仿射幾何在解析幾何中的一些應(yīng)用

1、仿射幾何在研究圓錐曲線中的一些應(yīng)用仁化縣仁化中學(xué)謝祖福摘要：本文主要結(jié)合實(shí)例， 運(yùn)用仿射幾何的性質(zhì)在解決圓錐曲線的問題作了一些嘗試，以期達(dá)到對(duì)圓錐曲線問題的解法的化繁為簡(jiǎn)，化難為易，并且開闊數(shù)學(xué)視野，培養(yǎng)唯物辨證觀點(diǎn)的目的。關(guān)鍵詞：仿射幾何仿射性質(zhì) 仿射變換 圓錐曲線高等幾何是從古典幾何過渡到近世幾何的橋梁，它對(duì)中學(xué)初等幾何和解析幾何的教學(xué)有重大的指導(dǎo)意義，其中仿射幾何是高等幾何的重要組成部分，是聯(lián)結(jié) 高等幾何與初等幾何的紐帶，是應(yīng)用高等幾何解決初等幾何的一條重要通道。在 這里，筆者試圖利用仿射幾何的一些基本性質(zhì)，在仿射變換下，通過特殊的圖形 去研究復(fù)雜的圖形，從而解決一些高中解析幾何中圓錐曲

2、線一類的問題。我們知道，橢圓、雙曲線、拋物線經(jīng)過仿射變換，它們對(duì)應(yīng)的圖形分別是圓、 特殊的雙曲線即等軸雙曲線x2-y2= ±1和特殊的拋物線y2=2x。所以我們只要研 究圓、雙曲線x2-y2=±1和拋物線y2=2x的相應(yīng)性質(zhì)，利用其平行性、結(jié)合性、 簡(jiǎn)比、面積比等仿射性質(zhì)，其對(duì)應(yīng)的橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)就相應(yīng)知道了， 從而能取得事半功倍的效果。一、利用仿射性質(zhì)解決一些圓錐曲線的最值問題。22例：求橢圓1 yr 1的內(nèi)接三角形面積的最大值。a b解：如圖，設(shè)此橢圓可以由一圓經(jīng)過仿射變換 T后得至心勺。且圓 一.一 .，、.33_ 內(nèi)接三角形面積最大的為圓內(nèi)接正三角形，面積

3、為-r2o根據(jù)仿射變換的性質(zhì)S橢圓S ABC2rab33 27 r3 3-4,則S abc = 313 ab為所求的最大值。S ABC4同理，此結(jié)論可以推廣到求橢圓的內(nèi)接矩形的最大值。例：求證橢圓的最大內(nèi)接矩形的面積為 2ab。（此題留給讀者自己證明）、利用仿射幾何的基本性質(zhì)證明一些定值問題。2例：C為雙曲線二a2二 1的實(shí)軸AB所在直線上的一定點(diǎn),直線CT /OY軸, bP是雙曲線上不同于A、B任一點(diǎn)，直線AP、BP與CT分別交于M、N兩點(diǎn)，求證CM CN為定值。證明：由仿射性質(zhì)可知，此題只要對(duì)等軸雙曲線x2 y2 = 1進(jìn)行證明即可如圖，等軸雙曲線x2 y2=1中,設(shè) P (secO ,

4、tan 0), A (-1, 0)直線 PA的方程：y= tan(x+1) 1 sec直線CT的方程：x=d由、得：y=a(d+1) 1 sec故CM=-tan-(d+1) 1 sec同理：CN=-tan (d-1)sec 1所以CM CN= -tan(d2-12) = d2- 1 (定值) sec 1由仿射性質(zhì)，可知對(duì)于一般雙曲線有CM CN二定值再如：若C為拋物線y2=2px(p>0)的對(duì)稱軸所在直線上的一定點(diǎn)，直線 CT/OY軸，P為拋物線上不同于頂點(diǎn) O的任意一點(diǎn)，直線OP與CT交于M點(diǎn)，直線PN /Ox軸與CT交于N點(diǎn)。試證CM CN為一定值。(圖如下)三、利用仿射幾何的基本性

5、質(zhì)證明一些平行問題。 22例：已知A、B分別為橢圓、4 1在橫軸、縱軸上的頂點(diǎn)，C為線段AB a b證明:如圖，設(shè)此橢圓可以由一圓經(jīng)過仿射變換 T后得到，顯然，在圓O'中,OC' AB ,OD' _L1',OE' L'所以AB' L1 L2'因?yàn)槠叫行詾榉律洳蛔冃?，?AB /Li /L2即過直線OC與橢圓的交點(diǎn)的切線平行于 AB。四、利用仿射的性質(zhì)求一些軌跡的問題。 22例：橢圓xr yr 1的內(nèi)接9BC,它的邊BC與長(zhǎng)軸重合，A在橢圓上運(yùn)動(dòng)，求 a bMBC的重心的軌跡。解：設(shè)此橢圓可以由一圓經(jīng)仿射變換 T后得到Pc 當(dāng)顯然，在圓中，滿足此條件的點(diǎn)的軌跡是以的圓。因此，在橢圓中是以O(shè)為中心，其長(zhǎng)、J, HcO'為圓心，W OA'為半徑所畫1短半軸分別為原橢圓長(zhǎng)、短半軸的1