矩法估計的分析及應用

1、 矩法估計的分析及應用 金融數(shù)學10本 黃小聽 17摘要：矩法估計就是根據(jù)子樣所提供的信息，對母體的分布或分布的數(shù)字特征等作出合理的統(tǒng)計推斷的一種方法。它不僅在數(shù)學領域應用廣泛，對于解決實際問題(比如預測股市行情，教育統(tǒng)計學等），也有很大的用途。關鍵字：矩法估計；應用；評選標準；優(yōu)缺點 一 什么是矩法估計對于隨機變量來說，矩是其最廣泛，最常用的數(shù)字特征，母體的各階矩一般與的分布中所含的未知參數(shù)有關，有的甚至就等于未知參數(shù)。由辛欽大數(shù)定律知，簡單隨機子樣的子樣原點矩依概率收斂于相應的母體原點矩Er,r = 1,2，。這就啟發(fā)我們想到用子樣矩替換母體矩（替換原則），進而找出未知參數(shù)的估計，基于這種

2、思想求估計量的方法稱為矩法。用矩法求得的估計稱為矩法估計，簡稱矩估計。它是由英國統(tǒng)計學家皮爾遜Pearson于1894年提出的。二 矩法估計的理論依據(jù)由辛欽大數(shù)定律知： 即對任意，有或三 如何求解矩法估計設母體具有已知類型的概率函數(shù)， (，)是k個未知參數(shù)。，是取自母體的一個子樣，假設的k階矩=E存在，顯然，j<k都存在，并且是，的函數(shù)(，)。子樣，的j階矩為=。我們設 (，)=，j=1,2, ，k （） 得到含k個未知數(shù)，的k個方程式，解這k個聯(lián)立方程組就可以得到，的一組解： =（，），i=1,2, ，k 用（）中的解估計參數(shù)就是矩法估計。由于是，子樣的函數(shù)，所以是統(tǒng)計量。(在數(shù)理統(tǒng)計

3、中，我們一般用表示的估計量。)四 矩法估計在解決數(shù)學問題與實際問題上的應用 例1： 母體均值E與方差D為矩法估計。 解 ：設，是母體的子樣。母體具有均值E和方差 D=E-（E 按照（）式得方程式組 = E= = E=（E+ D= 解這一方程組得E和D的矩法估計 = =例2: 已知大學生英語四級考試成績N(,2)，均值,方差2均未知， 1,n為取自母體的一個子樣，(x1,xn)是子樣的一組觀測值,求與2的 矩法估計。 解：注意到有兩個未知參數(shù)，由矩法估計知需兩個方程，按照()式得方程組 解這一方程組得與的矩法估計量=，=分析：注意到我們這里求出與2的矩法估計未用到母體的分布。這樣對,2作出了估計

4、，也就對整個母體分布作出了推斷，進而對大學生英語四級考試成績相關的其它數(shù)字特征（如標準分、標準差、偏態(tài)系數(shù)等）作出了估計。矩法估計還有很多其他實際應用，如根據(jù)幾天前的交易數(shù)據(jù)估計當天的股市行情、根據(jù)隨機抽樣的結果估計生產(chǎn)線上螺絲釘?shù)暮细衤省⒔逃y(tǒng)計學等。五 估計量的評選標準1.一致估計定義：設母體具有概率函數(shù)，為未知參數(shù)。=（，）為的一個估計量，n為子樣容量。若對任意>0，式P成立，則稱為參數(shù)的一致估計。是母體均值E的一個一致估計，是的E一個一致估計，子樣方差是母體方差D的一致估計。2.無偏估計估計的一致性是大子樣所呈現(xiàn)的性質，當子樣容量不大時，估計的這種性質就不存在?，F(xiàn)在給出另一種對任

5、何子樣容量都適用的評價估計量的準則，沒有系統(tǒng)偏差的性質在統(tǒng)計學上稱作無偏性，顯然它可以作為衡量一個估計量好壞的另一準則。定義： 設=（，）為母體的概率函數(shù)的未知參數(shù)的一個估計量。若對一切，關系式 =0 成立。則稱為的無偏估計，否則稱為有偏的。顯然，子樣均值是母體E的無偏估計，子樣原點矩是母體原點矩E的無偏估計，子樣方差不是母體方差D的無偏估計。一般地，二階或二階以上的子樣中心矩就不是母體中心矩的無偏估計。若我們取 =E= 作為母體方差D的估計，則有 E=E= D= D由此推出是母體方差D的無偏估計。從不是D的無偏估計也可看出，若，是參數(shù)，的無偏估計，函數(shù)并不一定是的無偏估計。由有偏估計修改成無

6、偏估計是一種常用的方法，一般說來，如果是參數(shù)的有偏估計，并且E=a+b，這里a、b是常數(shù)（b0），于是我們能構造的一個無偏估計=。若的一個估計不一定無偏，但當n時，E則稱為的漸近無偏估計。顯然，子樣方差=是母體方差的一個漸近無偏估計。3. 有效估計定義：設和都是參數(shù)的無偏估計量，若對任意， D( ) D( )且至少對于某個上式中的不等號成立，則稱 較 有效。六 矩法估計的優(yōu)缺點矩法估計原理簡單、使用方便，使用時可以不知母體的分布，而且具有一定的優(yōu)良性質（如矩估計為E的一致最小方差無偏估計），因此在實際問題，特別是在教育統(tǒng)計問題中被廣泛使用。但在尋找參數(shù)的矩法估計量時，對母體原點矩不存在的分布柯西分布如等不能用，另一方面它只涉及母體的一些數(shù)字特征，并未用到母體的分布，因此矩法估計量實際上只集中了母體的部分信息，這樣它在體現(xiàn)母體分布特征上往往性質較差，只有在樣本容量較大時，才能保障它的優(yōu)良性,因而理論上講，矩法估計是以大樣本為應用對象的。參考文獻：1 魏