奇函數(shù)，則；（2） 若是關(guān)于變量的偶函數(shù)，則。其中是的前半部分，同理可寫出關(guān)于坐標(biāo)平面對稱時的情形相似于二重積分，得出結(jié)論定理2.2.2 設(shè)函數(shù)為定義在空間有界區(qū)域的連續(xù)函數(shù)，且關(guān)于原點對稱，則（1） 若，則（2） 若，則 ，類似于二重積分，為方便敘述，三重積分輪換對稱性的定理與定義如下：7 設(shè)函數(shù)f（x,y,z)是定義在空間有界區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，且關(guān)于變量x,y,z具有輪換對稱性，則7 設(shè)是一個有界可度量的集合體（可為空間區(qū)

8、域、空間曲線或曲面塊），且它的邊界光滑，若，則稱關(guān)于變量具有輪換對稱性。例2.2.2計算三重積分，解：有題意知，關(guān)于為奇函數(shù)，由上述定理知3.對稱性在曲線積分計算中的應(yīng)用3.1對稱性在第一類曲線積分中的應(yīng)用平面上第一類曲線積分的對稱性定理：10 設(shè)平滑分段光滑曲線關(guān)于軸（或軸）對稱，且在上有定義、可積，則（1） 若為關(guān)于（或）的奇函數(shù)，則；（2） 若為關(guān)于（或）的偶函數(shù)，則，例3.1.1 設(shè)L是圓周，求解12 解：，因為關(guān)于軸、軸對稱，且關(guān)于變量和是偶函數(shù)，由上述推論可得為位于第一象限的部分。又因為故當(dāng)曲線關(guān)于原點對稱時，相關(guān)定理如下：11 設(shè)平面分段光滑曲線關(guān)于原點對稱，且在L上有定義、可積

9、，則（1） 若是的上半平面或右半平面部分。曲線的輪換對稱性定理如下:定理3.1.3 設(shè)平面分段光滑曲線關(guān)于存在輪換對稱性，在上有定義且可積，則3.2 對稱性在第二類曲線積分計算中的應(yīng)用由第二類曲線積分的物理背景為變力做功可知，它與曲線的方向相關(guān)，與上述積分對稱性的幾種結(jié)論不同，與第二類曲線積分相關(guān)結(jié)論如下。12 設(shè)為平面上分段光滑的定向曲線，為定義在上的連續(xù)函數(shù)；（1） 當(dāng)關(guān)于軸對稱時：若是關(guān)于的偶函數(shù)，則； 若是關(guān)于的奇函數(shù)，則若是關(guān)于的偶函數(shù)，則； 若是關(guān)于的奇函數(shù)，則（2） 當(dāng)關(guān)于軸對稱時：若是關(guān)于的偶函數(shù)，則； 若是關(guān)于的奇函數(shù)，則若是關(guān)于的偶函數(shù)，則； 若是關(guān)于的奇函數(shù)，則。（3）當(dāng)

10、關(guān)于原點對稱時：若，關(guān)于為偶函數(shù)，則若，關(guān)于為奇函數(shù)，則，是的上半或右半平面部分。（1） （3）證明如下，（2）證明方法類似于（1），此處不做重復(fù)。證明 （1）若關(guān)于軸對稱，設(shè)，且令,則若為的偶函數(shù)，則若為的奇函數(shù)，則L1為L在x軸上方部分。若Q(x,y)為y的奇函數(shù)，則若Q(x,y)為y的偶函數(shù)，則L1為L在x軸上方部分。（3） 若關(guān)于原點對稱時，令,分別為關(guān)于原點對稱的兩部分之一，則， 令的參數(shù)方程為，則的參數(shù)方程為，；則如果P(x,y),Q(x,y)關(guān)于（x,y)是偶函數(shù)，則，得到；如果P(x,y),Q(x,y)關(guān)于（x,y)是奇函數(shù)，則，得到。L1是L的右半或上半平面部分。綜上所述，定

11、理得證。例 3.2.1 求解第二類曲線積分，L是橢圓沿順時針方向。解 因為于原點對稱，已知，都是的偶函數(shù)，由上述定理知相應(yīng)輪換對稱性定理如下12 設(shè)是平面上分段光滑的定向曲線，是定義在上的連續(xù)函數(shù)。若曲線關(guān)于具有輪換對稱性，則例 3.2.2 求解第二類曲線積分，沿逆時針方向。解 ，已知關(guān)于軸對稱,關(guān)于為偶函數(shù)由上述定理易知，有題意知關(guān)于存在輪換對稱性，由上述定理已知，則4.對稱性在曲面積分計算中的應(yīng)用4.1對稱性在第一類曲面積分中的應(yīng)用在第一類曲面積分中，與上述類似，可以利用積分區(qū)域的對稱性（關(guān)于坐標(biāo)面對稱、原點對稱、輪換對稱）以及被積函數(shù)奇偶性，簡化計算第一類曲面積分，相關(guān)定理如下。13 設(shè)

12、分塊光滑曲面關(guān)于坐標(biāo)面對稱，且在上有定義、可積，則(1) 若是關(guān)于的奇函數(shù)，則，(2) 若是關(guān)于的偶函數(shù)， 則 其中同理得出曲面關(guān)于坐標(biāo)面對稱的相應(yīng)結(jié)論。例4.1.1 求解第一類曲面積分，是球面上部分解 因為曲面關(guān)于坐標(biāo)面對稱，且是關(guān)于的奇函數(shù)，由上定理知因為曲面關(guān)于坐標(biāo)面對稱，且是關(guān)于的奇函數(shù)，由上定理知又因為，則第一類曲面積分輪換對稱性的定理如下12 設(shè)分片光滑曲面關(guān)于存在輪換對稱性，并且在上有定義且可積，即例4.1.2 求第一類曲面積分，為。解 由題意知 關(guān)于有輪換對稱性，則則4.2 對稱性在第二類曲面積分運算中的應(yīng)用第二類曲面積分類似于第二類曲線積分，根據(jù)其定義及物理背景，推導(dǎo)出對稱性

13、在第二類曲面積分中的結(jié)論。14 設(shè)積分曲面光滑或分段光滑，且，曲面和的法線方向相反，若曲面、關(guān)于平面對稱，則（1） 若，則；（2） 若,則，為的的部分。輪換對稱性定理在第二類曲面積分中如下：13 設(shè)積分曲面光滑或分段光滑，函數(shù)在曲面上有定義和可積，若積分曲面關(guān)于有輪換對稱性，則小結(jié)：通過上述相關(guān)定理、定義的陳述和證明，我們可以把與積分相關(guān)的對稱性統(tǒng)一成一個形式?，F(xiàn)將被積函數(shù)用表示，積分區(qū)域記為，在區(qū)域上在的積分記為，相關(guān)定理如下。定理15 設(shè)是定義為上的連續(xù)函數(shù)，且具有某種對稱性，記的對稱點為，則（1） 若；（2） 若；為的一半。（3） 。（注：上述定理在第二類曲線積分、第二類曲面積分領(lǐng)域中無

14、效）5.化積分區(qū)域為對稱區(qū)域的幾種方法以下是當(dāng)積分區(qū)域不具有對稱性時，可以用下面方法轉(zhuǎn)化為具有對稱性的區(qū)域。方法一 重新劃分區(qū)域，構(gòu)造對稱性當(dāng)積分區(qū)域不對稱時，可以將積分局域重新進行分割劃分，使得每個小區(qū)域都具有對稱性，從而在劃分的每個小區(qū)域使用上述的方法進行運算求和。例5.1 計算，其中D是由y=2x,y=-2,x=1圍城的平面區(qū)域。解： 為使用對稱性簡化計算，對整個區(qū)域D重新劃分為和,是上方的部分，是直線下方的部分，易知關(guān)于軸對稱，關(guān)于軸對稱，關(guān)于和為奇函數(shù)。則方法二平移變換構(gòu)造對稱性當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于某條坐標(biāo)軸平行時，可以通過平移坐標(biāo)軸或積分區(qū)域，使得積分區(qū)域變?yōu)閷ΨQ性區(qū)域，可以使得計算簡化

15、。例5.2 求解，其中D：解：已知積分區(qū)域不存在對稱性，平移變換，的方程變?yōu)?，則，關(guān)于軸對稱，是關(guān)于的奇函數(shù)，由定理2.1.1得，結(jié)束語 求解積分過程中，可以通過使用輪換對稱性、被積函數(shù)的奇偶性、積分區(qū)域的對稱性來簡化問題。在應(yīng)用對稱性簡化積分計算時，被積表達式必須同時滿足被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個方面的條件。本文總結(jié)了幾類積分領(lǐng)域的的對稱性定理，以及在這幾個方面的應(yīng)用形式。對于不能直接運用對稱性簡化積分運算的，也介紹了幾種將非對稱性變換為對稱性求解的方法。參考文獻:1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編。數(shù)學(xué)分析上冊M 北京：高等教育出版社。19912 程希旺 對稱心在曲面積分和曲線積分計算中的應(yīng)用J 200

16、7(10）3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編。數(shù)學(xué)分析下冊M 北京：高等教育出版社。19914華東六省工科數(shù)學(xué)系列編委會 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書M 沈陽科學(xué)技術(shù)出版社 19915孫欽福 二重積分的對稱性定理及應(yīng)用 曲阜師范大學(xué)學(xué)報J 2008:29:9-106孫仁華 二重積分計算中的若干技巧J 湖南冶煉職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報 2008:8（2）：102-1047陳云新 輪換對稱性在積分中的應(yīng)用J 高等數(shù)學(xué)研究 2001（4）：29-318王憲杰 對稱區(qū)域上二重積分和三重積分的計算J 牡丹江師范學(xué)院學(xué)報 2007（4）：65-669梁應(yīng)仙等 對稱性在三重積分計算中的應(yīng)用J 沈陽大學(xué)學(xué)報 2003.15（4）100-10110劉渭川 利用對稱性計算曲線積分與曲面積分J 河南科學(xué) 2006.24（6）：810-81211王慧等 對稱性在兩類積分曲線積分中的應(yīng)用J 淮北師范大學(xué)學(xué)報 2011.（32）：412劉富貴等 利用對稱性計算第二類曲線積分與曲面積分的方法J 武漢理工大學(xué)學(xué)報 2006.30（6）13張霞 關(guān)于曲面積分對稱性的研究J 安慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科