高中函數(shù)部分知識點及典型例題分析

1、一一函數(shù)主要知識點及典型例題第8頁共7頁智立方教育高一函數(shù)知識點及典型例題一、函數(shù)的概念與表示1、映射（1）映射：設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則 f,對于集合A中的任一個元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它對應(yīng),則這樣的對應(yīng)（包括集合A、B以及A到B的對應(yīng)法則f）叫做集合A到集合B的映射，記作f: ZB.注意點：（1）對映射定義的理解.（2）判斷一個對應(yīng)是映射的方法 .一對多不是映射，多對一是映射2、函數(shù)構(gòu)成函數(shù)概念的三要素定義域；對應(yīng)法則；值域.兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的條件：三要素有兩個相同例 2、M x|0 x 2, N關(guān)系的有（C ）A、 0個B、 1個例1、M到集合N的函數(shù)y

2、 10 y 3給出下列四個圖形，其中能表示從集合C、2個D、3個y由題意知：M=x|0 <x<2, N=y|0 W yw 3,對于圖中，在集合 M中區(qū)間(1, 2內(nèi)的元素沒有象，比如 f ( 3 2 )的值就不存在，所以圖不符合 題意；對于圖中，對于 M中任意一個元素，N中有唯一元素與之對應(yīng)，符合函數(shù)的對應(yīng)法則，故正確；對于圖中，對于 M中任意一個元素，N中有唯一元素與之對應(yīng)，且這種對應(yīng)是一一對應(yīng)，故正確；對于圖中，集合 M的一個元素對應(yīng) N中的兩個元素.比如當 x=1時，有兩個y值與之對應(yīng)，不符合函 數(shù)的定義，故不正確二、函數(shù)的解析式與定義域1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：(1)分式

3、的分母不為零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義；(3)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;例1、y Jogo.5(4x2 3x)函數(shù)的定義域為 根號下的數(shù)必須為正數(shù)，又當?shù)讛?shù)為大于0小于1的數(shù)時，只有當真數(shù)大于0小于1時，才能保證根號下的數(shù)為正數(shù)。所以讓0<4X的平方-3X<1 ,解0<4X的平方-3X得X<0或3/4<X,解4X的平方-3X<1得-1/4<X<1 ,取交集得 X的范圍是-1/4<X<0或3/4<X<1 »四.函數(shù)的奇偶性f(x),則稱

4、y=f(x)為偶函數(shù)1 .定義：設(shè)y=f(x), xCA,如果對于任意 x e A,都有f ( x)如果對于任意x C A,都有f ( x)f (x),則稱y=f(x)為奇函數(shù).2 .性質(zhì)：y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱， y=f(x)是奇函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則 f(0)=0奇垃二奇；偶才禺=偶；奇淌=偶；偶M禺二偶；奇M禺=奇兩函數(shù)的定義域D1，D2, D1CD2要關(guān)于原點對稱3 .奇偶性的判斷看定義域是否關(guān)于原點對稱看f(x)與f(-x)的關(guān)系例1.已知函數(shù)f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù).當x (,0)時，f(x)

5、 x x4,則當 x (0,)時，f (x) .當 x C ( 0 , + 8), f(x)=-x-xA4解：當xC (0, + 8), x C (-8,0),因為當x<0時，f(x)=x-xA4,所以把一x代入這個式子中得f(-x)=-x-(-x)A4=-x-xA4, 又因為 f(x)是偶函數(shù)，所以 f(-x)=f(x)于是 f(x)=-x-xA4例2、已知定義域為R的函數(shù)f(x)2x b2x函數(shù).(I)求a,b的值;(n)若對任意的t R ,不等式f (t22t) f(2t2 k) 0恒成立，求k的取值范圍.(I)(n)因為 f(x)是奇函數(shù)，所以 f(0)=0,即(b-1)/(a+

6、2)=0 =>b=1 f(x)=(1-2Ax)/(a+2A(x+1)X由 f (1) = -f (-1)知 a=2 解由(I )知f(x)=(1-2Ax)/(2+2A(x+1)=-1/2+1/(2Ax+1),易知f(x)在正負無窮上為減函數(shù)。又因f(x)是奇函數(shù),從而不等式:f(tA2-2t)+f(2tA2-k)<0 等價于 f(tA2-2t)<-f(2tA2-k)=f(k-2tA2),因 f(x)為減函數(shù)，由上式推得：tA2-2t>k-2tA2 .即 對一切 tCR 有：3tA2-2t-k>0,從而判別式=4+l2k<0 =>k<-1/3六.函

7、數(shù)的周期性:1. (定義)偶函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意一個 x,都有f (-x) =f (x),則稱函數(shù) f (x)為偶函數(shù)。奇函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意一個X,都有f (-x) =-f (x),那么函數(shù)f (x)是奇函數(shù)。4 11, - I2.若 f(x a) f(x)； f (x a)；f (x a) ；則£(刈周期是 2af(x)f (x)例1、已知定義在 R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，則,f(6)的值為(A) -1(B) 0(C)1(D)2由于 f(X)為奇函數(shù)，故 f(-X)=-f(X),所以 f(-0)=-

8、f(0)得出 f(0)=0.又 f(X+2)=-f(X)故f(6)=f(4+2)=-f(4)=-(-f(2)=f(2)=f(0+2)=-f(0)=0答案:f(6)=0例2、f(x),例5、設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x恒滿足f(2 x)當 x 0,2時 f(x) 2x x2.求證：f(x)是周期函數(shù)；當x 2,4時，求f(x)的解析式.(1) f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4)=f(x+4), 所以 f(x)是以 4 為周期的周期函數(shù)。(2)根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)f(x)=-f(-x),可知xC卜2,0時，f(x)=-f(-x)=-(-2x-x 2)=2x+x2,而f(x)是

9、以4為周期的周期 函數(shù)，當 xC 2,4時，f(x)=f(x-4)=2(x-4)+(x-4) 2=x2-6x+8f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4)?根據(jù)f(x+2)=-f(x)這條件于是f(x+4)=-f(x+2),這個就是把x+2作為一個整體看作條件中的x,帶進去就是七.二次函數(shù)(涉及二次函數(shù)問題必畫圖分析)1,二次函數(shù)f(x)=ax 2+bx+c(a w的圖象是一條拋物線，對稱軸 x J，頂點坐標(b 4ac b22a2a , 4a2.二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系一元二次方程ax2bx c 0(a0)的根為二次函數(shù)f(x)=ax 2+bx+c(a w 0y0的x的取值.元二次不等式

10、ax2bx c 0( 0)的解集(a>0)二次函數(shù)情況一兀二次不等式解集y=ax2+bx+c(a>0) =b2-4acax2+bx+c>0 (a>0)ax2+bx+c<0 (a>0)圖象 與解 >0x|xx1 或 xx2x x1x x2工】 二0xx x0 <0R2例1、已知函數(shù)f(x) 4x mx 5在區(qū)間2,)上是增函數(shù)，則 f (1)的范圍是()(A) f(1) 25(B) f (1) 25(C) f (1) 25(D) f (1) 25例2、方程mx2 2mx 1 0有一根大于1,另一根小于1,則實根m的取值范圍是 二次函數(shù)解決。設(shè)Y=X

11、A2+2mX+1 ,拋物線開口向上，與X軸交點在1的左右兩邊，在保證有交點的情況下（A >0）,X=1 時，丫<0。A =4mA-4>0,得 m>1 或 m<-1,當 X=1 時，Y=2+2m<0,得 m<-1,綜合得：m<-1 o九.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax （a>0 , a生為反函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)-W式Y(jié)=ax (a>0 且 aw 1)y=log ax (a>0 , a w 1)定義域(-OO,+ oo)(0,+ oo)值域(0,+ oo)(-OO,+ oo)過定點（。，1）(1,

12、 0)圖象指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax （a>0 , a圄象氏于y=x對稱小，。<£】曠入a2 yrlosaH (a>l)10目/單調(diào)性a> 1,在（-°°,+ O為增函數(shù)0 < a<1,在（-°°,+ 對為減函數(shù)a>1,在（0,+ O為增函數(shù)0 < a<1,在（0,+ 00t為減函數(shù)值分布y>1 ?y<1?y>0?y<0?2 .比較兩個哥值的大小，是一類易錯題，解決這類問題，首先要分清底數(shù)相同還是指數(shù)相同，如果底 數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；指數(shù)相同

13、，可以利用指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象關(guān)系（對數(shù)式比較大小記住下列特殊值為底數(shù)的函數(shù)圖象：3 .研究指數(shù)，對數(shù)函數(shù)問題，盡量化為同底，并注意對數(shù)問題中的定義域限制4 .指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中的絕大部分問題是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合問題，討論復(fù)合函數(shù) 的單調(diào)性是解決問題的重要途徑.例 1、(1) yvlg-x lg(5 3x)的定義域為 ;解答：令 lgx > 0,x > 1令 x > 0令 5 - 3x > 0, x < 5/3定義域為 1 < x < 5/3iy 2”的值域為；可以設(shè)t=1/(x-3),則t的范圍就是tw0所以函數(shù)的值域為y>0且yw 20即值域為(0,1) U ( 1, +8)2(3) y lg( x x)的遞增區(qū)間為 ，值域為-xA2+x>00Vx<1y=lg(-x2+x)的遞增區(qū)間一(1/2,1)一值域為一(-無