楊氏彈性模量的測定

1、實(shí)驗(yàn)七 楊氏彈性模量的測定測量材料楊氏模量的方法很多，諸如拉伸法、壓入法、彎曲法和碰撞法等。拉伸法是最常用的方法之一。但該方法使用的載荷較大，加載速度慢，且會產(chǎn)生馳豫現(xiàn)象，影響測量結(jié)果的精確度。另外，此法還不適用于脆性材料的測量。本實(shí)驗(yàn)借助于新穎的動態(tài)楊氏模量測量儀用振動法測量材料的楊氏模量。該方法可彌補(bǔ)其不足，同時還可擴(kuò)大學(xué)生在物體機(jī)械振動方面的知識面，不失為一種非常有用和很有特點(diǎn)的測量方法?！緦?shí)驗(yàn)?zāi)康摹?了解振動法測量材料楊氏模量的原理；2學(xué)會用作圖外推求值法測量振動體基頻共振頻率和楊氏模量；3. 測量試件機(jī)械振動的本征值4觀察鋁平板的振型；5通過實(shí)驗(yàn),逐步提高綜合運(yùn)用各種測量儀器的能力。

2、【實(shí)驗(yàn)儀器】DY-D99型多用途動態(tài)楊氏模量測量儀、YXY-3D型音頻信號源、示波器（Y軸靈敏度5-10mV)、毫米刻度鋼皮尺(250mm長)、0.02mm精度游標(biāo)卡尺、物理天平（精度0.05克）。DY-D99型多功能動態(tài)楊氏模量測量儀簡介圖3 DY-D99型多功能動態(tài)楊氏模量測量儀1電動式激振器、6電動式拾振器、2試件（圓棒）、17試件（金屬鋁板）、3、5刀口、26導(dǎo)軌標(biāo)尺、9標(biāo)尺支架、25試件壓板、24壓板固定螺釘、10接線箱、11試件選擇旋鈕、12輸入接口、13輸出接口、22聲整流罩、19發(fā)聲元件、18小導(dǎo)軌、20聲激振器固定螺釘、14-16水平調(diào)節(jié)螺釘、4刻度指示板、8備用試件安放支架

3、、7試件限位裝置、23底板該儀器如圖3所示。它由棒材試件楊氏模量定量測量裝置和板材試件振型演示觀察裝置兩部分組成。兩部分用接線箱連接和轉(zhuǎn)換。前一裝置包含兩個換能器（電動式換能器）、導(dǎo)軌標(biāo)尺及其支架。其中一個電動式換能器用作激振器，在音頻信號發(fā)生器輸出的音頻正弦信號電壓的作用下，作機(jī)械振動，進(jìn)而激勵試件作機(jī)械振動。另一個電動式換能器當(dāng)作拾振器，將由試件傳遞過來的機(jī)械振動信號轉(zhuǎn)變?yōu)殡娦盘枺⑤數(shù)绞静ㄆ饔^察波形。當(dāng)音頻信號發(fā)生器的信號頻率調(diào)到與試件的固有頻率相同時，試件產(chǎn)生共振，示波器顯示的波形幅度達(dá)到最大。兩個換能器的作用可互換。它們各自設(shè)有一個刀口，可擱置棒材試件。標(biāo)尺用于指示換能器或刀口在試件

4、上的位置。矩形金屬板試件和帶有聲整流罩的聲激振器是振動體振型演示觀察裝置的基本組成部分。聲激振器在音頻信號電壓的作用下，通過聲壓，激勵板材試件振動。當(dāng)音頻信號發(fā)生器的信號電壓頻率達(dá)到板材試件的某一階諧振頻率時，則均勻撒在板表面的沙粒形成一個相應(yīng)的振型圖案?！緦?shí)驗(yàn)原理】一、 振動法測楊氏模量的物理基礎(chǔ)振動法測楊氏模量是以自由梁的振動分析理論為基礎(chǔ)的。兩端自由梁振動規(guī)律的描述要解決兩個基本問題：即固有頻率和固有振型函數(shù)。本實(shí)驗(yàn)只討論前一個問題，然后以此為基礎(chǔ)，導(dǎo)出楊氏模量的計算公式。當(dāng)圖1所示的均質(zhì)等截面兩端自由梁作橫向振動時，其振動方程為 (1)其中為楊氏模量，為慣性矩，m0為單位長度質(zhì)量。圖1

5、 兩端自由梁的基頻振動方程（1）可用分離變量法求解。令 (2)代入方程（1），并經(jīng)整理得 （3）由于上式中的、和、既非的函數(shù)，亦非的函數(shù)，而是等于一個常數(shù)（稱為分離常數(shù)），即 （4）于是由上式可得到兩個獨(dú)立的常微分方程： （5） (6)這兩個線性常微分方程的解分別為 （7） （8）兩端自由梁彎曲振動方程的通解為 (9)對于兩端自由梁，如果擱置試件的兩個刀口處在試件的節(jié)點(diǎn)附近，則邊界條件為：兩自由端的橫向作用力-,兩自由端的彎矩,即： （10）將通解代入上式表示的邊界條件，則得： （11a）（11b）由前兩式可得代入后兩式得： （12）的非零解的條件是判別行列式等于零： （13）由上式可解得兩端

6、自由梁的頻率方程為 （14）用數(shù)值解法可求得上式的第一階振型的根為： （15）由此可得兩端自由梁的一階固有圓頻率(又稱基頻頻率)為 （16）式中=22.38稱為自由梁的第一階振型系數(shù)。對于不同階的振型，有不同的值。第一階振型圖如圖1所示。由圖可見，在這一狀態(tài)下，試件有兩個節(jié)點(diǎn)，它們分別在離試件端面的0。224和0。776處。 根據(jù)上式,可得楊氏模量的計算公式： (17)對于等圓截面試件，應(yīng)有 以及 ,考慮到上述諸因數(shù)后，(17)式變?yōu)?(18)這就是振動法測楊氏模量的計算公式。式中的l,d和m分別圓截截面試件的長度、直徑和質(zhì)量，f為試件的振動頻率?！緶y量方法】 振動法測量楊氏模量的實(shí)驗(yàn)裝置如圖

7、2所示。圓截面試件擱在兩個距離可調(diào)的刀口上。刀口之間的距離大致為試件兩個節(jié)點(diǎn)之間的距離。將低頻信號發(fā)生器輸出的等幅電信號加到與試件相接觸的壓電晶體激振器上，使電信號變?yōu)閴弘娋w激振器的機(jī)械振動，通過激振器刀口傳到試件上，激勵試件作受迫振動。在兩端自由梁的另一位置設(shè)置了一個壓電晶體拾振器，它可把試件的機(jī)械振動轉(zhuǎn)變?yōu)殡娦盘?。該信號?jīng)放大后，傳輸?shù)绞静ㄆ骱蛿?shù)字電壓表，用以顯示振動波形和振動信號的大小。壓電晶體激振器1輸入電信號的頻率可在低頻信號發(fā)生器的數(shù)字頻率表上讀出。圖2 振動法測楊氏模量的實(shí)驗(yàn)裝置試件的共振狀態(tài)是通過調(diào)節(jié)壓電晶體激振器輸入電壓信號的頻率來實(shí)現(xiàn)的。當(dāng)?shù)皖l信號發(fā)生器的輸出信號頻率尚無

8、調(diào)到試件的固有頻率時，試件不發(fā)生共振，示波器上幾乎看不到電信號波形或波形幅度很小，數(shù)字電壓表上幾乎沒有電壓顯示或顯示數(shù)值很小。當(dāng)?shù)皖l信號發(fā)生器的輸出信號頻率調(diào)到等于試件的固有頻率時，試件發(fā)生共振。在這種狀態(tài)下，示波器顯示的振動波形幅度驟然增大，數(shù)字電壓表顯示值也突然上升到極值狀態(tài)，這時低頻信號發(fā)生器頻率計上顯示的頻率就是試件在該條件下的共振頻率fr。實(shí)際上，物體的固有頻率f I和物體的共振頻率fr并不相同。兩者之間的關(guān)系為 （19）式中為試件的機(jī)械品質(zhì)因數(shù)。在本實(shí)驗(yàn)中故 （20）在測出試件的相關(guān)尺寸m,l,d和固有頻率fI后，便可用公式（18）計算出試件的楊氏模量E。【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟】（一）練

9、習(xí)測量試件的固有頻率1 按圖2連接電路。經(jīng)教師檢查無誤后，再進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。2 測量前的準(zhǔn)備工作 （a）將動態(tài)楊氏模量測量儀上的“試件選擇旋鈕”撥到“棒”； （b）將示波器各相關(guān)旋鈕置于顯示波形所需要的的位置上； （c）音頻信號發(fā)生器頻率范圍置于200-2KHz檔,輸出信號置于電壓擋，衰減 旋鈕置于零； （d）將黃銅棒置于電動式激振器和電動式拾振器的刀口上，兩個刀口之間的距離大致 調(diào)到試件作基頻諧振動時兩個節(jié)點(diǎn)之間的距離上。兩刀口應(yīng)調(diào)到等高。3 測量試件的固有頻率fI（1） 調(diào)節(jié)音頻信號發(fā)生器的輸出電壓調(diào)到較大水平。（2） 用“頻率粗調(diào)旋鈕”，仔細(xì)調(diào)節(jié)音頻信號發(fā)生器輸出信號的頻率,使示波器顯示的振動

10、波形幅度突然增大。這時信號頻率接近試件的固有頻率。（3） 減小音頻信號發(fā)生器的輸出電壓，使示波器顯示較好的正弦波形。利用音頻信號發(fā)生器的頻率微調(diào)旋鈕，細(xì)調(diào)音頻信號發(fā)生器的輸出信號頻率，使示波器顯示的波形繼續(xù)增大，并達(dá)到最大狀態(tài)。如此反復(fù)，直到示波器上顯示幅度最大波形最好的正弦波形。（4） 記下此時音頻信號發(fā)生器頻率表上顯示的頻率，即為黃銅棒的固有頻率fI。（二）用作圖外推求值法測楊氏模量(1) 計算試件黃銅棒的兩個節(jié)點(diǎn)位置（0.224和0.776），把激振器和拾振器的刀口擱到試件的兩個節(jié)點(diǎn)處，將此時激振器和拾振器標(biāo)尺指示板所指示的標(biāo)尺位置（最好調(diào)到整數(shù)）作為坐標(biāo)原點(diǎn)O。并設(shè)兩個坐標(biāo)：左坐標(biāo)（3

11、0，20，10，0。-10，-20，-30）和右坐標(biāo)（-30，-20，-10，0，10，20，30）（2）將激振器和拾振器的刀口分別移到左右坐標(biāo)的30、20、10、-10、-20、-30處，按上述方法調(diào)出相應(yīng)的諧振頻率f。（3）以刀口位置x為橫坐標(biāo)，共振頻率f為縱坐標(biāo)，作f-x圖線。求出圖線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，即為基頻諧振頻率fr。 （4）用相應(yīng)的量具測出試件的l,d,m（5） 按（18）式計算出試件黃銅棒的楊氏模量E。（三）測量試件諧振動的本征值（1）按上述測量方法分別測出五種不同金屬材料圓棒的共振頻率fr1、fr2、fr3、fr4、fr5（2）以mfr2為橫坐標(biāo)，E為縱坐標(biāo)，作E - mf

12、r2圖線。從圖線的斜率求出本征值K。（3）將K的實(shí)驗(yàn)值與理論值作比較。并根據(jù)K的實(shí)驗(yàn)值判斷所測振型是否為基頻共振頻率和基頻振型？（四）觀察鋁平板的振型（1）將楊氏模量測量儀上的“試件選擇旋鈕”撥到“板”。（2）將聲激振器的激振頭調(diào)到試件的非節(jié)線位置（不同的振型，激振頭的位置不同），并將激振器的激振頭與試件之間的距離調(diào)到最?。ǖ灰佑|）。（3）在鋁平板表面均勻撒上小米做的細(xì)沙粒。（4）把音頻信號發(fā)生器的輸出電壓調(diào)到較大水平。（6） 調(diào)節(jié)音頻信號發(fā)生器輸出信號的頻率（先粗調(diào)，后細(xì)調(diào)頻率旋鈕），觀察板面上沙粒的移動情況。繼續(xù)細(xì)調(diào)頻率旋鈕，使試件板面上出現(xiàn)“T”字形沙型，則試件出現(xiàn)“一彎一扭”振型。注意