【金學(xué)案】高中數(shù)學(xué)（北師大版選修12精品學(xué)案第一章 統(tǒng)計(jì)案例 第2課時(shí) 回歸分析的應(yīng)用

1、第2課時(shí)回歸分析的應(yīng)用1.根據(jù)線性回歸方程,對相關(guān)結(jié)論進(jìn)行預(yù)測.2.理解從散點(diǎn)圖進(jìn)行非線性回歸分析的意義,掌握如何將非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題的方法.3.了解在解決實(shí)際問題的過程中尋找更好的模型的方法.重點(diǎn):根據(jù)線性回歸方程,對相關(guān)結(jié)論進(jìn)行預(yù)測,探究非線性模型通過變換轉(zhuǎn)化為線性回歸模型的方法.難點(diǎn):了解常用函數(shù)的圖像特點(diǎn),選擇不同的模型建模,并通過相關(guān)指數(shù)對不同的模型進(jìn)行比較.有關(guān)法律規(guī)定:香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語,那么吸煙和健康之間有因果關(guān)系嗎?每一個(gè)吸煙者的健康問題都是由吸煙引起的嗎?你認(rèn)為“健康問題不一定是由吸煙引起的,所以可以吸煙”的說法對嗎?要回答這個(gè)問題,我們

2、先來一起學(xué)習(xí)本節(jié)的知識吧!問題1:相關(guān)系數(shù)的概念及相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)r用來描述線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱,且樣本相關(guān)系數(shù)r=.r有如下性質(zhì):(1)|r|1; (2)|r|越接近于1,誤差Q越小,x,y的線性相關(guān)程度越強(qiáng); (3)|r|越接近于0,誤差Q越大,x,y的線性相關(guān)程度越弱; (4)當(dāng)r>0時(shí),稱兩個(gè)變量正相關(guān);當(dāng)r<0時(shí),稱兩個(gè)變量負(fù)相關(guān);當(dāng)r=0時(shí),稱兩個(gè)變量線性不相關(guān). 問題2:在回歸分析中,通過模型計(jì)算預(yù)測變量的值時(shí),應(yīng)注意的問題.(1)回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體; (2)我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性

3、; (3)樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍; (4)不能期望回歸方程得到的預(yù)測值就是預(yù)測變量的精確值. 問題3:幾種能轉(zhuǎn)化為線性回歸模型的非線性回歸模型(1)冪函數(shù)曲線y=axb作變換u=ln y,v=ln x,c=ln a,得線性函數(shù)u=c+bv. (2)指數(shù)曲線y=aebx作變換u=ln y,c=ln a,得線性函數(shù)u=c+bx. (3)倒指數(shù)曲線y=a作變換u=ln y,c=ln a,v=,得線性函數(shù)u=c+bv. (4)對數(shù)曲線y=a+bln x作變換u=y,v=ln x,得線性函數(shù)u=a+bv. 問題4:非線

4、性回歸問題進(jìn)行回歸分析的方法(1)若問題中已給出經(jīng)驗(yàn)公式,這時(shí)可以將解釋變量進(jìn)行交換(換元),將變量的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系,將問題化為線性回歸分析問題來解決. (2)若問題中沒有給出經(jīng)驗(yàn)公式,需要我們畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,通過與各種函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖像作比較,選擇一種與這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù),然后采用適當(dāng)?shù)淖兞拷粨Q,將問題化為線性回歸分析問題來解決. 從以下幾個(gè)方面認(rèn)識相關(guān)關(guān)系:(1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同.函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系;相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.(2)函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系,也可能是伴隨

5、關(guān)系.相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在,從某種意義上講,函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型,而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況.因此研究相關(guān)關(guān)系,不僅可以使我們處理更為廣泛的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題,還可以使我們對函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識上升到一個(gè)新的高度.一般情況下,在尚未斷定兩個(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系的情況下,應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn),在確認(rèn)其具有線性相關(guān)關(guān)系后,再求其回歸直線方程;由部分?jǐn)?shù)據(jù)得到的回歸直線,可以對兩個(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行估計(jì),這實(shí)際上是將非確定性的相關(guān)關(guān)系問題轉(zhuǎn)化成確定性的函數(shù)關(guān)系問題進(jìn)行研究.由于回歸直線將部分觀測值所反映的規(guī)律性進(jìn)行了延伸,它在情況預(yù)測、資料補(bǔ)充等方面有著廣泛的應(yīng)用.1.下列兩個(gè)變量

6、之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是().A.角度和它的余弦值B.正方形的邊長和面積C.正n邊形的邊數(shù)和各內(nèi)角度數(shù)之和D.人的年齡和身高【解析】函數(shù)關(guān)系就是一種變量之間的確定性的關(guān)系,A,B,C三項(xiàng)都是函數(shù)關(guān)系,它們的函數(shù)表達(dá)式分別為f()=cos,g(a)=a2,h(n)=n-2.D項(xiàng)不是函數(shù)關(guān)系,對于年齡確定的人群,仍可以有不同的身高,故選D.【答案】D2.為了表示n個(gè)點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上接近程度,我們常用()表示.A.(yi-y)B.(yi-)C.(yi-y)2D.(yi-)2【解析】由回歸直線方程y=a+bx,可知y為一個(gè)量的估計(jì)量,而yi為它的實(shí)際值,在最小二乘法中yi-(a+bx)2,即(y

7、i-y)2,故選C.【答案】C3.在一次實(shí)驗(yàn)中,測得(x,y)的四組值分別是A(1,2),B(2,3),C(3,4),D(4,5),則y與x之間的回歸直線方程為. 【解析】因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)都在直線y=x+1上,故填y=x+1.【答案】y=x+14.1907年一項(xiàng)關(guān)于16艘輪船的研究中,船的噸位區(qū)間位于192噸到3246噸,船員的人數(shù)從5人到32人,船員的人數(shù)關(guān)于船的噸位的回歸分析得到如下結(jié)果:船員人數(shù)=9.1+0.006×噸位.(1)假定兩艘輪船噸位相差1000噸,船員平均人數(shù)相差多少?(2)估計(jì)最小的船的船員數(shù)和最大的船的船員數(shù).【解析】(1)船員平均人數(shù)之差=0.

8、006×噸位之差=0.006×1000=6,即船員平均相差6人.(2)9.1+0.006×192=10.252,估計(jì)最小的船的船員數(shù)為10.9.1+0.006×3246=28.576,估計(jì)最大的船的船員數(shù)為28.利用公式,確定回歸直線方程某5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和化學(xué)成績?nèi)缦卤?學(xué)生學(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)成績(x)8876736663化學(xué)成績(y)7865716461(1)畫出散點(diǎn)圖;(2)求化學(xué)成績(y)對數(shù)學(xué)成績(x)的回歸直線方程.【方法指導(dǎo)】熟記公式,根據(jù)表格計(jì)算公式中所需的各種數(shù)據(jù).【解析】(1)散點(diǎn)圖(略).(2)=73.2,=67.8,xiyi=250

9、54,=27174,所以b=0.625.a=-b=67.8-0.625×73.2=22.05.所以y對x的回歸直線方程為y=0.625x+22.05.【小結(jié)】利用公式求解時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):求b時(shí)應(yīng)先求出,xiyi,再由a=-b求a的值,并寫出回歸直線方程.線性回歸方程中的截距a和斜率b都是通過樣本估計(jì)而來,存在著誤差,這種誤差可能導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果的偏差.回歸直線方程y=a+bx中的b表示x增加1個(gè)單位時(shí)y的變化量為b,而a是不隨x的變化而變化的量.可以利用回歸直線方程y=a+bx預(yù)測在x取某一個(gè)值時(shí),y的估計(jì)值.根據(jù)回歸直線方程,對結(jié)果進(jìn)行分析或預(yù)測從某大學(xué)中隨機(jī)選取 8 名女大學(xué)生,其

10、身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表:編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)測體重的回歸方程,并預(yù)測一名身高為 172 cm 的女大學(xué)生的體重.【方法指導(dǎo)】可以計(jì)算出r0.798.這表明體重與身高有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,從而可以建立身高和體重的線性回歸方程,根據(jù)身高和體重的線性回歸方程,由身高預(yù)測體重.【解析】由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)測體重,因此選取身高為自變量 x,體重為因變量 y.作出散點(diǎn)圖(如圖).從圖中可以看出,樣本點(diǎn)呈條狀分布,身高和體重有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,因此可以用線性回歸方程來近似刻畫它們之間

11、的關(guān)系,根據(jù)公式,可以得到b0.848,a-85.712.于是得到回歸方程y=0.848x-85.712.因此,對于身高172cm 的女大學(xué)生,由回歸方程可以預(yù)測其體重為y=0.848×172-85.712=60.144kg.【小結(jié)】解析中b=0.848是斜率的估計(jì)值,說明身高 x 每增加1個(gè)單位時(shí),體重y就增加0.848kg,這表明體重與身高具有正的線性相關(guān)關(guān)系.盡管身高172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.144kg,但一般可以認(rèn)為她的體重接近60.144kg.可線性化的非線性回歸問題一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間的7組觀測數(shù)據(jù)列于下表:溫度x/21232527293235產(chǎn)

12、卵數(shù)y/個(gè)711212466115325試建立y與x之間的回歸方程,并預(yù)測溫度為28 時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目.【方法指導(dǎo)】作出散點(diǎn)圖(或根據(jù)已知的散點(diǎn)圖)分析欲采用較為恰當(dāng)?shù)臄M合曲線,用換元法轉(zhuǎn)化成線性關(guān)系再進(jìn)行回歸分析.【解析】選擇變量,畫散點(diǎn)圖.在散點(diǎn)圖中,根據(jù)已有的函數(shù)知識,可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y=c1的周圍,其中c1和c2是待定參數(shù).即問題變?yōu)槿绾喂烙?jì)待定參數(shù)c1和c2.我們可以通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系.令z=lny,則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z=bx+a(a=lnc1,b=c2)的周圍.這樣,就可以利用線性回歸模型來建立 y 和 x 之間的非線性回歸方程了.由已知表

13、的數(shù)據(jù)可以得到變換后的樣本數(shù)據(jù)表(下表):x21232527293235z1.9463.3983.0453.1784.1904.7455.784下圖給出了表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.從圖中可以看出,變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線附近,因此可以用線性回歸方程來擬合.由表中的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程z=0.242x-2.884.相關(guān)系數(shù)r0.953.因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)對溫度的非線性回歸方程為y=e0.242x-2.884.當(dāng)x=28時(shí),y49.預(yù)測當(dāng)氣溫為28時(shí),產(chǎn)卵數(shù)為49個(gè).綜上所述,在本題中指數(shù)函數(shù)模型比一元線性模型、二次函數(shù)模型有更好的擬合效果.【小結(jié)】對于給定的樣本點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),(x

14、n,yn),其中 a 和 b 都是未知參數(shù).應(yīng)先根據(jù)散點(diǎn)圖或利用相關(guān)系數(shù)r判斷兩變量間是否存在線性相關(guān)關(guān)系,若兩變量線性相關(guān)性顯著,采用例1的方法進(jìn)行線性回歸分析;若兩變量線性相關(guān)性不顯著,則可采用例2的方法和步驟進(jìn)行擬合效果分析.在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕線實(shí)驗(yàn),得到腐蝕深度y與腐蝕時(shí)間t之間對應(yīng)的一組數(shù)據(jù):時(shí)間t(s)5101520304050607090120深度y(m)610101316171923252946試求腐蝕深度y對時(shí)間t的回歸直線方程.【解析】經(jīng)計(jì)算可得相關(guān)系數(shù)r0.982,所以可以認(rèn)為y與t之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.46.36,19.45,=36750,=5422,tiyi=

15、13910.b=0.3.a=-b=19.45-0.3×46.365.542.故所求的回歸直線方程為y=0.3t+5.542.一機(jī)器可以按各種不同的速度運(yùn)轉(zhuǎn),其生產(chǎn)物件有一些會有缺點(diǎn),每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)物件的多少隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)速度而變化,用x表示轉(zhuǎn)速(單位:轉(zhuǎn)/秒),用y表示每小時(shí)生產(chǎn)的有缺點(diǎn)物件個(gè)數(shù),現(xiàn)觀測得到(x,y)的4組觀測值為(8,5),(12,8),(14,9),(16,11).(1)假定y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系,求y對x的回歸直線方程;(2)若實(shí)際生產(chǎn)中所容許的每小時(shí)最大有缺點(diǎn)物件數(shù)為10,則機(jī)器的速度不得超過多少轉(zhuǎn)/秒.(精確到1轉(zhuǎn)/秒)【解析】(1)設(shè)回歸直線方程為y=bx

16、+a,=12.5,=8.25,=660,xiyi=438.于是b=,a=-b=8.25-×12.5=-×=-.故所求的回歸直線方程為y=x-.(2)由y=x-10,得x15,即機(jī)器速度不得超過15轉(zhuǎn)/秒.為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化時(shí),繁殖個(gè)數(shù)y的變化,收集數(shù)據(jù)如下:天數(shù)x/天123456繁殖個(gè)數(shù)y/個(gè)612254995190(1)用天數(shù)x作解釋變量,繁殖個(gè)數(shù)y作預(yù)測變量,作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;(2)建立解釋變量x與預(yù)測變量y之間的回歸方程.【解析】(1)所作散點(diǎn)圖如圖所示.(2)由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分析在一條指數(shù)函數(shù)y=c1的周圍,于是令z=lny,則x、z數(shù)據(jù)如下表格,x

17、123456z1.792.483.223.894.555.25由計(jì)算器得z=0.69x+1.112,r0.9999,則有y=e0.69x+1.112.1.給定x與y的一組樣本數(shù)據(jù),求得相關(guān)系數(shù)r=-0.990,則().A.y與x不相關(guān)B.y與x非線性相關(guān)C.y與x正相關(guān)D.y與x負(fù)相關(guān)【解析】因?yàn)閞<0,故選D.【答案】D2.下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是().A.角度和它的正切值B.人的右手一柞長和身高C.正方體的棱長和表面積D.真空中自由落體運(yùn)動物體的下落距離和下落時(shí)間【解析】由正切函數(shù)y=tanx知A是函數(shù)關(guān)系;人的右手一柞長和身高不是確定的關(guān)系,故B不是函數(shù)關(guān)系;設(shè)正方體

18、的棱長為a,則它的表面積S=6a2,C是函數(shù)關(guān)系;由物理知識知,自由落體運(yùn)動物體的下落距離h和下落時(shí)間t滿足h=gt2(t>0),D是函數(shù)關(guān)系.【答案】B3.已知回歸直線的方程為y=2-2.5x,則當(dāng)x=25時(shí),y的估計(jì)值是. 【解析】將x=25代入方程得y=2-2.5×25=-60.5.【答案】-60.54.某市統(tǒng)計(jì)19942021年在校中學(xué)生每年高考考入大學(xué)的百分比,把農(nóng)村、縣鎮(zhèn)、城市分開統(tǒng)計(jì),為了便于計(jì)算,把1994年編號為0,1995年編號為1,2021年編號為10,如果把每年考入大學(xué)的百分比作為統(tǒng)計(jì)變量,把年份從0到10作為自變量進(jìn)行回歸分析,可得到下面三條

19、回歸直線,城市:y=9.50+2.54x;縣鎮(zhèn):y=6.76+2.32x;農(nóng)村:y=1.80+0.42x.(1)對于農(nóng)村學(xué)生來講,系數(shù)等于0.42意味著什么?(2)在這一階段,哪里的大學(xué)入學(xué)率增長最快?【解析】(1)對于農(nóng)村學(xué)生來講,系數(shù)等于0.42意味著19942021年在校中學(xué)生每年高考考入大學(xué)的百分比逐年增加0.42.(2)在這一階段,城市的大學(xué)入學(xué)率增長最快.(2022年·山東卷)某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x(萬元)與銷售額y(萬元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:廣告費(fèi)用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+a中的b為9.4,據(jù)此模型預(yù)測廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)

20、銷售額為().A.63.6萬元B.65.5萬元C.67.7萬元D.72.0萬元【解析】由表可計(jì)算=,=42,因?yàn)辄c(diǎn)(,42)在回歸直線y=bx+a上,且b為9.4,所以42=9.4×+a, 解得a=9.1,故回歸方程為y=9.4x+9.1,將x=6代入方程得y=65.5,選B.【答案】B    1.觀察兩個(gè)變量(存在線性相關(guān)關(guān)系)的數(shù)據(jù)如下:x-10-6.99-5.01-2.983.9857.998.01y-9-7-5-34.014.9978則兩變量間的線性回歸方程為().A.y=x+1B.y=xC.y=2x+D.y=x+1【解析】由于線性回歸

21、方程一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心(,),所以本題只需求出,然后代入所給選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn),即可得到答案.由表中數(shù)據(jù)可得=0,=0,只有B項(xiàng)中的方程過點(diǎn)(0,0),故選B.【答案】B2.在以下四個(gè)散點(diǎn)圖中(如圖所示),適用于作線性回歸的散點(diǎn)圖為().A.B.C.D.【解析】表示正相關(guān),表示負(fù)相關(guān).【答案】B3.若線性回歸方程y=a+bx中,b=0,則相關(guān)系數(shù)r=. 【解析】由b=0,得(xi-)(yi-)=0,所以r=0.【答案】04.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出x(萬元)與銷售額y(萬元)之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù):x(萬元)24568y(萬元)3040605070(1)求相關(guān)系數(shù)和回歸直線方程;(2)據(jù)此預(yù)

22、測廣告費(fèi)用支出為10萬元時(shí)銷售收入y的值.【解析】(1)=(2+4+5+6+8)=5,=(30+40+60+50+70)=50,=22+42+52+62+82=145,=302+402+602+502+702=13500,xiyi=1380,r=0.919,即兩變量間有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.b=6.5,a=-b=50-6.5×5=17.5,故回歸直線方程為y=6.5x+17.5.(2)當(dāng)x=10時(shí),預(yù)測y的值為y=10×6.5+17.5=82.5.5.已知對一組觀測值(xi,yi)作出散點(diǎn)圖后,確定其具有線性相關(guān)關(guān)系.若對于y=bx+a,求得b=0.51,=61.75,=38

23、.14,則回歸直線方程為().A.y=0.51x+6.65B.y=6.65x+0.51C.y=0.51x+42.30D.y=42.30x+0.51【解析】y=bx+a過點(diǎn)(,),a=-b=38.14-0.51×61.756.65,y=0.51x+6.65.【答案】A6.煉鋼時(shí)鋼水的含碳量與冶煉時(shí)間是().A.確定性關(guān)系B.相關(guān)關(guān)系C.函數(shù)關(guān)系D.無任何關(guān)系【解析】解答本題的關(guān)鍵是弄清相關(guān)關(guān)系的定義及相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別.【答案】B7.某化工廠為預(yù)測某產(chǎn)品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之間的線性相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)取8組觀測值,計(jì)算得xi=52,yi=228,=478,xiyi

24、=1849,則y與x的回歸直線方程是.(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)) 【解析】根據(jù)給出的數(shù)據(jù)可先求=xi=6.5,=yi=28.5,然后代入公式b=2.62,從而a=-bx=28.5-2.62×6.5=11.47,所以回歸直線方程y=11.47+2.62x.【答案】y=11.47+2.62x8.在彩電顯影中,由經(jīng)驗(yàn)可知形成染料光學(xué)密度y與析出銀的光學(xué)密度x的公式為y=A(b<0),現(xiàn)測得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:xi0.050.060.250.310.070.100.380.430.140.200.47yi0.100.141.001.120.230.371.191.250.590.791.29試求y對x的回歸方程.【解析】由題意知,對于給定的公式y(tǒng)=A(b<0)兩邊取自然對數(shù),得lny=lnA+.與線性回歸方程相對照可以看出,只要令u=,v=lny,a=lnA,就有v=a+bu.這是v對u的線性回歸方程,對此再套用相關(guān)系數(shù)公式,求回歸系數(shù)a和b.題目中所給的數(shù)據(jù)由變量置換u=,v=lny,變?yōu)槿缦滤镜臄?shù)據(jù):ui20.00016