直線和圓的方程對稱問題

1、題目 第七章直線和圓的方程對稱問題高考要求 1掌握求已知曲線的軸對稱曲線和中心對稱曲線方程的方法：結(jié)合曲線對稱的定義，用求曲線方程的方法求對稱曲線的方程(歸結(jié)為點的對稱)2掌握判斷曲線關(guān)于幾種特殊直線對稱的方法:y=x; x軸;y軸知識點歸納1點關(guān)于點對稱的對稱中心恰是這兩點為端點的線段的中點，因此中心對稱的問題是線段中點坐標(biāo)公式的應(yīng)用問題設(shè)P（x0，y0），對稱中心為A（a，b），則P關(guān)于A的對稱點為P（2ax0，2by0）2點關(guān)于直線成軸對稱問題由軸對稱定義知，對稱軸即為兩對稱點連線的“垂直平分線”利用“垂直”“平分”這兩個條件建立方程組，就可求出對頂點的坐標(biāo)一般情形如下：設(shè)點P（x0，y

2、0）關(guān)于直線y=kx+b的對稱點為P（x，y），則有，可求出x、y特殊地，點P（x0，y0）關(guān)于直線x=a的對稱點為P（2ax0，y0）；點P（x0，y0）關(guān)于直線y=b的對稱點為P（x0，2by0）3曲線關(guān)于點、曲線關(guān)于直線的中心或軸對稱問題：一般是轉(zhuǎn)化為點的中心對稱或軸對稱（這里既可選特殊點，也可選任意點實施轉(zhuǎn)化）一般結(jié)論如下：（1）曲線f（x，y）=0關(guān)于已知點A（a，b）的對稱曲線的方程是f（2ax，2by）=0（2）曲線f（x，y）=0關(guān)于直線y=kx+b的對稱曲線的求法：設(shè)曲線f（x，y）=0上任意一點為P（x0，y0），P點關(guān)于直線y=kx+b的對稱點為P（y，x），則由（2）知

3、，P與P的坐標(biāo)滿足從中解出x0、y0，代入已知曲線f（x，y）=0，應(yīng)有f（x0，y0）=0利用坐標(biāo)代換法就可求出曲線f（x，y）=0關(guān)于直線y=kx+b的對稱曲線方程4兩點關(guān)于點對稱、兩點關(guān)于直線對稱的常見結(jié)論：（1）點（x，y）關(guān)于x軸的對稱點為（x，y）；（2）點（x，y）關(guān)于y軸的對稱點為（x，y）；（3）點（x，y）關(guān)于原點的對稱點為（x，y）；（4）點（x，y）關(guān)于直線xy=0的對稱點為（y，x）；（5）點（x，y）關(guān)于直線x+y=0的對稱點為（y，x）題型講解 例1 求直線a：2x+y4=0關(guān)于直線l：3x+4y1=0對稱的直線b的方程分析：由平面幾何知識可知若直線a、b關(guān)于直線

4、l對稱，它們具有下列幾何性質(zhì)：（1）若a、b相交，則l是a、b交角的平分線；（2）若點A在直線a上，那么A關(guān)于直線l的對稱點B一定在直線b上，這時ABl，并且AB的中點D在l上；總的來說有兩類：一類是找出確定直線方程的兩個條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程；另一類是直接由軌跡求方程解：由 ，解得a與l的交點E（3，2），E點也在b上方法一：設(shè)直線b的斜率為k，又知直線a的斜率為2，直線l的斜率為則 =解得k=代入點斜式得直線b的方程為y（2）=（x3），即2x+11y+16=0方法二：在直線a：2x+y4=0上找一點A（2，0），設(shè)點A關(guān)于直線l的對稱點B的坐標(biāo)為（x0，y0），由解

5、得B（，）由兩點式得直線b的方程為=，即2x+11y+16=0例2 光線從點A（3，4）發(fā)出，經(jīng)過x軸反射，再經(jīng)過y軸反射，光線經(jīng)過點B（2，6），求射入y軸后的反射線的方程分析：由物理中光學(xué)知識知，入射線和反射線關(guān)于法線對稱解：A（3，4）關(guān)于x軸的對稱點A1（3，4）在經(jīng)x軸反射的光線上，同樣A1（3，4）關(guān)于y軸的對稱點A2（3，4）在經(jīng)過射入y軸的反射線上，k=2故所求直線方程為y6=2（x+2），即2x+y2=0點評：注意知識間的相互聯(lián)系及學(xué)科間的相互滲透例3 已知點M（3，5），在直線l：x2y+2=0和y軸上各找一點P和Q，使MPQ的周長最小分析：如下圖，作點M關(guān)于直線l的對稱點

6、M1，再作點M關(guān)于y軸的對稱點M2，連結(jié)MM1、MM2，連線MM1、MM2與l及y軸交于P與Q兩點，由軸對稱及平面幾何知識，可知這樣得到的MPQ的周長最小解：由點M（3，5）及直線l，可求得點M關(guān)于l的對稱點M1（5，1）同樣容易求得點M關(guān)于y軸的對稱點M2（3，5）據(jù)M1及M2兩點可得到直線M1M2的方程為x+2y7=0令x=0，得到M1M2與y軸的交點Q（0，） 解方程組得交點P（，）故點P（，）、Q（0，）即為所求點評：恰當(dāng)?shù)乩闷矫鎺缀蔚闹R對解題能起到事半功倍的效果學(xué)生練習(xí) 1已知點M（a，b）與N關(guān)于x軸對稱，點P與點N關(guān)于y軸對稱，點Q與點P關(guān)于直線x+y=0對稱，則點Q的坐標(biāo)為

7、解析：N（a，b），P（a，b），則Q（b，a）2曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對稱的曲線方程是解：設(shè)曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對稱的曲線為C，在曲線C上任取一點P（x，y），則P（x，y）關(guān)于直線x=2的對稱點為Q（4x，y）因為Q（4x，y）在曲線y2=4x上，所以y2=4（4x），即y2=164x3已知直線l1：x+my+5=0和直線l2：x+ny+p=0，則l1、l2關(guān)于y軸對稱的充要條件是A= Bp=5 Cm=n且p=5 D=且p=5解析：直線l1關(guān)于y軸對稱的直線方程為（x）+my+5=0，即xmy5=0，與l2比較，m=n且p=5反之亦驗證成立4點A（4，5）關(guān)于直線l的對稱點為

8、B（2，7），則l的方程為_解析：對稱軸是以兩對稱點為端點的線段的中垂線答案：3xy+3=05設(shè)直線x+4y5=0的傾斜角為，則它關(guān)于直線y3=0對稱的直線的傾斜角是_答案：6一個以原點為圓心的圓與圓x2+y2+8x4y=0關(guān)于直線l對稱,則直線l的方程是 答案：2xy+5=07直線y=3x4關(guān)于點P(2,1)對稱的直線l的方程是 答案：3xy10=0 用求方程的方法或幾何性質(zhì)(平行)均可8與直線x+2y1=0關(guān)于點（1，1）對稱的直線方程為A2xy5=0 Bx+2y3=0 Cx+2y+3=0 D2xy1=0解：將x+2y1=0中的x、y分別代以2x，2y，得（2x）+2（2y）1=0，即x+

9、2y+3=09兩直線y=x和x=1關(guān)于直線l對稱，直線l的方程是_解：l上的點為到兩直線y=x與x=1距離相等的點的集合，即=x1，化簡得x+y2=0或3xy2=010自點A(3,3)發(fā)出的光線射到x軸上，被x軸反射，其反射光線m所在直線與圓x2+y24x4y+7=0相切，求光線與m所在的直線的方程解：圓C：(x2)2+(y2)2=1關(guān)于x軸的對稱圓C/的方程是(x2)2+(y+2)2=1設(shè)光線所在的直線方程是y3=k(x+3),依題意,它是圓C/的切線，從而點C/到直線的距離為1,=1,解得：k=3/4或k=4/3, 的方程是3x+4y3=0或4x+3y+3=0,同理求過點A/(3,3)的圓C的切線方程,得m的方程為3x4y3=0或4x3y+3