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1、相似基本模型-三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等邊三角形為背景,一個與等腰三角形的底角相等的頂點在底邊所在的直線上,角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示:CADBEF典型例題【例1】如圖,等邊ABC中,邊長為6,D是BC上動點,EDF=60°(1)求證:BDECFD(2)當BD=1,F(xiàn)C=3時,求BE 。()ABCPQ【例2】嘉定區(qū)2009年一模(1)在中,點、分別在射線、上(點不與點、點重合),且保持.若點在線段上(如圖10),且,求線段的長;若,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出函數(shù)的定義域;ABC備用圖ABCD圖12(2)正方形的邊長為(如圖1
2、2),點、分別在直線、上(點不與點、點重合),且保持.當時,寫出線段的長(不需要計算過程,請直接寫出結(jié)果).【例3】如圖,已知邊長為的等邊,點在邊上,點是射線上一動點,以線段為邊向右側(cè)作等邊,直線交直線于點,(1)寫出圖八中與相似的三角形;(2)證明其中一對三角形相似;(3)設(shè),求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;(4)若,試求的面積答:(1)BEFAMECFNGMN;3分證:(2)在BEF與AME中, BA60°,AEM+AME=120°1分GEF60°, AEM+BEF =120° BEFAME 1分(圖八)BEFAME1分解:(3)(i)
3、當點E在線段AB上,點M、N在線段AC上時,如圖八,BEFAME,BEAMBFAE, 即:xAM2(3-x) ,AM,同理可證BEFCFN;BECFBFCN, 即:x12CN ,CN備用圖一A AC=AM+MN+CN,3=y ()1分+1分(ii) 當點E在線段AB上,點G在ABC內(nèi)時,如備用圖一,A 同上可得:AM,CN AC=AM CNMN,3=y備用圖二A ()1分+1分 (iii) 當點E在線段BA的延長線上時,如備用圖二, AM,CN AC= MN CNAM,3= y (x>3) 1分+1分綜上所述:()或 (x1); (4)(i)當AE1時,是邊長為1等邊三角形,;1分 (i
4、i) 當AE1時,是有一個角為30°的Rt,x=4, y=,NG=,分【例4】(2011年徐匯區(qū)一模25)如圖,在梯形中,點為邊的中點,以為頂點作,射線交腰于點,射線交腰于點,聯(lián)結(jié)(1)求證:;(2)若是以為腰的等腰三角形,求的長;(BM=EM時,EF=6;BM=BE時,EF=4.5)(3)若,求的長()強化訓(xùn)練:1. 如圖,在ABC中,是邊上的一個動點,點在邊上,且(1) 求證:ABDDCE;(2) 如果,求與的函數(shù)解析式,并寫出自變量的定義域;ABCDE(3) 當點是的中點時,試說明ADE是什么三角形,并說明理由ABCDEF2. 已知:如圖,在ABC中,點D在邊AB上,點E在邊B
5、C上又點F在邊AC上,且(1) 求證:FCEEBD;(2) 當點D在線段AB上運動時,是否有可能使如果有可能,那么求出BD的長如果不可能請說明理由CPEABF3. 如圖,在ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上的一個動點(與B、C不重合),PEAB與E,PFBC交AC與F,設(shè)PC=x,記PE=,PF=,PEF的面積為y(1)分別求、y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;(2)PEF能為直角三角形嗎?若能,求出CP的長,若不能,請說明理由。(3)若PEF為等腰三角形,求PC的長。4、已知在等腰三角形中,是的中點, 是上的動點(不與、重合),連結(jié),過點作射線,使,射線交射線于點,交射線于
6、點.(1)求證:;(2)設(shè).用含的代數(shù)式表示;求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出的定義域.解:,1分1分又,1分 1分(2),2分是的中點,又 當點在線段的延長線上時,1分當點在線段上時,1分過點作,交于點1分,1分當點在線段的延長線上時,1分1分當點在線段上時,1分1分2001年上海中考CDABP4. 已知在梯形ABCD中,ADBC,ADBC,且AD5,ABDC2(1)如圖8,P為AD上的一點,滿足BPCA求證;ABPDPC求AP的長(2)如果點P在AD邊上移動(點P與點A、D不重合),且滿足BPEA,PE交直線BC于點E,同時交直線DC于點Q,那么當點Q在線段DC的延長線上時,設(shè)APx,CQy,求
7、y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;當CE1時,寫出AP的長(不必寫出解題過程)5. 已知在梯形ABCD中,ADBC,ADBC,且BC =6,AB=DC=4,點E是AB的中點 (1)如圖,P為BC上的一點,且BP=2求證:BEPCPD; (2)如果點P在BC邊上移動(點P與點B、C不重合),且滿足EPF=C,PF交直線CD于點F,同時交直線AD于點M,那么 當點F在線段CD的延長線上時,設(shè)BP=,DF=,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域; 當時,求BP的長EDCBA(備用圖)EDCBAP(第25題圖)6、(2008年崇明一模)如圖,已知在ABC中, AB=AC=6,BC=5,D是AB 上一點,BD=2,E是BC 上一動點,聯(lián)結(jié)DE,并作,射線EF交線段AC于F(1)求證:DBEECF;(2)當F是線段AC中點時,求線段BE的長;(2或3)(3)聯(lián)結(jié)DF,如果DEF與DBE相似,求FC的長(2或)7、等腰ABC,AB=AC=,BAC=120°,P為BC的中點,小慧拿著含30°角的透明三角板,使30°角的頂點落在點P,三角板繞P點旋轉(zhuǎn)(1)如圖a,當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時求證:BPECFP;(
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