相似三角形解答題難題含答案?jìng)€(gè)人精心整理

1、 一、相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1.如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=3，BC=4，過(guò)點(diǎn)B作射線(xiàn)BB1AC動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線(xiàn)AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線(xiàn)AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)過(guò)點(diǎn)D作DHAB于H，過(guò)點(diǎn)E作EFAC交射線(xiàn)BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)DEG與ACB相似時(shí)，求t的值2.如圖，在ABC中，ABC90°，AB=6m，BC=8m，動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)

2、當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng)設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）當(dāng)t=2.5s時(shí)，求CPQ的面積；求CPQ的面積S（平方米）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式；（2）在P，Q移動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)CPQ為等腰三角形時(shí)，求出t的值3.如圖1，在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8，點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，DE平分CDB交邊BC于點(diǎn)E，EMBD，垂足為M，ENCD，垂足為N（1）當(dāng)ADCD時(shí)，求證：DEAC；（2）探究：AD為何值時(shí)，BME與CNE相似？4.如圖所示，在ABC中，BABC20cm，AC30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3c

3、m的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQBC？（2）APQ與CQB能否相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能說(shuō)明理由5.如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間（0t6）。（1）當(dāng)t為何值時(shí)，QAP為等腰直角三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？ 二、構(gòu)造相似輔助線(xiàn)雙垂直模型 6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線(xiàn)段

4、OA的夾角是45°，求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式7.在ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作ABD，使ABD為等腰直角三角形，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)8.在ABC中，AC=BC，ACB=90°，點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是BC上的一點(diǎn)，沿著直線(xiàn)MN折疊，使得點(diǎn)C恰好落在邊AB上的P點(diǎn)求證：MC：NC=AP：PB9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對(duì)角線(xiàn)AC翻折B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E那么D點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.10.已知，如圖，直線(xiàn)y=2x2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)以AB為短

5、邊在第一象限做一個(gè)矩形ABCD，使得矩形的兩邊之比為12。求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。 三、構(gòu)造相似輔助線(xiàn)A、X字型 11.如圖：ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC，BC邊上的中線(xiàn)AE交CD于F。求證：12.四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比例中項(xiàng)，且AC平分DAB。求證：13.在梯形ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E為AD邊上的任意一點(diǎn)，EFAB，且EF交BC于點(diǎn)F，某同學(xué)在研究這一問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：(1)當(dāng)時(shí)，EF=；(2)當(dāng)時(shí)，EF=；(3)當(dāng)時(shí)，EF=當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明14.已知：如圖，在ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E、F是

6、BC上的兩點(diǎn)，且BEEFFC。求BN：NQ：QM15.證明：（1）重心定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線(xiàn)長(zhǎng)的（注：重心是三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)） （2）角平分線(xiàn)定理：三角形一個(gè)角的平分線(xiàn)分對(duì)邊所成的兩條線(xiàn)段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例 四、相似類(lèi)定值問(wèn)題 16.如圖，在等邊ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，D為MN上任意一點(diǎn)，BD、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交AC、AB于點(diǎn)E、F求證：17.已知：如圖，梯形ABCD中，AB/DC，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于O，過(guò)O作EF/AB分別交AD、BC于E、F。求證：18.如圖，在ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在ABC上

7、。求證：19.已知，在ABC中作內(nèi)接菱形CDEF，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a求證： 五、相似之共線(xiàn)線(xiàn)段的比例問(wèn)題 20.（1）如圖1，點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上，一直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P分別交BA，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，S，交于點(diǎn)求證：（2）如圖2，圖3，當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)或的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說(shuō)明理由（要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說(shuō)明）；21.已知：如圖，ABC中，ABAC，AD是中線(xiàn)，P是AD上一點(diǎn)，過(guò)C作CFAB，延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于F求證：BP2PE·PF 22.如圖，已知ΔABC中，AD，BF分別為BC，AC

8、邊上的高，過(guò)D作AB的垂線(xiàn)交AB于E，交BF于G，交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于H。求證： DE2=EGEH 23.已知如圖，P為平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，過(guò)P的直線(xiàn)與AD、BC、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)、AB的延長(zhǎng)線(xiàn)分別相交于點(diǎn)E、F、G、H.求證：24.已知，如圖，銳角ABC中，ADBC于D，H為垂心（三角形三條高線(xiàn)的交點(diǎn)）；在AD上有一點(diǎn)P，且BPC為直角求證：PD2AD·DH 。 六、相似之等積式類(lèi)型綜合 25.已知如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線(xiàn)交CA于F。求證：26如圖，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)M在CD上，DHBM且與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E

9、.求證：（1）AEDCBM；（2）27.如圖，ABC是直角三角形，ACB=90°，CDAB于D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線(xiàn)與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F.（1）求證：.（2）若G是BC的中點(diǎn)，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說(shuō)明理由.28.如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M，CG與AD相交于點(diǎn)N求證：29.如圖，BD、CE分別是ABC的兩邊上的高，過(guò)D作DGBC于G，分別交CE及BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于F、H。求證：（1）DG2BG·CG；（2）BG·CGGF·GH 七、 相似基本模型應(yīng)用 30.ABC和DEF是兩個(gè)等腰直角三角

10、形，A=D=90°，DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上（1）如圖1，設(shè)DE與AB交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，求證：BEMCNE；（2）如圖2，將DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，于是，除（1）中的一對(duì)相似三角形外，能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論31.如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q（1）請(qǐng)寫(xiě)出圖中各對(duì)相似三角形（相似比為1除外）；（2）求BP：PQ：QR32.如圖，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。求證： 答案1.答案：解：（1）ACB=90°

11、，AC=3，BC=4AB=5又AD=AB，AD=5tt=1，此時(shí)CE=3，DE=3+3-5=1（2）如圖當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E左側(cè)，即：0t時(shí)，DE=3t+3-5t=3-2t若DEG與ACB相似，有兩種情況：DEGACB，此時(shí)，即：，求得：t=；DEGBCA，此時(shí)，即：，求得：t=；如圖，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E右側(cè)，即：t>時(shí)，DE=5t-(3t+3)=2t-3若DEG與ACB相似，有兩種情況：DEGACB，此時(shí)，即：，求得：t=；DEGBCA，此時(shí)，即：，求得：t=綜上，t的值為或或或3.答案：解：（1）證明：AD=CDA=ACDDE平分CDB交邊BC于點(diǎn)ECDE=BDECDB為CDB的一個(gè)外角CDB=A

12、+ACD=2ACDCDB=CDE+BDE=2CDEACD=CDEDEAC（2）NCE=MBEEMBD，ENCD，BMECNE，如圖NCE=MBEBD=CD又NCE+ACD=MBE+A=90°ACD=AAD=CDAD=BD=AB在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8AB=10AD=5NCE=MEBEMBD，ENCD，BMEENC，如圖NCE=MEBEMCDCDAB在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8AB=10A=A，ADC=ACBACDABC綜上：AD=5或時(shí)，BME與CNE相似4.答案：解（1）由題意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，當(dāng)PQ

13、BC時(shí)，即：解得：（2）能，AP=cm或AP=20cmAPQCBQ，則，即解得：或（舍）此時(shí)：AP=cmAPQCQB，則，即解得：（符合題意）此時(shí)：AP=cm故AP=cm或20cm時(shí)，APQ與CQB能相似5.答案：解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t（1）若QAP為等腰直角三角形，則AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合題意）t=2時(shí)，QAP為等腰直角三角形（2）B=QAP=90°當(dāng)QAPABC時(shí)，即：，解得：（符合題意）；當(dāng)PAQABC時(shí)，即：，解得：（符合題意） 當(dāng)或時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似6.答案：解：分兩種情況第一

14、種情況，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限過(guò)點(diǎn)A作ABOA，交待求直線(xiàn)于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A作平行于y軸的直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BDAC則由上可知：90°由雙垂直模型知：OCAADBA（2，1），45°OC2，AC1，AOABADOC2，BDAC1D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）此時(shí)正比例函數(shù)表達(dá)式為：y3x第二種情況，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限過(guò)點(diǎn)A作ABOA，交待求直線(xiàn)于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A作平行于x軸的直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BDAC則由上可知：90°由雙垂直模型知：OCAADBA（2，1），45°OC1，AC2，AOABADOC1，BDAC2D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）B點(diǎn)坐

15、標(biāo)為（3，1）此時(shí)正比例函數(shù)表達(dá)式為：yx7.答案：解：情形一：情形二：情形三：8.答案：證明：方法一：連接PC，過(guò)點(diǎn)P作PDAC于D，則PD/BC根據(jù)折疊可知MNCP2+PCN=90°，PCN+CNM=90°2=CNMCDP=NCM=90°PDCMCNMC：CN=PD：DCPD=DAMC：CN=DA：DCPD/BCDA：DC=PA：PBMC：CN=PA：PB方法二：如圖，過(guò)M作MDAB于D，過(guò)N作NEAB于E由雙垂直模型，可以推知PMDNPE，則，根據(jù)等比性質(zhì)可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN， MC：CN=PA：PB9.答案：A解題思路：如

16、圖過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，則M=DNA=90°，由于折疊，可以得到ABCADC，又由B（1，3）BC=DC=1，AB=AD=MN=3，CDA=B=90° 1+2=90° DNA=90° 3+2=90° 1=3 DMCAND，設(shè)CM=x，則DN=3x，AN=1x，DM3x3x，則。 答案為A10.答案：解：過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線(xiàn)交y軸于G，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線(xiàn)交x軸于F，交GC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E。直線(xiàn)y=2x2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)A（1,0），B（0,2）OA=1，OB=2，AB=AB：BC=1:2BC=AD=ABO+C

17、BG=90°，ABO+BAO=90°CBG=BAO又CGB=BOA=90°OABGBCGB=2，GC=4GO=4C（4,4）同理可得ADFBAO，得DF=2，AF=4 OF=5 D（5,2）11.答案：證明：（方法一）如圖延長(zhǎng)AE到M使得EM=AE，連接CMBE=CE，AEB=MEC BEACEMCM=AB，1=BABCMM=MAD，MCF=ADFMCFADFCM=AB，AD=AC（方法二）過(guò)D作DGBC交AE于G則ABEADG，CEFDGF，AD=AC，BE=CE12.答案：證明：過(guò)點(diǎn)D作DFAB交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則2=3AC平分DAB1=21=3AD=DF

18、DEF=BEA，2=3BEADEFAD=DFAC為AB、AD的比例中項(xiàng)即又1=2ACDABC13.答案：解：證明：過(guò)點(diǎn)E作PQBC分別交BA延長(zhǎng)線(xiàn)和DC于點(diǎn)P和點(diǎn)QABCD，PQBC四邊形PQCB和四邊形EQCF是平行四邊形PBEFCQ，又ABb，CDaAPPB-ABEF-b，DQDC-QCa-EF14.答案：解：連接MFM是AC的中點(diǎn)，EFFCMFAE且MFAE BENBFM BN：BMBE：BFNE：MF BEEF BN：BMNE：MF1:2 BN：NM1:1 設(shè)NEx，則MF2x，AE4x AN3x MFAE NAQMFQ NQ：QMAN：MF3:2 BN：NM1:1，NQ：QM3:2

19、BN：NQ：QM5:3:215.答案：證明：（1）如圖1，AD、BE為ABC的中線(xiàn)，且AD、BE交于點(diǎn)O過(guò)點(diǎn)C作CFBE，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)FCFBE且E為AC中點(diǎn)AEOACF，OBDFCD，AC2AEEAOCAFAEOACFD為BC的中點(diǎn)，ODBFDCBODCFDBOCF同理，可證另外兩條中線(xiàn)三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線(xiàn)長(zhǎng)的（2）如圖2，AD為ABC的角平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線(xiàn)CE交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E則BAD=EAD為ABC的角平分線(xiàn)BAD=CADE=CADACCECEABBADCED16.答案：證明：如圖，作DPAB，DQAC則四邊形MDPB和四邊形NDQC均為平行四邊形且D

20、PQ是等邊三角形BP+CQMN，DPDQPQM、N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)MNBCPQDPAB，DQACCDPCFB，BDQBEC，DPDQPQBCABAB（）17.答案：證明：EF/AB，AB/DCEF/DCAOEACD，DOEDBA，18.答案：證明：EFCD，EHAB，AFEADC，CEHCAB，EFEH19.答案：證明：EFAC，DEBC，BFEBCA，AEDABC，EFDEa20.答案：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，ADBC，DRP=S，RDB=DBSDRPBSP同理由ABCD可證PTDPQB（2）證明：成立，理由如下：在平行四邊形ABCD中，ADBC，PRD=S，RDP=DB

21、SDRPBSP同理由ABCD可證PTDPQB21.答案：證明:ABAC，AD是中線(xiàn)，ADBC,BP=CP1=2又ABC=ACB3=4CFAB3=F,4=F又EPC=CPFEPCCPFBP2PE·PF即證所求22.答案：證明：DEAB90°90°ADEDBEDE2=BFAC90°90°且BEGHEADE2=EG•EH23.答案：證明：四邊形ABCD為平行四邊形ABCD，ADBC1=2，G=H，5=6PAHPCG又3=4APECPF24.答案：證明：如圖，連接BH交AC于點(diǎn)E，H為垂心BEACEBC+BCA=90°ADB

22、C于DDAC+BCA=90°EBC=DAC又BDH=ADC=90°BDHADC，即BPC為直角，ADBC PD2BD·DC PD2AD·DH25.答案：證明：CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)CE=EB=DEB=BDE=FDAB+CAB=90°，ACD+CAB=90°B=ACDFDA=ACDF=FFDAFCDADC=CDB=90°，B=ACDACDCBD即26.答案：證明：（1）ACBADC90°AACD90°BCMACD90°ABCM同理可得：MDHMBDCMBCDBMBD90°MBDADEADCMDH90°MDHADECMBAEDCBM（2）由上問(wèn)可知：，即故只需證明即可AA，ACDABCACDABC，即27.答案：（1）將結(jié)論寫(xiě)成比例的形式，可以考慮證明FDBFCD（已經(jīng)有一個(gè)公共角F）RtACD中，E是AC的中點(diǎn)DE=AEA=ADEADE=FDBA=FDB而A+ACD=90&#