任意角和弧度制教學設(shè)計說明

1、教學設(shè)計§ 1.1任意角和弧度制設(shè)計教師生一、容及其解析（一）容：任意角，弧度制（二）解析：本節(jié)容是必修4第一章三角函數(shù)的第一節(jié)，本章在銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上， 利用單位圓進一步研究任意角的三角函數(shù)，并用集合與對應(yīng)的語言來刻畫。這樣，在研究三 角函數(shù)之前，就由必要先將角的概念推廣，并引入弧度制，從而建立角的集合與實數(shù)集之間 的對應(yīng)關(guān)系。利用集合直觀有利于抽象概念的理解，教科書充分結(jié)合角和單位圓來引導(dǎo)學生了解任意角及弧度制概 念，同時，還利用直角坐標系建立象限角的概念，使得任意角的討論有了一個統(tǒng)一的載體，教學中，要特 別注意利用單位圓，直角坐標系等工具，引導(dǎo)學生用數(shù)形結(jié)合的思想方法來認識

2、問題?；《戎剖沁x自人民教育，普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學版必修4,第一章，第一小節(jié)第二課時容，通過本節(jié)課的學習，學生將掌握角度的的另一種度量方式，為以后三角函數(shù)的引入做準備，因此本節(jié) 概念課起著承上啟下的作用。二、目標及其解析1 .結(jié)合實例體驗角的概念推廣的必要性；從運動的觀點出發(fā)，進行角的概念推廣，理解 并掌握正角、負角、零角的定義；2 .能用集合和數(shù)學符號表示終邊相同的角，即掌握所有與a角終邊相同的角（包括a角）的表示方法；3 .能建立適當?shù)淖鴺讼祦碛懻撊我饨?，理解象限角、坐標軸上的角的概念，并能用集合 和數(shù)學符號表示；4 .在角的概念的推廣的過程中，樹立運動變化觀點，學會運用運動變化的

3、觀點認識事物；5 .通過正角、負角、零角與正數(shù)、負數(shù)、零的類比，培養(yǎng)學生的類比思維能力；6 .通過畫圖和判斷角的象限，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法；7 .理解1弧度的角、弧度制的定義.能進行角度與弧度的換算.8 .掌握用弧度制表示的弧長公式、扇形面積公式.培養(yǎng)運用弧度制解決具體的問題的意 識和能力三、問題診斷分析1 .學生在理解終邊相同的角的表示方法上，會出現(xiàn)障礙，其原因是：剛剛將角的概念推廣， 還不是很適應(yīng)終邊相同的角的“周而復(fù)始”這個現(xiàn)象的本質(zhì)；2 .學生在學習了教材例1后，做P6第4題，仍然感到困難，其原因是：當角為負角時，在 003600圍找出終邊相同的角，不知怎樣計算，教學時應(yīng)給學生介

4、紹計算方法；3 .學生在學習了象限角的概念后，怎樣用集合和數(shù)學符號語言正確地表示象限角（如：第一 象限角），會出現(xiàn)障礙，其原因是：對第一象限角是有無數(shù)個區(qū)間構(gòu)成，它們的終邊是“周 而復(fù)始”的現(xiàn)象的刻畫還不了解，教師要進一步的解釋 k 3600的運用特點。4 .本班級學生數(shù)學基礎(chǔ)中等，學生平時學習需要在老師引導(dǎo)下才能較好的吸收新的知識5 .學生在學習本課以前，已經(jīng)學習了角度的一種度量方式算，對角度有一定的認識四、教學支持條件分析?借助信息技術(shù)工具（如：幾何畫板），制作課件。【可參考人民教育配套教師用書 后的光盤中數(shù)學4的資源】1.角的推廣在角的旋轉(zhuǎn)量、旋轉(zhuǎn)方向上給學生以動態(tài)的體會；2.動態(tài)的表現(xiàn)

5、角的終邊旋轉(zhuǎn)過程，有利于學生觀察到角的變化與終邊的位置關(guān)系，從特 殊到一般，讓學生發(fā)現(xiàn)并驗證終邊相同的角的表示方法。五、教學過程設(shè)計（一）教學基本流程少給（二）教學情景1 .問題引入問題1:思考：你的手表慢了 5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表快了1.25小時,你應(yīng)當如何將它校準？當時間校準以后，分針轉(zhuǎn)了多少度？ 設(shè)計意圖：提出問題，引發(fā)學生的認識沖突，說明角的概念擴展的必要性師生活動：引導(dǎo)學生分析:(學生：針對上述問題，組織學生進行討論。學生容易回答前面一個問題，但在回答后面一個問題是會發(fā)現(xiàn)問題，從而引起認知沖突。教師：取出一個鐘表，實際操作我們發(fā)現(xiàn)，校正過程中分針需要順時針或逆時針旋

6、轉(zhuǎn)，有 時轉(zhuǎn)不到一周，有時轉(zhuǎn)一周以上，這就是說角已不僅僅局限于003600之間，這正是我們這 節(jié)課要研究的主要容任意角.2 .探究新知，建立概念(1)任意角概念的引入問題2:過去我們是如何定義一個角的？角的圍是什么？ 設(shè)計意圖：回顧已有知識師生活動：教師：提出問題學生：回答問題問題3:你能舉出不在的角的實例，并加以說明嗎設(shè)計意圖：結(jié)合具體的實例，感受角的概念推廣的必要性 師生活動：教師：展示課件角可以看成平面一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位 置所成的圖形.學生：舉例，再說明所舉例的角為什么不在003600教師：提供教材中的幾個例子。(2)概念講解1 .角的概念的推廣：(1)定義：一條射

7、線OA由原來白位置OA繞著它的端點O按一定方向旋轉(zhuǎn)到另一位置 OB就 形成了角a。其中射線OA叫角a的始邊，射線OB叫角a的終邊，。叫角a的頂點。2 .正角、負角、零角概念師：為了區(qū)別起見，我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，如圖 2 中的角為正角，它等于300 與 7500；我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角 ，那么同學們猜猜看，負角怎么規(guī)定呢？零角呢？生：按 順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角 ， 如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角 。師：如圖3,以O(shè)A»始邊的角a =-1500, B=-6600。特別地，當一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，我們也認為這是形成了一個角

8、，并把這個角稱為零角。師：好，角的概念經(jīng)過這樣的推廣之后，就應(yīng)該包括正角、負角、零角。這里還有一點要說明：為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角a”或“/a”可簡記為a .3 . 象限角師：在今后的學習中，我們常在直角坐標系討論角，為此我們必須了解象限角這個概念。同學們已經(jīng)經(jīng)過預(yù)習，請一位同學回答什么叫：象限角？生：角的頂點與原點重合，角的始邊與x 軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。師：很好，從剛才這位同學的回答可以知道，她已經(jīng)基本理解了“象限角”的概念了。下面請大家將書上象限角的定義劃好，同時思考這么三個問題：1. 定義中說：角的始邊與x

9、軸的非負半軸重合，如果改為與x 軸的正半軸重合行不行，為什么？2. 定義中有個小括號，容是：除端點外，請問課本為什么要加這四個字？3. 是不是任意角都可以歸結(jié)為是象限角，為什么？處理：學生思考片刻后回答，教師適時予以糾正。答： 1. 不行，始邊包括端點（原點） ；2 端點在原點上；3不是，一些特殊角終邊可能落在坐標軸上；如果角的終邊落在坐標軸上，就認為這個角不屬于任一象限。師：同學們一定要學會看數(shù)學書，特別是一些重要的概念、定理、性質(zhì)要斟字酌句，每個字都要弄清楚，這樣的預(yù)習才是有效果的。師生討論：好，按照象限角定義，圖中的300， 3900， -3300角，都是第一象限角；3000， -600

10、角，都是第四象限角；5850 角是第三象限角。師：很好，不過老師還有幾事不明，要請教大家： （ 1）銳角是第一象限角嗎？第一象限角是銳角嗎？為什么？生：銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；師：（2）銳角就是小于900 的角嗎？生：小于900 的角可能是零角或負角，故它不一定是銳角；師：（3）銳角就是00900的角嗎？生：銳角： 9 |0 0< 9 <900 ; 00900 的角： 9 |0 0< 9 <900.4. 終邊相同的角的表示法師：觀察下列角你有什么發(fā)現(xiàn)? 390330 3014701770生 : 終邊重合 .師 : 請同學們思考為什么？能否再舉三個與30

11、0 角同終邊的角？生：圖中發(fā)現(xiàn)3900， -3300與 300相差3600的整數(shù)倍，例如，3900=3600+300， -3300=-3600+300；與 300角同終邊的角還有7500， -6900等。師：好！這位同學發(fā)現(xiàn)了兩個同終邊角的特征，即：終邊相同的角相差3600 的整數(shù)倍。例如：7500=2X 3600+300; -6900=-2 X 3600+300。那么除了這些角之外，與 300角終邊相同的角還有：3X3600+300-3 X 3600+3004X3600+300-4 X3600+300由此，我們可以用S=B p =kx 3600+300, kCZ來表示所有與300角終邊相同的

12、角的集合。師：那好，對于任意一個角a,與它終邊相同的角的集合應(yīng)如何表示？生：S=B B=a+kX360°, kCZ,即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù) 個周角的和。3. 鞏固新知，歸納關(guān)系問題4：已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊落在x 軸的非負半軸上，作出 下列各角，并指出它們是哪個象限的角？（ 1） 4200；（2） -750；（3） 8550；（4） -510 0.答： （ 1）第一象限角； （ 2）第四象限角；（ 3）第二象限角；（ 4）第三象限角設(shè)計意圖 ： 通過練習，掌握象限角的判斷、終邊相同的角的表示方法。師生活動 ： 學生：回答，討論交流，補充教師：歸納

13、總結(jié)，突出重點知 , 解決學生的疑惑點。4. 例題講評例1設(shè)E 小于90o的角 F 銳角, G=第一象限的角,那么有（D ）.ABC （ ） D例 2 用集合表示：（ 1）各象限的角組成的集合（ 2）終邊落在軸右側(cè)的角的集合解：（1）第一象限角：小360 0 71V a<k360°+90°,k C Z第二象限角：小360 °+90°v a< k360°+180°,k 6 Z第三象限角：小360 °+180°v a< k360°+270°,k 6 Z第四象限角： a |k360

14、°+27C°< a < k360°+360° ,k Z（2）在中，軸右側(cè)的角可記為，同樣把該圍“旋轉(zhuǎn)”后，得，故軸右側(cè)角的集合為說明：一個角按順、逆時針旋轉(zhuǎn)（ ）后與原來角終邊重合，同樣一個“區(qū)間”的角，按順逆時針旋轉(zhuǎn) （ ）角后，所得“區(qū)間”仍與原區(qū)間重疊例3.寫出終邊直線在y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-3600W a 07200的元素B寫出來 .設(shè)計意圖 ： 通過例題，進一步理解任意角、象限角和終邊相同的角。師生活動 ： 教師：分析、板書例 1學生：自學例 2教師：指出這兩個集合求并集的關(guān)鍵是把2700 改寫成 900+180

15、0 ，然后重新組合。師生：共同完成例 3 ，注意 k 的正確取值是關(guān)鍵。教師：歸納總結(jié)，突出重點知 , 解決學生的疑惑點。問題 5： 度量角的制度是什么？ 1 度的角是怎么定義的？還有其它的度量角的制度嗎？設(shè)計意圖： 引導(dǎo)學生進入弧度制的研究 .師生活動： 教師問 ：度量角的制度是什么？學生答：角度制教師問 ： 1 度的角是怎么定義的？能夠準確回答這個問題的學生很少，通過教師的適當引導(dǎo)，學生有些恍然大悟。教師問 ：還有其它的度量角的制度嗎？學生這時已經(jīng)有些活躍起來，他們也急于了解這個課題。問題 6： 在圓心角一定的情況下，圓心角所對的圓弧長與所在圓的半徑的比值是定值嗎？設(shè)計意圖：為了使得弧度制

16、的層層深入學習，我還是把問題一個個呈現(xiàn)出來，讓學生逐步認識弧度制。師生活動：教師問：在不同半徑的圓中，如果圓心角的大小相等，那么它們所對的圓弧長與所在圓的半徑之比是否相等？學生共同探究，發(fā)現(xiàn)問題，并共同解決問題。教師總結(jié) ： 在圓心角一定的情況下， 圓心角所對的圓弧長與所在圓的半徑的比值是定值。教師對于問題的總結(jié)要使得學生意識到：學習不能只是停留在簡單的解決問題中要善于深入挖掘問題，對于問題的認識更加深刻。教師問 ：既然圓心角所對的圓弧長與所在圓的半徑的比值是定值，那么可以用這個比值來衡量角的大小嗎？問題呈現(xiàn)到這個時候，大部分學生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：可以用這個比值衡量角的大小。教師問 ： 如何規(guī)定這個新

17、制度下的“ 1”這個單位呢？問題的層層推進， 思維活躍的同學已經(jīng)禁不住回答這個問題：比值為 1 的情況下，可以規(guī)定為“ 1”這個單位。教師總結(jié) ：給出 1 弧度和弧度制的嚴格定義。這時，學生已經(jīng)意識到：弧度制產(chǎn)生的本源以及弧度制度量角的合理性。5. 新知應(yīng)用與深化提出課題：弧度制另一種度量角的單位制它的單位是rad 讀作弧度長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為 的角。圖：AOB=1rad定義：1弧度如AOC=2rad周角=2 rad師生共同完成教材第6頁表格，然后共同歸納總結(jié)：1 .正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度數(shù)是02 .角 的弧度數(shù)的絕對值-（1為弧長，r為半徑）r3 .

18、用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0）用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同。角度制與弧度制的換算抓?。?60 =2 rad .180= rad1 =rad 0.01745rad1801rad 18057.3057 18'6.例題講解：例1把67 30化成弧度113解：67 3067-67 30' rad 67 一 rad218028例2把3 rad化成度5行 33解：rad 18010855設(shè)計意圖：讓學生初步學會角度制和弧度制相互轉(zhuǎn)化 師生互動：1、學生說，教師板書，帶領(lǐng)學生思考問題，充分調(diào)動學生積極性2、常用角的角度制和弧度制的換算角度

19、30045°60090°120°135°150°180°210°弧度角度225240°270°300°315°330°360°弧度3、注意幾點：a.度數(shù)與弧度數(shù)的換算也可借助“計算器”中學數(shù)學用表進行；b .今后在具體運算時，“弧度”二字和單位符號“ rad”可以省略 如：3表 示 3rad sin 表示 rad角的正弦c.應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后， 無論用角度制還是弧度制都能在 角的集合與實數(shù)的集合之間建立一種一一對應(yīng)的關(guān)系。例3利用弧度制證明扇形面積公

20、式1S 11R其中l(wèi)是扇形弧長，R是圓的半徑 2證:如圖:圓心角為1rad的扇形面積為：-R2弧長為l的扇形圓心角為-radR21R2 -1R2比較這與扇形面積公式S«R2360要簡單例4 直徑為20cm的圓中，求下列各圓心所對的弧長4- 1653440解：r 10cm ：1 r - 10 (cm)33例5解:：165165(rad)18012如圖，已知扇形AOB的周長是6cm,該扇形 的中心角是1弧度，求該扇形的面積。設(shè)扇形的半徑為r,弧長為1 ,則有(cm)2r 11c扇形的面積S.12(cm)例6計算sin 4tan1.5解：- 45 二 sin sin 454421.5rad

21、 57.301.5 85.9585 57'tan1.5 tan85 57' 14.12例7將下列各角化成0到2的角加上2k (k Z)的形式(1) 一 3153解：19 63331545360 24例8求圖中公路彎道處弧 AB的長l (精確到1m)圖中長度單位為：m解：V 603 l R - 45 3.14 15 47(m) 3設(shè)計意圖：加深學生對弧度制的理解，逐步習慣在具體應(yīng)用中運用弧度制解決具體的問題 特別是弧長公式，扇形面積計算公式的理解和使用師生互動：為了讓學生體會引進弧度制表示角的必要，采用了比較對照的方法，初步認識到 弧度制表示角的簡潔性。教師問：角度制下扇形的弧長

22、公式和面積公式是什么？學生答：(為角度制下圓心角的角度數(shù))教師問：那么弧度制下扇形的弧長公式和面積公式又是什么呢？學生自行推導(dǎo)， 遇到困難和問題，相互討論。學生總結(jié)：(為弧度制下圓心角的弧度數(shù))教師問：比較一下這兩種制度下的公式，你們有什么體會？學生馬上議論開來：弧度制下的公式簡單，好記憶！ “6. 總結(jié)歸納設(shè)計本課題的展開是“類比”導(dǎo)入，以“提問題”的形式，使得學生賦予想象力，增強學生 學習的興趣，提供學習新知的源動力。在這個學習過程中，學生充滿疑問和好奇進入了本課 題的探究?？梢姡‘?shù)摹皩?dǎo)入”為創(chuàng)造性學習邁出了第一步，也是學生思維品質(zhì)提升的源 泉，加強對學生創(chuàng)新思維品質(zhì)的培養(yǎng)，從而促進學

23、生創(chuàng)新能力的形成與發(fā)展。本課題的探究中，主要以“問題鏈”的形式，引發(fā)學生的思考，運用“運動”的觀點思考問題，使得學生的學習不要僵化、一成不變。我在“問題鏈”的設(shè)計中，注意到：問題 之間的有機銜接，問題的層層深入，以及教師提問學生的方式和時機。巧妙地設(shè)計問題，使 得學生的思維賦予層次性、深刻性、創(chuàng)造性，從而鍛煉了學生的數(shù)學思維能力，培養(yǎng)了學生數(shù)學地思考問題，有利于提升學生的數(shù)學思維品質(zhì)。概念課的教學不同于習題課，如何把新概念引入課堂，如何讓學生自然而然接受新概念，如何理解概念的本質(zhì)和外延，以及如何運用概念。這些都需要教師根據(jù)新概念的特點、學生的現(xiàn)狀、學習的環(huán)境，準確、適當而有力的把握，因為這對于

24、學生以后的學習、思考有著較大的影響。在本課題的探究過程中，基于圓心角的研究，讓學生發(fā)現(xiàn)弧度制的來源，使得學生明白：新知不是憑空而降，新知來源于舊知，只有把已有的知識充分掌握的情況下，才有可能發(fā)現(xiàn)新的知識和容，這也是創(chuàng)造的源泉。另外，一個新的概念出現(xiàn)之后，不能只停留在表面，需要深入思考，掌握其容，理解其本質(zhì)，知道其外延。當然，學生對新概念的再思考，來源于教師的引導(dǎo)，引導(dǎo)取決于教師本身對概念的理解和把握， 也需要教師精心設(shè)計一些問題引發(fā)學生對新概念的再思考、 再加工。所以，我認為：學生思維品質(zhì)的培養(yǎng)和提升，取決于教師獨具匠心的“問”和學生積極主動的“思”。對于本課題中問題的設(shè)計，我也注意到：問題要能夠引發(fā)學生的思考，并且能夠讓學生再思考。比如：弧度制完備性的討論中，一些問題的設(shè)計，使得學生對弧度制度量任意角深入思考，從而培養(yǎng)了學生思考問題的嚴密性和嚴謹性，同時也為數(shù)學思維品質(zhì)的提升打下了良好的基礎(chǔ)。7. 課堂練習，布置作業(yè)教材第 9 頁：練習 習題 1.1注：教師根據(jù)本班學生情況及其課堂教學靈活安排。8、目標檢測1、下列角中終邊與330°相同的角是（B ）A 30°B -30 ° C 630°D -630 °2、 1120&