[高二]第十三屆希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽試題

1、第十三屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二 第一試一、選擇題（以下每題的四個選項(xiàng)中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母填在每題后面的圓括號內(nèi)）1、已知關(guān)于x的方程x2-4x+a=0和x2-4x+b=0 (a,bR,ab)的四個根組成首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，則a+b的值等于( )A.2 B.-2 C. 4 D. 42、函數(shù)y=g(x)的圖象與y=f(x)=arccos(x-1)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則y=g(x)解析式是（ ）A.arccos(x+1)- B.arccos(x+1)+C.-arccos(x+1) D.-arccos(x+1)3.在以下關(guān)于向量的命題中，不正確的命題是（）A.若向量，向

2、量，則 B.四邊形ABCD是菱形的充要條件是且 C.若點(diǎn)G是ABC的重心，則 D. ABC中，的夾角等于180°-A4.某個命題與自然數(shù)n有關(guān).如果當(dāng)n=k(kN)時,該命題成立,m則可推出n=k+1時該命題也成立?，F(xiàn)已知當(dāng)n10時該命題不成立，那么可推得( )A. 當(dāng)n=11時,該命題不成立. B.當(dāng)n=11時,該命題成立C. 當(dāng)n=9時,該命題不成立 D.當(dāng)n=9時, 該命題成立5.如圖1,設(shè)ABC-A1B1C1是直三棱柱,AB=AC,BAC=90°,M,Q分別是CC1、BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在A1B1上且A1P:PB1=1:2. 如果AA1=AB,則AM與PQ所成的角等于(

3、 )A.90° B. C. 60° D. 30°6Let functions attain the equal minimum at the same point of the interval 1,2,Then minimum of p2-6q is ( ) A. -9 B. -8 C. not existing D. undetermined.7.函數(shù)的值域是 ( ) A. B. C. D. 8.等差數(shù)列中，已知3a5=7a10,且a1<0,則前幾項(xiàng)和S n(nN)中最小的是( )A. S 7或S 8 B. S 12 C. S 13 D. S 159在直

4、角坐標(biāo)平面內(nèi)，A點(diǎn)在(4，0)，B點(diǎn)在圓(x-2)2+y2=1上，以AB為邊作正三角形ABC(A、B、C按順時針排列)，則頂點(diǎn)C的軌跡是 ( )A. 圓 B. 橢圓 C. 拋物線 D. 雙曲線的一支10過橢圓的一個焦點(diǎn)F作與橢圓長軸的夾角為的直線，交橢圓于A、B兩點(diǎn)。若，那么橢圓的離心率等于( )A. B. C. D. 二、A組填空題11當(dāng)時，和的大小關(guān)系是 12凸四邊形ABCD中，DCAB，AD=BC=CD=1，AB=2。以它的一邊為軸旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大可達(dá)到 13記號x表示不超過x的最大整數(shù)，則方程的解是 14已知兩個等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和S n，T n的比。用n表示，則 15使為純

5、虛數(shù)的正整數(shù)n的最小值等于 16為使函數(shù)的值恒為正，則參數(shù)在區(qū)間(0，)上的取值范圍是 17已知函數(shù)滿足f(-1)>0，且方程f(x)=0有三個根0、1、2，那么c的取值范圍是 18拋物線和x軸交于A、B兩點(diǎn)，動圓M過點(diǎn)A、B且和y軸切于點(diǎn)C，O是原點(diǎn)，則的取值范圍是 19從點(diǎn)P(2a,0)看橢圓上兩點(diǎn)，最大的視角為2，則的值等于 20There are two travel projects from Beijing to Santiago, Chile: (A) Flying westward (向西) to New York, then flying southward to Sa

6、ntiago; (B) Flying southward from Beijing to Friemander, Australia, then flying westward to Santiago. The geographic positions of these four cities may be approximately considered as: Beijing (120°east longitude, 40°north latitude), New York(70°east longitude, 40°north latitude),

7、 Friemander(120°east longitude, 30°north latitude), Santiago(70°east longitude, 30°north latitude), Suppose that the air lines go along the spherical distance, then the projest of the shorter distance is 三、B組填空題21若方程有三個不相等的實(shí)數(shù)根，則a= 22已知點(diǎn)A(3，1)，點(diǎn)M，N分別在直線y=x和y=0上，當(dāng)AMN的周長最小時，點(diǎn)M的坐標(biāo)是 ，

8、點(diǎn)N的坐標(biāo)是 23數(shù)列滿足遞推關(guān)系，且首項(xiàng)a1=5，則通項(xiàng)公式an= = 24若a-1，則不等式的解是 25某工廠安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)。已知每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品需要原材料A、B、C、D的數(shù)量分別是1噸、2噸、2噸、7噸；每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品需要原材料A、B、D的數(shù)量分別是1噸、4噸、1噸。由于原材料的限制，每個生產(chǎn)周期只能供應(yīng)A、B、C、D四種原料分別為80噸、80噸、60噸、70噸。若甲、乙產(chǎn)品每噸的利潤分別為2百萬元和3百萬元。要想獲得最大的利潤，應(yīng)該在每個生產(chǎn)周期安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品 噸，期望的最大利潤是 百萬元。答 案一、選擇題 1、B 2、A 3、C 4、C 5、A 6、B 7、B 8、C 9

9、、A 10、D二、A組填空題 11、p>q 12、 13、4，5 14、 15、3 16、 17、(-，0) 18、(0，2) 19、 20、(A)三、B組填空題 21、 22、 23、 24、 25、 第十三屆“希望懷”全國數(shù)學(xué)邀請賽第2試試題(高二)2002年4月21日 上午8：30至10：30高中二年級 (適用新教材)一. 選擇題（以下每題的四個選項(xiàng)中，僅有一個是正確的） 1. 設(shè)x，y滿足，則的取值范圍是（ ） A. ，B. ，6 C. 6，8D. 6， 2. 方程的實(shí)根分別為，則等于（ ） A. B. C. D. 1 3. 函數(shù)的值域是（ ） A. （B. （ C. ）D. ）

10、 4. 四面體ABCD的各面都是銳角三角形，且， 。平面分別截棱AB、BC、CD、DA于點(diǎn)P、Q、R、S，則四邊形PQRS的周長的最小值是（ ） A. 2a B. 2b C. 2c D. 5. 從空間一點(diǎn)引三條不共面的射線，則以每條射線為棱的三個二面角的和的取值范圍是（ ） A. （）B. （） C. （）D. （） 6. 已知橢圓上有三點(diǎn)（，）（1，2，3），它們到同一個焦點(diǎn)的距離分別是，則，成等差數(shù)列的充要條件是（ ） A. ，成等差數(shù)列 B. ，成等差數(shù)列 C. 上述（A）、（B）同時成立 D. （A）、（B）以外的條件 7. 若不等式對所有正實(shí)數(shù)a，b都成立，則m的最小值是（ ） A.

11、 2 B. C. D. 4 8. 不等式的解集是（ ） A. B. ， C. （， D. ， 9. 將3個半徑為1的球和一個半徑為的球疊為兩層放在桌面上，上層只放一個較小的球，四個球兩兩相切，那么上層小球的最高點(diǎn)到桌面的距離是（ ） A. B. C. D. 10. Given two sequences 、 with positive terms, let be arithmetic with the common difference ，let be the length of the line segment cut by the parabola （）from the . Then （

12、） （英漢小字典：common difference 公差；parabola拋物線；：軸） A. B. C. D. 二. 填空題 11. 已知是區(qū)間，2上的增函數(shù)，且，若對所有的，2和，1恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_。 12. 已知方程在上有兩個根，則_。 13. 設(shè)分別是方程在區(qū)間（0，）上的解，則它們的大小關(guān)系是_。 14. 已知均為銳角，且，則的最大值等于_。 15. 已知定直線上有三點(diǎn)A，B，C，。動圓O恒與相切于點(diǎn)B，則過A、C且都與O相切的直線、的交點(diǎn)P的軌跡是_。 16. 復(fù)數(shù)z滿足條件，則的取值范圍是_。 17. 拋物線系在平面上不經(jīng)過的區(qū)域是_，其面積等于_。 18. Gi

13、ven the function and 。If there must exist at least one real number c such that . Then the range of p is _。 19. 在四面體ABCD中，面BAC、CAD、DAB都是以A為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且腰長為a。過D作截面DEF交面ABC于EF，若，且將四面體的體積二等分，則面DEF與面BCD的夾角等于_。 20. 長為（）的線段AB的兩端在拋物線上滑動，則線段AB的中點(diǎn)M到x軸的最短距離等于_。三. 解答題 21. 從半徑為1的圓鐵片中去掉一個半徑為1、圓心角為x的扇形，將余下的部分卷成無蓋圓錐

14、。 （1）用x表示圓錐的體積V； （2）求V的最大值。 22. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，以點(diǎn)A（，0）為圓心，為半徑的圓在x軸的上方與拋物線交于M、N兩點(diǎn)。 （1）求證：點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)，且過F的橢圓上。 （2）設(shè)點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，是否存在這樣的a，使得的等差中項(xiàng)？如果存在，求a的值；如果不存在，說明理由。 23. 用水清洗一堆水果上殘存的農(nóng)藥，假定用1個單位的水可清洗掉水果上殘存農(nóng)藥量的50%。用水越多，清洗越干凈，但總還有極少量農(nóng)藥殘存在水果上。設(shè)用x個單位的水清洗一次水果后，殘存的農(nóng)藥量與本次清洗前殘存的農(nóng)藥量之比記為函數(shù)。 （1）請規(guī)定的值，并說明其實(shí)際意義。 （2）寫出滿足的條件和

15、具有的性質(zhì)。 （3）設(shè)，現(xiàn)有個單位的水，可以清洗一次，也可以把水等分成2份后清洗兩次，說明哪種方案能使水果上殘存的農(nóng)藥量較少。 參考答案： 1. D2. A3. D4. B5. C 6. B7. C8. A9. A10. A 11. 12. 13. 14. 15. 去掉兩個頂點(diǎn)的雙曲線 16. 17. ； 18. （）19. 20. 21. （1）設(shè)卷成的無蓋圓錐體的底面半徑為r，高為h， 則有 ， 其中 ， 所以 所以 所以，（） （2）由（1）知， 其中：當(dāng)，即時， 也即 時，V取得最大值， 所以 V的最大值為 22. （1）因?yàn)?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0），拋物線的焦點(diǎn)為F（a，0），準(zhǔn)線為， 所以 所以 以A為圓心，|FA| 為半徑的圓在x軸的上方的方程為 ，（） 由 得 設(shè)M（），N（）（其中：()均為正數(shù)），則有 又 拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離相等 所以 因?yàn)辄c(diǎn)F、M、N均在A上， 所以， 因?yàn)?，?所以點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)且過F的橢圓上 （2）假設(shè)存在滿足條件的a，則有 ，即 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），則有 由，得 化簡，得 所以，與矛盾 故不存在滿足條件的，即不存在值，使得點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，且|FP|是|FM|與|FN|的等差中項(xiàng)。 23. （1）設(shè)，表示未清洗時水果上殘留的農(nóng)藥量。 （2）滿足： ， 具有的性質(zhì)： 在，）上單調(diào)遞減，且