三角形的外心及其性質(zhì)59

1、三角形的外心及其性質(zhì)三角形的外心及其性質(zhì)自我評(píng)量自我評(píng)量四邊形的外接圓四邊形的外接圓外心的應(yīng)用外心的應(yīng)用三角形的外心及其性質(zhì)三角形的外心及其性質(zhì) 給定一線段 ，如圖3-1，如何利用尺規(guī)作圖，作一個(gè)圓通過A、B 兩端點(diǎn)？ 如圖3-2，最簡(jiǎn)單的方法是直接以 為直徑畫圓。 ABAB AB圖3-1圖3-2在上一冊(cè)曾經(jīng)學(xué)過：1. 一線段的垂直平分線上任一點(diǎn)到此線段兩端點(diǎn)等距離。2. 與一線段兩端點(diǎn)等距離的點(diǎn)必在該線段的垂直平分線上。 所以利用此觀念，只要圓心在 的垂直平分線上，就可以作出通過A、B 兩端點(diǎn)的圓。 如圖3-3，作 的垂直平分線L，並在L上取一點(diǎn)O當(dāng)圓心，如果O點(diǎn)在 上，則此圓就是以 為直徑

2、的圓。如果O點(diǎn)不在 上，以 為半徑畫圓，此圓必通過B 點(diǎn)。當(dāng)O離 愈遠(yuǎn)，則半徑 愈長(zhǎng)，此圓也會(huì)愈大。 AB AB AB AB AB AB OA OA圖3-3 給定一個(gè)ABC，可以找到一個(gè)圓通過A、B、C 三頂點(diǎn)嗎？圖圖3-5 如圖3-4，ABC 為直角三角形，以 為直徑作圓，剛好通過A、B、C 三點(diǎn)。圖圖3-4 AB 如圖3-5，ABC 為銳角三角形，以 為直徑作圓，C點(diǎn)會(huì)落在圓外。若要使圓通過C點(diǎn)，則圓心O要沿著 的垂直平分線L靠近C點(diǎn)，使圓逐漸變大，可以得到一個(gè)圓剛好通過A、B、C三點(diǎn)。 AB AB圖圖3-7圖圖3-6 如圖3-6，ABC為鈍角三角形，其中C為鈍角，以 為直徑作圓，C點(diǎn)會(huì)落

3、在圓內(nèi)。若要使圓通過C點(diǎn)，則圓心O要沿著 的垂直平分線L遠(yuǎn)離C點(diǎn)，使圓逐漸變大，也可以得到一個(gè)圓剛好通過A、B、C 三點(diǎn)。 AB AB 如圖3-7，當(dāng)A、B、C三頂點(diǎn)都落在圓周上時(shí)，圓心O點(diǎn)到A、B、C三頂點(diǎn)的距離都會(huì)相等。此時(shí) 和 的垂直平分線L1和L2都會(huì)通過O點(diǎn)。 AB AC從上面的討論可以發(fā)現(xiàn)：任意三角形一定存在一個(gè)圓同時(shí)通過此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)。 同時(shí)通過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓稱為此三角形的外外接圓接圓，圓心稱為此三角形的外心外心，並可由尺規(guī)作圖作出此外接圓，而三角形稱為此圓的內(nèi)接三角形內(nèi)接三角形。 如圖3-8，三種ABC中，L1為 的垂直平分線，L2為 的垂直平分線，L1與L2交於O點(diǎn)，

4、連接 、 、 ， AB OB OC BC OAL1是 的垂直平分線， 。又L2是 的垂直平分線， 。故 ， O點(diǎn)在 的垂直平分線上，即 的垂直平分線通過O點(diǎn)。 OB OC OA OB AB BC OA OB OC AC AC圖圖3-8銳角三角形鈍角三角形直角三角形由上面的說明可知：任意三角形三邊的垂直平分線交於同一點(diǎn)（外心），且此點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等。 外心會(huì)落在三角形的內(nèi)部、三角形的邊上或三角形的外部？我們用圓周角的觀點(diǎn)說明如下： 如圖3-9，ABC為鈍角三角形，ABD為直角三角形，ABE為銳角三角形，且ABC、ABD與ABE皆為圓O的圓內(nèi)接三邊形，所以圖圖3-9(1) 鈍角三角形ABC 的

5、外心（圓心O） 會(huì)落在三角形外。(2) 直角三角形ABD 的外心（圓心O） 剛好落在三角形的斜邊中點(diǎn)。(3) 銳角三角形ABE 的外心（圓心O） 會(huì)落在三角形內(nèi)。1. 如右圖，ABC為銳角三角形，請(qǐng)利 用尺規(guī)作圖作出ABC的外心。2. 如下圖，某主題樂園有歐式花園、餐廳和親水區(qū)三個(gè) 地點(diǎn)，要建一條圓形遊樂軌道連接起來，請(qǐng)?jiān)谙聢D畫 出這條圓形軌道。1直角三角形外接圓半徑直角三角形外接圓半徑直角三角形ABC 中，A90， 6， 8，試求ABC外接圓的半徑長(zhǎng)。 AB ACABC 為直角三角形，斜邊 ，且 中點(diǎn)O 即為外心，故外接圓半徑 10 25。 BC10 8 6 22 BC OB1. 直角三角形

6、ABC中，A90， 5， 12， 試求ABC外接圓的半徑長(zhǎng)。 AB ACABC為直角三角形斜邊 且 中點(diǎn)O為外心故外接圓半徑 132 BC13 5 12 22 BC OB213 2. ABC 中， 8， 15， 17，試求 ABC外接圓的半徑長(zhǎng)。 AB AC BC17215282ABC 為直角三角形故外接圓半徑 斜邊長(zhǎng) 21 217 2 直角三角形的外心直角三角形的外心有一個(gè)等腰直角三角形，其外心到三頂點(diǎn)的距離總和為15，試求此三角形的面積。如右圖，外心O在斜邊中點(diǎn)上，且 15又 5， 10三角形的面積 10525 OC OA OB OA OB OC OA BC BC OA21 21 有一個(gè)直

7、角三角形，其外心到三頂點(diǎn)的距離和為30，若有一股長(zhǎng)為12，試求此三角形的面積。由題意知：斜邊長(zhǎng)2( 30 3 )20另一股長(zhǎng)故三角形面積 12169621 16 12 20 22 圓內(nèi)接三角形的三內(nèi)角為其外接圓的圓周角，在第二章學(xué)過圓周角圓心角的一半，故可利用此關(guān)係求解相關(guān)問題。如右圖，畫出ABC 的外接圓。A BOC（圓周角 圓心角）BOC2A 267 13421 21 3 外接圓的應(yīng)用外接圓的應(yīng)用如右圖，ABC中，A67，O為ABC外心，試求BOC。搭配習(xí)作P.46基礎(chǔ)題5承例題3，若ABC79，試求AOB 與AOC。AOC2ABC279158ACB180AABC34AOB2ACB2346

8、8如右圖，畫出PQR 的外接圓。在優(yōu)弧QR上任取一點(diǎn)A，則ARPQ為圓內(nèi)接四邊形，PA180A18012852又QOR2A QOR2521044 外接圓的應(yīng)用外接圓的應(yīng)用如右圖，鈍角三角形PQR 中，P128，若O為PQR 外心，試求QOR。搭配習(xí)作P.47基礎(chǔ)題6如右圖，畫出PQR 的外接圓。在優(yōu)弧QR 上任取一點(diǎn)A，P128QAR2128256 QPR360QAR 360256104故QOR104。如右圖，若O為鈍角三角形ABC 外心，且AOC146，試求B。如右圖畫出ABC 的外接圓ABCAOC146ADC360ABC360146214B ADC10721 四邊形的外接圓四邊形的外接圓

9、任意三角形都有外接圓，是不是所有的四邊形都有外接圓呢？ 若給定的四邊形ABCD有外接圓，則此圓必通過A、B、C三點(diǎn)，即必為ABC的外接圓，所以四邊形ABCD是否有外接圓的問題就變成D點(diǎn)是否在ABC的外接圓上的問題，因此先作ABC的外接圓，如圖3-10，則D點(diǎn)可能落在圓內(nèi)、圓上或圓外。接下來，我們來討論這三種情形：D 點(diǎn)在圓內(nèi)D 點(diǎn)在圓上D 點(diǎn)在圓外圖圖3-101. D 點(diǎn)在圓內(nèi)：點(diǎn)在圓內(nèi)：如圖3-11，延長(zhǎng) ，交圓於E 點(diǎn)，並連接 ，則BE180，又ADCE（外角大於任一內(nèi)對(duì)角）ADCBEB即ADCB180。圖圖3-11 AD CE2. D 點(diǎn)在圓上：點(diǎn)在圓上：如圖3-12，四邊形ABCD為圓

10、內(nèi)接四邊形，BD180。圖圖3-123. D 點(diǎn)在圓外：點(diǎn)在圓外：如圖3-13，設(shè) 交圓於E 點(diǎn)，並連接 ，則BAEC180，又DAEC（外角大於任一內(nèi)對(duì)角）DBAECB即ADCB180。 AD CE圖圖3-13由上面的討論可知，在四邊形ABCD中：1. 若BD180， 則與上述 、 的結(jié)論不合，因此D點(diǎn)只會(huì)落在 ABC的外接圓內(nèi)。既然D點(diǎn)不會(huì)落在ABC的外 接圓上，那麼四邊形ABCD就沒有外接圓。2. 若BD180， 則與上述 、 的結(jié)論不合，因此D點(diǎn)只會(huì)落在 ABC的外接圓上，即四邊形ABCD有外接圓。2.3.3.1.3. 若BD180， 則與上述 、 的結(jié)論不合，因此 D 點(diǎn)只會(huì)落在 A

11、BC 的外接圓外。既然D點(diǎn)不會(huì)落在ABC的外 接圓上，那麼四邊形ABCD就沒有外接圓。2.1.因此可得：若四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則此四邊形有外接圓。 一般而言，若我們說A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上或A、B、C、D四點(diǎn)共圓，意思是有一個(gè)圓會(huì)同時(shí)通過A、B、C、D這四個(gè)點(diǎn)，也就是四邊形ABCD有外接圓。1. 如右圖，四邊形ABCD中，AC180，請(qǐng)利 用尺規(guī)作圖，作出一圓通過A、B、C、D四點(diǎn)。2. 如右圖，四邊形ABCD 中，1為 BCD的外角，且A1，試 證A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上。1BCD180 ，A1ABCD180 故A、B、C、D 四點(diǎn)在同一圓上5 四邊形外接圓四邊形外接圓如右圖，圓O通

12、過平行四邊形ABCD的兩頂點(diǎn)A、B，且分別與 、 交於E、F兩點(diǎn)，試證C、D、E、F 四點(diǎn)在同一圓上。 AD BC(1) 如右圖，連接 。(2) A、B、F、E 四點(diǎn)在同一圓上， 四邊形ABFE為圓內(nèi)接四邊形， 故A1。 EF(3) ABCD為平行四邊形， AD180。(4) 由(2)、(3)知 1D180， 四邊形CDEF的對(duì)角互補(bǔ)， 因此四邊形CDEF有外接圓， 故C、D、E、F 四點(diǎn)在同一圓上。如右圖，梯形ABCD 中， / ，若有一圓通過此梯形的兩頂點(diǎn)C、D，且分別與 、 交於E、F 兩點(diǎn)，試證A、B、F、E四點(diǎn)在同一圓上。 AB DC AD BC連接 ，C、D、E、F 四點(diǎn)共圓CAE

13、F又 / ，BC180故BAEF180即A、B、F、E 四點(diǎn)共圓 EF AB DC(1) 為切線， 12 AC ， 同理34 AD。 PC21 21 6 四邊形外接圓的應(yīng)用四邊形外接圓的應(yīng)用如右圖，兩圓交於A、B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作直線分別交兩圓於C、D兩點(diǎn)，分別過C、D兩點(diǎn)作切線交於P點(diǎn)，連接 、 ，試證P、C、B、D 四點(diǎn)共圓。 BC BD搭配習(xí)作P.47基礎(chǔ)題7(2) PCD 中， P13180， P24180， PCBD180， P、C、B、D 四點(diǎn)共圓如右圖，ABCADC 180，試證12。ABCADC180A、B、C、D 四點(diǎn)共圓故12 AB21 外心的應(yīng)用外心的應(yīng)用 前面我們已知道直角

14、三角形的外心在斜邊中點(diǎn)上，利用此特性可以來推算306090直角三角形的三邊長(zhǎng)比。7 30 60 90 三角形三邊長(zhǎng)比三角形三邊長(zhǎng)比如右圖，ABC 中，已知ACB90，B60，A30， a，試求 、 。 BC AB AC搭配習(xí)作P.47基礎(chǔ)題8如右圖，作斜邊中點(diǎn)O，ACB90，O 為外心， ，又OCBB60，則BOC60，故OBC 為正三角形， a， 2a OA OB OC BC AB AC OC OB OA OB 22BCABaaa3 ) 2 ( 22如右圖，以 為對(duì)稱軸，將圖形翻轉(zhuǎn)，使B 點(diǎn)為B 點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則 垂直平分 ，BB60，故ABB為正三角形， 2 2a AC AC BB AB B

15、B BC AC 22BCABaaa3 ) 2 ( 22如圖3-14，ABC 中， c， a， b，A30，B60，C90，則ABC 三邊長(zhǎng)的比為a：b：c1： ：2 。 AB BC AC圖圖3-143 1. 如右圖，ABC 中，A30，C 60， 若 6，試求 。 AB BC BC3 2 ： = ：1 AB BC3 6： = ：1 BC3 2. 如右圖，鳶形ABCD 中，BAD120， BCD 60，若 4，試求其 外接圓的半徑。 AB連接 ，BD90 ： 2：1 8半徑4 AC AC AC AB8 正三角形的高與面積公式正三角形的高與面積公式如右圖，正三角形ABC 中， a，且 ，試求ABC

16、的面積。 ABBCAD 為正三角形ABC的高，ABD中，B60，ADB90，BAD30 ： ： 2： ：1 故 a正三角形ABC 的面積 a a a2 AD AB AD BD3 AD21 BC AD21 2 3 4 3 由例題8知道：邊長(zhǎng)為a 的正三角形，其高為 a ，面積為 a2。2 3 4 3 1. 若某正三角形的周長(zhǎng)為12，試求此三角形的面積。面積 邊長(zhǎng)2 （12）2 4 3 4 3 3 2 2. 有一個(gè)正三角形面積是 ，試求此三角形的邊長(zhǎng)。3 16 面積 邊長(zhǎng)2 ，邊長(zhǎng)83 16 4 3 1. 外心： 任何三角形三邊的垂直平分線交於同一點(diǎn)（外心）， 且此點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等。2. 三角

17、形外心的位置： (1) 銳角三角形的外心會(huì)落在三角形內(nèi)部。 (2) 鈍角三角形的外心會(huì)落在三角形外部。 (3) 直角三角形的外心剛好落在斜邊中點(diǎn)上。3. 四邊形的外接圓： 若四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則此四邊形有外接圓。4. 直角三角形的三邊比： ABC 中， c， a， b，A30 ，B60 ，C90 ，則ABC 三邊長(zhǎng)的比為 a：b：c1： ：2。 AB BC AC 3 5.正三角形的高與面積公式： 邊長(zhǎng)為a 的正三角形，其高為 a ，面積為 a2。2 3 4 3 3-1 自我評(píng)量自我評(píng)量1. 如下圖，有A、B、C 三村，想蓋一所公園和三村的距 離要相等，請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出公園的位置。2. 若直角三角

18、形的兩股長(zhǎng)分別為2、6，試求其外心到 三個(gè)頂點(diǎn)的距離和。斜邊長(zhǎng) 外心到三頂點(diǎn)的距離和3（ ） 102 6 2 22211021033. ABC中，已知A60，B40，若O為ABC 的外心，試求BOC。如右圖，圓O為ABC的外接圓。O 為外心BOCBC2A120 4. ABC中，若A為鈍角，O為外心，且BOC162， 試求A。如右圖，圓O 為ABC 的外接圓。BACBOC162BDC360BAC198A BDC995. 如右圖，ABC 中， ，且 / ， 試證 B、C、E、D 四點(diǎn)共圓。 AB CD DE BC ，BC又 / ，CDEC180故BDEC180因此B、C、E、D 四點(diǎn)共圓。 AB

19、AC DE BC6. ABC 中，A60，B90，若O為外心，且 18，試求ABC 的面積。 OA OB OCO 為外心， 6 12ABC中，A60，B90，C30 ： ： 1： ：2 ： ：61： ：2 3， ABC OA OB OC AC AB BC AC AB BC AB BC21 AB BC239 3 3 33 在天才與勤奮之間，我毫不遲疑的選擇了勤奮，因?yàn)樗鞘篱g一切成就的催生者。愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）3G:Cyv-r&o#kXgTdP9M5I2E;Byv)r&n#kWgTcP9M5I2E;Bx=t(q$mZiVfSbO8K4H0D.zw-s*

20、o!lYhUeQaN6J3F:Czw-s*o!lXhUdQaM6J2F:Czv-s&o!kXhTdQaM6J2F:Bzv-r&o!kXhTdQ9M6I2F;Bzv-r&o#kXgTdP9M5I2F;Byv)r&n#kXgTdP9M5I2E;Bx=t(q$mZjVfSbO8K4H0D.zw-s*p!lYhUeQaN6J3F:Cyv)r&n#kWgTcP9L5I1E;Bx=t(q$mZiVfRbO7K4G0D.zw-s*o!lXhUdQaM6J3F:Czv-s&o!kXhUdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6I2F;Bzv-r&o#kXgTdQ9M6I2F;Byv)r&o#kXgT

21、dP9M5I2E;Bx=u(q%mZjVfSbO8K4H0D.zw+s*p!lYhUeQaN6J3F:Cyv)r&n#kWgTcP9L5I2E;Bx=t(q$mZiVfRbO8K4H0D.zw-s*o!lXhUdQaN6J3F:Czv-s*o!lXhUdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6J2F:Bzv-r&o#kXhTdQ9M6I2F;Byv-r&o#kXgTdP9M5I2E;Bx=u(q%mZjVfSbO8K4H1D.Aw+s*pXhTdQ9M6I2F;Bzv-r&o#kXgTdP9M5I2E;Byv)r&n#kWgTdP9M5I2E;Bx=t(q$mZiVfSbO8K4H0

22、D.zw-s*o!lYhUeQaN6J3F:Czw-s*o!lXhUdQaM6J2F:Czv-s&o!kXhTdQaM6J2F:Bzv-s&o!kXhTdQ9M6I2F;Bzv-r&o#kXgTdP9M6I2F;Byv)r&n#kXgTdP9M5I2E;Bx=t(q%mZjVfSbO8K4H0D.zw-s*p!lYhUeQaN6J3F:Cyv)r&n#kXgTdP9M5I2E;Bx=t(q%mZjVfSbO8K4H0D.zw+s*p!lYhUeQaN6J3F:Cyv)r&n#kWgTcP9L5I1E;Bx=t(q$mZiVfRbO7K4H0D.zw-s*o!lXhUdQaN6J3F:Czv-s

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