高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.2 平面與平面垂直的判定 新人教A版必修2

1、23.2 平面與平面垂直的判定平面與平面垂直的判定 第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 1.理解二面角的有關(guān)概念理解二面角的有關(guān)概念，會(huì)求簡單的二面角的大會(huì)求簡單的二面角的大小小 2.理解兩平面垂直的定義理解兩平面垂直的定義 3.掌握兩平面垂直的判定定掌握兩平面垂直的判定定理理 第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 1二面角二面角 (1)從一條直線出發(fā)的從一條直線出發(fā)的_所組成的圖形叫做二面角所組成的圖形叫做二面角，這這條直線叫做二面角的條直線叫做二面角的_，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面這兩個(gè)半平面叫做二面角的面 (2)圖形和記法

2、圖形和記法 記作：二面角記作：二面角_或二面角或二面角_或二面角或二面角_ 兩個(gè)半平面兩個(gè)半平面棱棱lPABQPlQ2二面角的平面角二面角的平面角 (1)在二面角的棱上在二面角的棱上_一點(diǎn)一點(diǎn) O，以點(diǎn)以點(diǎn) O 為垂足為垂足，在兩個(gè)半平面在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作內(nèi)分別作_棱的射線棱的射線， 則兩條射線構(gòu)成的則兩條射線構(gòu)成的_叫做二面角的叫做二面角的平面角平面角 任取任取垂直于垂直于角角(2)圖形、符號(hào)及范圍圖形、符號(hào)及范圍 圖形：圖形： 符號(hào)：符號(hào)： l，OlOA，OBOAl，OBlAOB 是二面角的平面角是二面角的平面角 范圍：范圍：0AOB180. (3)規(guī)定：二面角的大小可以用它的規(guī)定：二面

3、角的大小可以用它的_來度量來度量，二面角的平二面角的平面角是多少度面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度平面角是就說這個(gè)二面角是多少度平面角是_的二的二面角叫做直二面角面角叫做直二面角 平面角平面角直角直角3平面與平面垂直平面與平面垂直 (1)定義定義：一般地：一般地，兩個(gè)平面相交兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是如果它們所成的二面角是_，就說這就說這兩個(gè)平面互相垂直，平面兩個(gè)平面互相垂直，平面 與與垂直，記作垂直，記作_ (2)判定定理判定定理 文字語言文字語言 圖形語言圖形語言 符號(hào)語言符號(hào)語言 一個(gè)平面過另一個(gè)平面一個(gè)平面過另一個(gè)平面的的_，則這兩個(gè)平面則這兩個(gè)平面垂直垂直. ll 直二

4、面角直二面角垂線垂線 1判一判判一判(正確的打正確的打“”“”，錯(cuò)誤的錯(cuò)誤的打打“”“”) (1)二面角的平面角的大小與其頂點(diǎn)在二面角棱上的位置有二面角的平面角的大小與其頂點(diǎn)在二面角棱上的位置有關(guān)關(guān)( ) (2)二面角可以看成是一個(gè)半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成的二面角可以看成是一個(gè)半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成的 ( ) (3)如果平面如果平面 內(nèi)有一條直線垂直于平面內(nèi)有一條直線垂直于平面 內(nèi)的一條直線內(nèi)的一條直線，則則.( ) 答案：答案：(1) (2) (3) 2已知已知 l，則過則過 l 與與 垂直的平面垂直的平面( ) A有有 1 個(gè)個(gè) B有有 2 個(gè)個(gè) C有無數(shù)個(gè)有無數(shù)個(gè) D不存在不存在 答案

5、：答案：C 3把等腰把等腰 RtABC 沿斜邊沿斜邊 BC 上的高線上的高線 AD 折成一個(gè)二面角折成一個(gè)二面角，此時(shí)此時(shí)BDC60，那么此二面角的大小為那么此二面角的大小為_ 答案：答案：60 4如圖如圖 P 是二面角是二面角 l 內(nèi)的點(diǎn)內(nèi)的點(diǎn)，PA，PB，垂足分別垂足分別為為 A，B.若若APB80，則二面角則二面角 l 的大小為的大小為_ 答案：答案：100 探究點(diǎn)一探究點(diǎn)一 二面角及其平面角的概念二面角及其平面角的概念 下列說法：下列說法： 兩個(gè)相交平面所組成的圖形叫做二面角；兩個(gè)相交平面所組成的圖形叫做二面角； 異面直線異面直線 a，b 分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直分別和一個(gè)二面角的

6、兩個(gè)面垂直，則則 a，b 所成所成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ)；的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ)； 二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)， 分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成的最小角成的最小角 其中正確的是其中正確的是( ) A B C D 解析解析 由二面角定義知：由二面角定義知：中實(shí)質(zhì)上共有中實(shí)質(zhì)上共有 4 個(gè)二面?zhèn)€二面角角，故，故不不正確； 由于正確； 由于 a， b 均垂直于兩個(gè)面均垂直于兩個(gè)面， 則則 a， b 都垂直于二面角的棱都垂直于二面角的棱，故故正確；正確； 中所作的射線不一定垂直于二面角的棱中所作的射線不一定垂直于二面角的棱， 故

7、故不正不正確確 答案答案 B (1)要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致 (2)要注意二面角的平面角與頂點(diǎn)在棱上且角兩邊分別在二面角要注意二面角的平面角與頂點(diǎn)在棱上且角兩邊分別在二面角面上的角的聯(lián)系與區(qū)別面上的角的聯(lián)系與區(qū)別 (3)可利用實(shí)物模型可利用實(shí)物模型，作圖幫助判斷作圖幫助判斷 1.如圖如圖，P 是二面角是二面角 l 的交線的交線 l 上一定點(diǎn)上一定點(diǎn)，PA，PB，且且 PAl，PBl，BPA120，若點(diǎn)若點(diǎn) C 是半是半平面平面 上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)，則則BPC 的范圍為的范圍為( ) A(0，120) B(0，90) C(90，1

8、20 D90，120 解析：解析：選選 D.當(dāng)當(dāng) PC 與與 l 重合時(shí)重合時(shí)，BPC90，當(dāng)當(dāng) PC 與與 PA 重重合時(shí)合時(shí)，BPC120.故故BPC 的范圍為的范圍為90，120 探究點(diǎn)二探究點(diǎn)二 二面角的求解二面角的求解 已知正四棱錐已知正四棱錐 SABCD(底面為正方形底面為正方形，各側(cè)面為全等的各側(cè)面為全等的等腰三角形等腰三角形)的體積為的體積為 12，底面對(duì)角線的長為底面對(duì)角線的長為 2 6，求側(cè)面與底求側(cè)面與底面所成的二面角面所成的二面角 解解 設(shè)正四棱錐設(shè)正四棱錐 SABCD 的高為的高為 h，底面底面邊長為邊長為 a， 則則 2a2(2 6)2，所以所以 a212.又又13

9、a2h12，所以所以 h36a23. 設(shè)設(shè) O 為為 S 在底面上的投影在底面上的投影，作作 OECD 于于 E，連接連接 SE， 可知可知 SECD，SEO 為所求二面角的平面角為所求二面角的平面角 tanSEOha23212 3，所以所以SEO60. 所以側(cè)面與底面所成二面角的大小為所以側(cè)面與底面所成二面角的大小為 60. 在本例中在本例中，條件不變條件不變，求二面角求二面角 DSCA 的正弦的正弦值值 解：解：如圖如圖，過過 O 作作 OFSC，垂足為垂足為 F，連接連接 FD，OD，AC. 由例題解由例題解析知析知，SO平面平面 ABCD，且且 O 是底面正方形的中心是底面正方形的中心

10、， 所以所以 DOSO，DOAC，又又 ACSOO. 所以所以 DO平面平面 SAC， 又又 SC平面平面 SAC，所以所以 SCDO， 又又 SCOF，DOOFO. 所以所以 SC平面平面 DOF，又又 DF平面平面 DOF，所以所以 DFSC. 所以所以O(shè)FD 為二面角為二面角 DSCA 的平面角的平面角 由例題解析知由例題解析知，OD 6，SC OC2OS2 69 15， OFOSOCSC3 6153 25， 所以所以 DF OF2OD21856485， 所以所以 sinOFDODDF6485104， 即二面角即二面角 DSCA 的正弦值為的正弦值為104. 求二面角的步驟求二面角的步驟

11、 (1)作出二面角的平面角；作出二面角的平面角； (2)證明該角兩邊都與棱垂直證明該角兩邊都與棱垂直，指出該角就是二面角的平面角；指出該角就是二面角的平面角； (3)計(jì)算該角的大小計(jì)算該角的大小，簡記為作、證、求簡記為作、證、求，簡稱為簡稱為“一作二證三一作二證三求求” 2.如果二面角如果二面角 l 的平面角是銳角的平面角是銳角，點(diǎn)點(diǎn) P 到到 、 和棱和棱 l 的的距離分別為距離分別為 2 2、4 和和 4 2，求其二面角的大小求其二面角的大小 解：解：當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) P 在二面角在二面角 l 的內(nèi)部時(shí)的內(nèi)部時(shí)，如圖如圖. 因?yàn)橐驗(yàn)?PA，所以所以 PAl. 因?yàn)橐驗(yàn)?ACl，所以所以 l平面平面

12、 PAC. 同理同理，l平面平面 PBC， 而平面而平面 PAC平面平面 PBCPC， 所以平面所以平面 PAC 與平面與平面 PBC 應(yīng)重合應(yīng)重合 即即 A、C、B、P 在在同一平面內(nèi)同一平面內(nèi) 所以所以ACB 是二面角是二面角 l 的平面角的平面角 在在 RtAPC 中中，sinACPPAPC2 24 212. 所以所以ACP30. 在在 RtBPC 中中，sinBCPPBPC44 222. 所以所以BCP45. 所以所以ACB304575. 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) P 在二面角在二面角 l 的外部時(shí)的外部時(shí)， 如圖如圖.同理可得同理可得ACB453015. 綜上綜上，知所求二面角知所求二面角的大小為的

13、大小為 75或或 15. 探究點(diǎn)三探究點(diǎn)三 平面與平面垂直的判定平面與平面垂直的判定 如圖所示如圖所示，四邊形四邊形 ABCD 為正方形為正方形，PD平面平面 ABCD，PDQA，QAAB12PD.證明：平面證明：平面 PQC平面平面 DCQ. 證明證明 由四邊形由四邊形 ABCD 為正方形為正方形，可得可得 CDAD， 又又 PD平面平面 ABCD， 所以所以 PDCD，PDAD， 故故 CD平面平面 AQPD，從而從而 CDPQ. 如圖所示如圖所示， 取取 PD 的中點(diǎn)的中點(diǎn) E， 連接連接 QE.則則 DEAQ， 且且 DEAQ， 從而四邊形從而四邊形 AQED 是平行四邊形是平行四邊形

14、， 則則 QEAD，所以所以 QEPD， 所以所以 DQQP. 設(shè)設(shè) QA1，則則 AB1，PD2. 在在DQP 中中，有有 DQQP 2，PD2. 所以所以 DQ2QP2PD2，故故PQD90，即即 DQPQ. 又又 CDDQD，所以所以 PQ平面平面 DCQ. 又又 PQ平面平面 PQC，所以平面所以平面 PQC平面平面 DCQ. (1)利用面面垂直的判定定理證明面面垂直時(shí)的一般方法是：先利用面面垂直的判定定理證明面面垂直時(shí)的一般方法是：先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線， 若這樣的垂線存在若這樣的垂線存在， 則可通過則可通過線面垂直來證明面面垂直； 若這樣的垂線不

15、存在線面垂直來證明面面垂直； 若這樣的垂線不存在， 則可通過輔助則可通過輔助線來解決線來解決， 而作輔助線時(shí)應(yīng)有理論根據(jù)并有利于證明而作輔助線時(shí)應(yīng)有理論根據(jù)并有利于證明， 不能隨意不能隨意添添加加 (2)在證明垂直過程中在證明垂直過程中，充分利用給出的線段長度判斷是否構(gòu)成充分利用給出的線段長度判斷是否構(gòu)成勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 3.如圖所示如圖所示，在四棱錐在四棱錐 PABCD 中中，PA平面平面ABCD，底面底面 ABCD 是直角梯形是直角梯形，ABAD，CDAD.求證：平求證：平面面 PDC平面平面 PAD. 證明：證明：因?yàn)橐驗(yàn)?PA平面平面 ABCD，CD平面平面 ABCD，

16、 所以所以 PACD. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?CDAD，PAADA，所以所以 CD平面平面 PAD. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?CD平面平面 PDC. 所以平面所以平面 PDC平面平面 PAD. 1二面角和它的平面角的畫法二面角和它的平面角的畫法 畫二面角和它的平面角畫二面角和它的平面角，常用以下兩種形式：常用以下兩種形式： (1)直立式直立式，如圖所示如圖所示 (2)平臥式平臥式，如圖所示如圖所示 2二面角的平面二面角的平面角的確定方法角的確定方法 (1)定義法定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)過在兩個(gè)半平面內(nèi)過該點(diǎn)分別作垂直于棱的射線如圖該點(diǎn)分別作垂直于棱的射線如圖. (2)垂面法垂面法：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩該平面與二面角的兩個(gè)半平面均有交線個(gè)半平面均有交線，這兩條射線所成的角這兩條射線所成的角，即為二面角的平面即為二面角的平面角如圖角如圖. (3)垂線法垂線法：過二面角的一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂：過二面角的一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線線， 過垂足作棱的垂線過垂足作棱的垂線， 利用線面垂直可找到二面角的平面角或利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角此種方法通用于求二面角的題目具體步驟為：一找、其補(bǔ)角此種方法通用于求二面角的