《固體物理》課件：ssp501

1、第五章第五章 金屬電子論基礎(chǔ)金屬電子論基礎(chǔ)經(jīng)典電子論假設(shè)金屬中存在著自由電子，自由電子和理想經(jīng)典電子論假設(shè)金屬中存在著自由電子，自由電子和理想氣體一樣服從玻耳茲曼分布，因此，金屬中的電子應(yīng)對熱容氣體一樣服從玻耳茲曼分布，因此，金屬中的電子應(yīng)對熱容有貢獻(xiàn)，并且其大小應(yīng)和晶格振動熱容相比擬，但是實(shí)驗(yàn)并有貢獻(xiàn)，并且其大小應(yīng)和晶格振動熱容相比擬，但是實(shí)驗(yàn)并沒有察覺金屬有這樣一部分額外的熱容；沒有察覺金屬有這樣一部分額外的熱容；另外，按照經(jīng)典理論，金屬中的自由電子由于不斷的碰撞，另外，按照經(jīng)典理論，金屬中的自由電子由于不斷的碰撞，其自由程應(yīng)該很短，但是，實(shí)際上金屬中的電子又具有很長其自由程應(yīng)該很短，但是

2、，實(shí)際上金屬中的電子又具有很長的自由程，經(jīng)典理論也不能給予解釋。的自由程，經(jīng)典理論也不能給予解釋。按量子統(tǒng)計理論，電子是費(fèi)米子，服從費(fèi)米狄拉克分布。按量子統(tǒng)計理論，電子是費(fèi)米子，服從費(fèi)米狄拉克分布。按能帶論，對電子有，如果不存在外場，金屬按能帶論，對電子有，如果不存在外場，金屬中的電子將保持在一個本征態(tài)中，因而自由程是無限的，當(dāng)然，中的電子將保持在一個本征態(tài)中，因而自由程是無限的，當(dāng)然，晶體中的周期性勢場并不是嚴(yán)格的周期場，因而電子的自由程晶體中的周期性勢場并不是嚴(yán)格的周期場，因而電子的自由程實(shí)際是有限的。實(shí)際是有限的。本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：費(fèi)米分布和電子熱容問題，電子輸運(yùn)問題。費(fèi)米分布和電子熱

3、容問題，電子輸運(yùn)問題。dtkdF5.1 費(fèi)米分布和電子熱容量費(fèi)米分布和電子熱容量一、費(fèi)米分布函數(shù)一、費(fèi)米分布函數(shù)能帶論方法是一種單電子近似，每個電子的運(yùn)動被近似能帶論方法是一種單電子近似，每個電子的運(yùn)動被近似看作是獨(dú)立的，電子具有一系列確定的本征態(tài)，用看作是獨(dú)立的，電子具有一系列確定的本征態(tài)，用k來表示來表示不同的本征態(tài)，晶體中電子系統(tǒng)的宏觀態(tài)可以由電子在各本不同的本征態(tài)，晶體中電子系統(tǒng)的宏觀態(tài)可以由電子在各本征態(tài)的統(tǒng)計分布來描述。對于系統(tǒng)的平衡態(tài)，用費(fèi)米分征態(tài)的統(tǒng)計分布來描述。對于系統(tǒng)的平衡態(tài)，用費(fèi)米分布描述布描述11)()(TkEEBFeEff(E)為能量為為能量為E的狀態(tài)被電子占據(jù)的幾率

4、，其中的狀態(tài)被電子占據(jù)的幾率，其中EF稱為費(fèi)米稱為費(fèi)米能級，由系統(tǒng)的總電子數(shù)確定能級，由系統(tǒng)的總電子數(shù)確定NEfii)(對對f(E)當(dāng)當(dāng)E=EF時，時，f(E)=1/2當(dāng)當(dāng)E比比EF高幾個高幾個kBT時，時，f(E)當(dāng)當(dāng)E比比EF低幾個低幾個kBT時，時，f(E)在在T 0K時，轉(zhuǎn)變的區(qū)域變窄，所有時，轉(zhuǎn)變的區(qū)域變窄，所有E0，VB0A中電子能量變化為中電子能量變化為qVA0，能級上升了，能級上升了-qVB使使A,B的費(fèi)米能級接近或拉平。的費(fèi)米能級接近或拉平。)(1)(ABBAABBAWWqVVWWqVqV接觸電勢差接觸電勢差EFEFWAWBAB05.3 分布函數(shù)和玻耳茲曼方程分布函數(shù)和玻耳茲

5、曼方程k)()(kEkEEj如果在晶體中加上外電場，很快就會形成一穩(wěn)定的電流，如果在晶體中加上外電場，很快就會形成一穩(wěn)定的電流，zyxdkdkdkV3)2(2kk費(fèi)米分布函數(shù)是平衡態(tài)的統(tǒng)計分布，費(fèi)米分布函數(shù)是平衡態(tài)的統(tǒng)計分布， 其對其對是對稱的，是對稱的，因?yàn)橐驗(yàn)?，而，而f(E)只是只是E的函數(shù)。的函數(shù)。 對于對于和和電流電流)(kvq)( kvq和和是相反的，恰好相互抵消。是相反的，恰好相互抵消。這個穩(wěn)定的電流實(shí)際上反映，在恒定外場作用下，電子達(dá)這個穩(wěn)定的電流實(shí)際上反映，在恒定外場作用下，電子達(dá)到一個新的定態(tài)統(tǒng)計分布，這個定態(tài)分布也可以用一個與平衡時到一個新的定態(tài)統(tǒng)計分布，這個定態(tài)分布也可以

6、用一個與平衡時相似的分布函數(shù)來描述，在相似的分布函數(shù)來描述，在dkxdkydkz內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目為內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目為)(kf單位體積的晶體內(nèi)在單位體積的晶體內(nèi)在dkxdkydkz內(nèi)的電子數(shù)為內(nèi)的電子數(shù)為zyxdkdkdkkf3)2(2)()(kvzyxdkdkdkkfkvq3)2(2)()(這些電子的速度為，對電流的貢獻(xiàn)為這些電子的速度為，對電流的貢獻(xiàn)為積分得到總的電流密度為積分得到總的電流密度為3)2()()(2zyxdkdkdkkvkfqj因此，一旦確定了分布函數(shù)，就可以直接計算電流密度。因此，一旦確定了分布函數(shù)，就可以直接計算電流密度。Eqdtkd)(kf引起分布函數(shù)變化的原因：引起分布函數(shù)變化

7、的原因：(1). 外場所引起的外場所引起的f(k)的漂移的漂移處在外電場中，處在每一狀態(tài)的電子都有處在外電場中，處在每一狀態(tài)的電子都有因此電場的存在使電子的因此電場的存在使電子的k發(fā)生變化，描述電子所處狀態(tài)的發(fā)生變化，描述電子所處狀態(tài)的也要發(fā)生變化，這是由于外場存在所引起的統(tǒng)計分也要發(fā)生變化，這是由于外場存在所引起的統(tǒng)計分布在布在k空間的漂移?？臻g的漂移。(2). 電子由于不斷遭到散射而改變運(yùn)動狀態(tài)，進(jìn)而引起分電子由于不斷遭到散射而改變運(yùn)動狀態(tài)，進(jìn)而引起分布函數(shù)的變化。布函數(shù)的變化。碰撞漂移tftftf1. 漂移項(xiàng)漂移項(xiàng)空間中，空間中，t時刻在（時刻在（r,k）附近單位體積中的電子是由）附近單

8、位體積中的電子是由t-dt時刻在（時刻在（r-vdt,k-(dk/dt)dt)處單位體積中的電子漂移而來處單位體積中的電子漂移而來),(),(dttdtkkdtvrftkrffkfvtttkrftttkktvrftttkrftkrftfktt),(),(),(),(limlim00漂移1. 碰撞項(xiàng)碰撞項(xiàng)由于晶格振動或者雜質(zhì)的存在等原因，電子不斷地發(fā)生從由于晶格振動或者雜質(zhì)的存在等原因，電子不斷地發(fā)生從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的躍遷，這種躍遷將引起分一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的躍遷，這種躍遷將引起分布函數(shù)的改變。用表示單位時間由躍遷到布函數(shù)的改變。用表示單位時間由躍遷到的幾率，具體考慮內(nèi)的粒子數(shù)的幾率，具

9、體考慮內(nèi)的粒子數(shù)kttkfkdkkkdtkf),(1 )2(),()2(),(233zyxdkdkdkkd),(kkt3)2(),(2kdtkfkkk一方面這些粒子將由于向所有其它狀態(tài)躍遷而減少，在一方面這些粒子將由于向所有其它狀態(tài)躍遷而減少，在時間內(nèi)躍遷到所包含的狀態(tài)中的粒子數(shù)為時間內(nèi)躍遷到所包含的狀態(tài)中的粒子數(shù)為kkd tkdkdk把上式對所有狀態(tài)積分就得到由于躍遷而減少的粒子把上式對所有狀態(tài)積分就得到由于躍遷而減少的粒子總數(shù)為總數(shù)為ttkfkdkkkdtkf),(1 )2(),()2(),(233另一方面還由于從所有其它狀態(tài)躍遷到中的粒子使另一方面還由于從所有其它狀態(tài)躍遷到中的粒子使內(nèi)的

10、粒子數(shù)增加內(nèi)的粒子數(shù)增加kd)2(2()2(),(),(1),(33tkdkdkktkftkf以上兩式之差就是時間內(nèi)內(nèi)粒子數(shù)的變化以上兩式之差就是時間內(nèi)內(nèi)粒子數(shù)的變化tkdabkdtkf33)2(2)()2(),(233)2(),(),(1),()2(),(),(1),(kdkktkftkfakdkktkftkfbabtf碰撞abfkfvtfk一般形式的玻耳茲曼方程為一般形式的玻耳茲曼方程為對于定態(tài)問題，如恒定的電磁場的情況下，對于定態(tài)問題，如恒定的電磁場的情況下，玻耳茲曼方程為玻耳茲曼方程為abfkfvk0tf0f如果如果f與位置無關(guān)（不存在空間不均勻的情況）與位置無關(guān)（不存在空間不均勻的情

11、況）abkfEqEqdtkdabfkkk)(又5.4 馳豫時間近似和電導(dǎo)率公式馳豫時間近似和電導(dǎo)率公式abkfEqk)(碰撞項(xiàng)碰撞項(xiàng)b-a包含未知的分布函數(shù)，因此，玻耳茲曼方程是包含未知的分布函數(shù)，因此，玻耳茲曼方程是一個積分微分方程。在實(shí)際中都采用近似方法求解，一個一個積分微分方程。在實(shí)際中都采用近似方法求解，一個被被廣泛引用的近似方法是假定碰撞項(xiàng)可以寫成下列簡單的形廣泛引用的近似方法是假定碰撞項(xiàng)可以寫成下列簡單的形式式)(0kffab其中其中f0為平衡時的費(fèi)米分布函數(shù)，為平衡時的費(fèi)米分布函數(shù)，是引入的一個參量，稱是引入的一個參量，稱為為馳豫時間馳豫時間，它是，它是k的函數(shù)。這個假定的一般依

12、據(jù)是考慮到的函數(shù)。這個假定的一般依據(jù)是考慮到碰撞碰撞促使系統(tǒng)趨向平衡態(tài)促使系統(tǒng)趨向平衡態(tài)這一基本特點(diǎn)。這一基本特點(diǎn)。如果，狀態(tài)原來是不平衡的如果，狀態(tài)原來是不平衡的00)( fffttefffAffftAeffctfffftf0000000)()(,)(, 0,)ln(0)( f表示對平衡的偏離，當(dāng)只有碰撞作用時，應(yīng)很表示對平衡的偏離，當(dāng)只有碰撞作用時，應(yīng)很快地消失?？斓叵?。0)( f0)(ffkfEqk210ffff玻耳茲曼方程變?yōu)椴６澛匠套優(yōu)榉匠痰慕饩褪谴嬖陔妶鰰r定態(tài)分布函數(shù)方程的解就是存在電場時定態(tài)分布函數(shù)f，f將是電場將是電場E的的函數(shù)，把函數(shù)，把f按按E的冪級數(shù)展開的冪級數(shù)展開

13、f1,f2分別代表包含電場分別代表包含電場E的一次冪、二次冪的一次冪、二次冪，代入方程得代入方程得2110fffEqfEqkk)()(00012110EfkvEqEfkEEqfEqfffEqffEqkkkk在一般電導(dǎo)問題中，電流與電場強(qiáng)度成正比，相當(dāng)于弱在一般電導(dǎo)問題中，電流與電場強(qiáng)度成正比，相當(dāng)于弱場情況，此時分布函數(shù)只需考慮到場情況，此時分布函數(shù)只需考慮到E的一次冪的一次冪10fff3023131303)2()()(2)2()(20)2()(2)2()(2)2()(2zyxzyxzyxzyxzyxdkdkdkEfkvEkvqdkdkdkkvfqdkdkdkkvfqdkdkdkkvfqdkd

14、kdkkv fqj302)2()()(2zyxzzyyxxzyxzyxdkdkdkEfvEvEvEkvjvivqkjjjij302302)2()()()(2)2()(2zyxzxzyxyxxxzyxzzyyxxxxdkdkdkEfkvkvkqEjEEEdkdkdkEfvEvEvEvqj對于對于各向同性各向同性的情形，假定導(dǎo)帶電子基本上可以用單一有效的情形，假定導(dǎo)帶電子基本上可以用單一有效質(zhì)量描述質(zhì)量描述*2)(22mkkE*)(1mkkEkv的方向無關(guān)與kk)(3022)2()()*(2zyxdkdkdkEfkkkmqkk ,積分式中除外，都是球?qū)ΨQ的，如果積分式中除外，都是球?qū)ΨQ的，如果積分

15、內(nèi)函數(shù)為奇函數(shù)，積分內(nèi)函數(shù)為奇函數(shù)，dEEfkkmqdkEfkkmqdkdkdkEfkkkkmqzyxzyx)(*3)2()(*38)2()()()*(32)(31)( , 00322304222302222233221100332211)(3*023200kkmq0kFEE 其中表示時的其中表示時的k值值*2202mkEFnVNkNkVkV23023033033)2(342*)(2mEnqF5.5 費(fèi)米面的構(gòu)造費(fèi)米面的構(gòu)造N個電子的基態(tài)，是從能量最低的個電子的基態(tài)，是從能量最低的k態(tài)開始，態(tài)開始，由低到高依次填充而得到。電子占據(jù)區(qū)域形成一由低到高依次填充而得到。電子占據(jù)區(qū)域形成一個球，一般稱

16、為費(fèi)米球。在個球，一般稱為費(fèi)米球。在k空間中將占據(jù)態(tài)與空間中將占據(jù)態(tài)與未占據(jù)態(tài)分開的界面，稱為未占據(jù)態(tài)分開的界面，稱為費(fèi)米面費(fèi)米面。費(fèi)米面附近。費(fèi)米面附近電子的行為決定了如電子熱容量，電阻率等的大電子的行為決定了如電子熱容量，電阻率等的大小。小。以以正方格子正方格子為例說明費(fèi)米面的構(gòu)造方法。為例說明費(fèi)米面的構(gòu)造方法。222233333333一、自由電子的費(fèi)米面一、自由電子的費(fèi)米面. 擴(kuò)展布里源區(qū)擴(kuò)展布里源區(qū) =1;2,3;4,5,mkkE2)(22a9585 . 1a2)24(k4,a823 . 1a2)23(k3,a1282. 1a2)22(k2,a7979. 0a2)21(k1,a2)2(

17、k)(N,)2(Na)(22102102102102102220為每個原胞的電子數(shù)k2簡約布里源區(qū)（簡約布里源區(qū)（ =2,3）第一能帶第一能帶第二能帶第二能帶二、近自由電子的費(fèi)米面二、近自由電子的費(fèi)米面( =2,3)第二能帶第二能帶第一能帶第一能帶1. 電子與晶格周期勢場的相互作用在布里源區(qū)邊界處產(chǎn)生能隙；電子與晶格周期勢場的相互作用在布里源區(qū)邊界處產(chǎn)生能隙；2. 費(fèi)米面幾乎總是與布里源區(qū)邊界垂直地交截；費(fèi)米面幾乎總是與布里源區(qū)邊界垂直地交截；3. 晶格周期勢場使費(fèi)米面的尖銳角隅圓滑化；晶格周期勢場使費(fèi)米面的尖銳角隅圓滑化；4. 費(fèi)米面所包圍的體積僅依賴于電子濃度。費(fèi)米面所包圍的體積僅依賴于電子濃度。zyxa4aakanV