梅涅勞斯定理與塞瓦定理

1、精品塞瓦定理設(shè)O是那BC內(nèi)任意一點,AB、BO、CO分另1J交對邊于D、E、F,貝UBD/DC*CE/EA*AF/FB=1(I)本題可利用梅內(nèi)勞斯定理證明:.ADC被直線BOE所截,CB/BD*DO/OA*AE/EC=1而由4ABD被直線COF所截，BC/CD*DO/OA*AF/DF=1+:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1(n)也可以利用面積關(guān)系證明.BD/DC=S必BD/SMCD=S旭OD/SZCOD=(SAABD-S旭OD)/(SAACD-SZCOD)=SAAOB/SAAOC同理CE/EA=S2OC/SMOBAF/FB=SMOC/S旭OCXX得BD/DC*CE/EA*AF/FB

2、=1塞瓦定理:設(shè)P、Q、R分另1J是ABC的BC、CA、AB邊上的點，貝UAP、BQ、CR三線共點BPCQAR的充要條件是：1PCQARB證：先證必要性：設(shè)AP、BQ、CR相交于點M,則:BPS abpPC S ACP以上三式相乘,SBMPSABM同理.CQSBCMSCMPSACMQASABMAR S ACMRB Sbcm汨BPCQAR彳得：=1PCQARB再證充分性：若BPCQAR1,設(shè)ap與BQ相交于M,且直純CM交AB于R1/。/1PCQARB-振由塞瓦定理有：空CQ1,于是：組=空因為R和R都在線PCQARBRBRB段AB上，所以R必與RS合，故AP、BQ、CR相交于一點點M；例1:證

3、明：三角形的中線交于一點;證明：記ABC的中線AApBB1,CC1,我們只須證明ACiBA1CBi1C1BACB1A而顯然有：AC1C1B,BA1AC,CB1B1A【練習(xí)1】證明：三角形的角平分線交于一點;【練習(xí)2】證明：銳角三角形的高交于一點；例2：在銳角ABC中，角C的平分線交于AB于L,從L作邊AC和BC的垂線，垂足分別是M和N,設(shè)AN和BM的交點是一P,證明：CPABB即也旦A1阻1成立，ABC交于一點;C1B AC B1AP點，要證CK、BM、AN三線共點,證：作CKAB 下證CK、BM、AN三線共點，且為依塞瓦定理即要證明：即要證:AM BKAK NBAMMC1 QBKNBBKCB

4、NL精品依三角形的角平分線定理可知：旦ACBCBLCK、BM、AN三線共點，且為 P點 CPAB例3.設(shè)AD是ABC的高，且D在BC邊上，若P是AD上任一點，BP、CP分另與AC、AB交于 E和 F,貝U EDA= FDA證：過A乍AD的垂線，與DE、DF的延長線分別 交于M、N。欲證 EDA可以轉(zhuǎn)化為證明AM ANQ ADAMCDBC 故MNBC,可得 AME CDE, ANF BDFAE AN AFAE CD AKI,，于是AM ,ANCE BD BFCEQ AD、BE、CF共點于P,根據(jù)塞瓦定理可得：-BDDCAF BDBFCE AFEA FBNDCA ”,AE CDCEAF BD AM

5、BFAN EDA FDA【練習(xí)31已知ABC外有三點ABRACN BCMM、N、R,且 BAR,證明：AM、BN、CAN ,CR三線共點;例4.在ABC的邊BC、CA、AB上取點A、Bp Cv證明：ACiCiB證：如圖對BA CBi sin ACCi sin BAAi sinCBBiAC BiA sin CiCB sin AAC sin BiBAACCi和BCCi應(yīng)用正弦定理，可得：ACic1csinACCi CCi同理:sin A CiB BA sin BAA AC sin AACsin B 即:sin C1CBACi sin ACCiC1B sin CiCB從而也的阻sinsin C si

6、n B ACCiCB1 sin CBB1 sin AB1Asin B1 BA sin CC1B AC B1A sin C1CBsin BAA sin CBB1 sin AAC sin BiBACBM，一BCBisin sinBA感謝下載載【練習(xí)4】在ABC的邊BC、CA、AB上取點A、BG,使AA、BBPCCi相交于一點,證明，關(guān)于角平分線對稱于這些直線的直線AA2、BB2、CC2也相交于一點；課外作業(yè)：1 .設(shè)A1、BP6是ABC的內(nèi)切圓與邊BC、CA、AB的切點，證明：直線AA、BBPCC1三線共點；2 .從圓上的點A、D引切線，相交于點S。在AD弧上取點B和C,直線AC和BD相交于P,A

7、B和CD相交于點Q,證明，直線PQ過點S;3 .在ABC的邊上向外作正方形，A、B、G是正方形的邊BC、CA、AB的對邊的中點,證明，直線AA、BBPCC1相交于一點；練習(xí)1答案：證：記 ABC的角平分線分別是 AA,BBi,CCi,QACi bCiBaBAACCBiBiAACi BAi CBiCiB AC練習(xí)2答案:1三角形的角平分線交于一點;BiA證：記銳角 ABC的角平分線分別是 AAi.BBi.CCi)設(shè) CB1= x,那么 AB1= b x,則：c2(bx)22BBi a2則：BiA222cb 同理可得:2BA2b22一 的ACib2銳角三角形的三條高交可2 2 b a2a占八、)2

8、cACi BAiCB ACCiBCBiBiA練習(xí)3的答案：證：設(shè) AM與BC交于M', BN與AC交于N'CR與 AB交于R',ABC的三個內(nèi)角分別 記為A、B、 CBMCMS abm ABsin BAM /ACsin CAMAB BM sin( A )AC CM sin( C )iAMLAM即 _BM = ABsinsin( B).CMT AC sin sin( C)同理.CN '_ BCsin sin(222a c I-b2cABsincCBix2 aB )b2 2bsin(AC sin sin( C )AR _ CAsin sin( AAN' BA

9、sin sin( A )BR CBsin sin( B )BM'CN'AR'將以上三式子相乘可得：=i,根據(jù)塞瓦定理可知：AM'、BN'、CR'三點共線CM'AN'BR'練習(xí)4的答案：證:QA"B2、C2位于ABC的邊上，根據(jù)例4的結(jié)論有：AC2弛CB2sinACC2sinBAA2sinCBB2C2BA2cB2AsinC2CBsinA2ACsinB2BA又QAA2、BB2、CC2關(guān)于角平分線對稱于AA、BBi>CCi,則sinACC2sinBAA2sinCBB2sinC2CBsinA2ACsinB2BAsi

10、nCQBsinAACsinBBAsinACCisinBAAsinCBBiACC2CiCB,ACCiC2CB,CiBACBiAACiBACBiAC2 BA2 CB2 從而C2B A2C B2AAA2、BB2、CC2三線共點課后練習(xí)答案:1 .證：顯然AC1B1A,BACiB,CBi AC也叫阻1即：AA、CiB AiC BiAc F sin ASP sin DAP sin SPP2 .證：sin PSC sin PAS sin PPABBi、CCi三線共點, sin ASQ sin CAQ isin QSC sin QASsin SDQsin QDA又 DAPSDQ , SDP DAQ , PA

11、SQDA , PDA QASsin ASP sin ASQ sin PSD sin QSDS、P、Q位于一條直線上3 .證：記直線 AAp BB1、CC1與邊 BC、CA、AB的交點分別為 A2、B2、C2BA2 S ABAiABBAisinABAAB sin(B)A2C S ACAiACCA1sinACA1AC sin(C)其中=CBA1BCA1 arctan 2同理 CBm BCsin(C)AC2ACsin(A). B2A ABsin(A)C2BBCsin(B)將上面三條等式相乘可得：ba2 cb2 ac2a2c b2a c2bAA1、BB1、CC1 共點賽瓦(ceva)定理1點D、E,

12、F分別在aABC三條邊上,AF BD CE若AD、BE CF共點。，則奇麗每“丁口口-AFSaa&cBDSiftQB證月*FB=53=SaaocCE SabocEA SaboaAFBDCESmocSaaobSbog二xX=XX=1,FBDCEASieocSaaocSsoa賽瓦（ceva）定理的逆定理：點D,E、F分別在ABC三條邊上.=1,則AD、BE.CF共點。AF BD CEI- tj UL AAF BCT CEfbFcea二1,再由已知可得:證明:（同一法）設(shè)BE、CF交于點0,A0交BC于點D',由賽瓦定理，得:BDBD'BDBD'皿DC=D7C,Jr以

13、前二前故BD二BD，六D與D，兩點是同一點，定埋得證，說明：賽瓦定理的逆定理是證明線共點類問題的一把利器！如三角形中三條高、三條角平分線、三條中線共點都可以利用塞瓦定理的逆定理很輕松地解決。梅涅勞斯(Menelauss)定理士如圖！若一條直線與AABC的三條邊(或延長線)ADBECF分別交于點DEEjaij=1UtJUCMrACGCE_.ADAF*CEBD'EB'兩式相乘得：BD=CF«EB整理得:ADBECF1DBCEAF梅涅勞斯(Menelauss)定理的逆定理：如圖；aABC的三條邊(或延長線)上分別ADBECF有E、F、G三點,若LJDL匕Mi則D、F、E三點共線說明：恰當(dāng)?shù)倪x擇截線是應(yīng)用梅涅勞斯定理的關(guān)鍵.其逆定理常用于證明點共線，應(yīng)用很廣泛。解決比較復(fù)雜的問題時注意賽瓦定理與梅涅勞斯定理聯(lián)用。、選擇題1、如圖：設(shè)一直線與ABC的邊AB、AC及BCA第1題延長線分另1J交于X、Y、AX?BZ與AY的關(guān)系為XBZCCYAXBZA、AYXBZCCYAXBZAYXBZCCYC、AXBZXBZC不能確定2、如圖:設(shè)X、Y、Z分別是4ABC的邊BC、AC、AB上的