電力系統分析習題集

1、電力系統分析習題集（第三章）【例3-1】某發(fā)電系統有2臺發(fā)電機組，其容量分別為30MW和40MW，強迫停運率FOR分別為0.04和0.06。試求該發(fā)電系統的停運表?！窘狻堪l(fā)電系統的停運表是指指整個系統各種容量狀態(tài)的概率表，是由各發(fā)電機組的停運表按上節(jié)的遞推公式求出的。因此，應首先建立各發(fā)電機組的停運表。取步長=10MW，可以得到這2臺發(fā)電機組的停運表，見表32和表3-3。表32 30MW發(fā)電機組的停運表 000.100000E+010.960000E+001100.400000E-010.000000E+002200.400000E-010.000000E+003300.400000E-010

2、.400000E-01表3-3 40MW發(fā)電機組的停運表 000.100000E+010.940000E+001100.600000E-010.000000E+002200.600000E-010.000000E+003300.600000E-010.000000E+004400.600000E-010.600000E-01有了各發(fā)電機組的停運表后，就可利用遞推公式形成發(fā)電系統的停運表，如表34所示。表34 30MW和40MW發(fā)電機組并聯后的停運表0 00.100000E+010.902400E+001100.976000E-010.000000E+002200.976000E-010.000

3、000E+003300.976000E-010.376000E-014400.600000E-010.576000E-015500.240000E-020.000000E+006600.240000E-020.000000E+007700.240000E-020.240000E-02為了說明計算過程，我們以表34中，時，為例介紹遞推公式的具體應用。令30MW發(fā)電機組為元件，40MW發(fā)電機組為元件。則知，因此根據式（3-51）可以寫出組合后等效機組在時的累積概率為：將30MW及40MW發(fā)電機組停運表中相應的數值代入上式，得對于并聯的輸電線路或變壓器也可以形成其停運表。有了電力系統元件的停運表，就

4、可以簡化系統運行可靠性的評估過程?！纠?-2】 應用蒙特卡洛模擬法對圖2.6所示的5節(jié)點系統進行可靠性評估。該系統元件的容量與可靠性參數如表3-5和表3-6所示?！窘狻?該系統由5個節(jié)點、7條支路組成，共2個發(fā)電廠，以標幺值表示的總裝機容量11，負荷為7.3。表3-5 發(fā)電元件可靠性參數發(fā)電廠G1發(fā)電廠G2可用容量(p.u.)累積概率可用容量(p.u.)累積概率5.04.03.02.01.00.0-1.000.060.040.020.010.01-6.05.04.03.02.01.00.01.000.080.060.040.020.010.01表3-6 輸電元件可靠性參數支路節(jié)點號容量FOR1

5、22.00.05132.00.05232.00.05245.00.05355.50.05表中FOR為強迫停運率。根據圖3-5所示的流程計算所示系統的可靠性指標。首先，應用蒙特卡洛模擬法抽樣系統狀態(tài)。對每個元件，我們用計算機產生一個隨機數，利用此隨機數按照節(jié)的方法確定該設備的狀態(tài)。表3-7和表3-8給出了某次系統狀態(tài)選擇過程中，對每個元件所生成的隨機數及由隨機數所確定元件的狀態(tài)向量。表3-7 根據均勻分布隨機數所確定的發(fā)電廠出力發(fā)電廠隨機數發(fā)電廠可用容量（p.u.）G10.65025.0G20.13256.0表3-8根據均勻分布隨機數所確定的支路狀態(tài)支路節(jié)點號1-21-32-32-43-5隨機數

6、0.320.20.460.750.017支路故障率0.050.050.050.050.05支路狀態(tài)運行運行運行運行故障至此，可得到一個系統的抽樣狀態(tài)。首先對該狀態(tài)下的網絡拓撲進行分析，判斷系統是否連通。從圖2-6中可以看出，在變壓器5（支路3-5）故障后，發(fā)電廠G2與系統解列，此時系統的可用容量只有發(fā)電廠G1的出力5.0 p.u.。比較系統的出力和負荷，系統總的發(fā)電廠出力5.0 p.u.小于系統的總負荷7.3 p.u.，系統的有功功率平衡無法滿足，因此系統必須切負荷。此時，該狀態(tài)對可靠性指標有貢獻，系統停電1次，切負荷量為2.3 p.u.。這樣我們就完成了對系統的一次抽樣。重新進行抽樣，可以得

7、到一個新的系統狀態(tài)。該狀態(tài)下，發(fā)電廠G1和G2的出力均為5.0 p.u.，除支路1-2故障外，其余支路都正常運行。對進行狀態(tài)評估：1）分析狀態(tài)下網絡的拓撲，判斷系統的連通性。從圖2-6中可以看出，在輸電線路1-2故障后，系統仍然是連通的。2）判斷系統的有功功率是否平衡。狀態(tài)下，系統的有功出力是10.0 p.u.，負荷是7.3 p.u.，所以系統有功出力大于系統負荷。因此，系統的有功功率平衡可以滿足。3）判斷支路潮流是否滿足支路的傳輸容量約束。這里應用直流潮流模型計算支路潮流。所計算出的發(fā)電廠G1和G2的出力分別為5.0 p.u.和2.3 p.u.，支路潮流數據如表3-9所示：表3-9支路的傳輸

8、功率支路節(jié)點號1-32-32-43-5傳輸功率(p.u.）1.6352.3傳輸容量(p.u.)2255.5是否滿足約束滿足不滿足滿足滿足從表3-9中可以看到，支路2-3出現過負荷，需進行發(fā)電廠出力調整。4）調整發(fā)電廠出力進行系統狀態(tài)校正。系統狀態(tài)校正根據節(jié)中式（3-68）的系統的狀態(tài)評估模型進行調整。調整后的發(fā)電廠G1和G2的出力分別為4.0 p.u.和3.3 p.u.，支路潮流如表3-10所示：表3-10 調整后各支路的功率支路節(jié)點號1-32-32-43-5傳輸功率(p.u.)1.6243.3傳輸容量(p.u.)2255.5是否滿足約束滿足滿足滿足滿足由上面的計算可以看出，盡管該抽樣狀態(tài)下，

9、有線路過負荷，但經過發(fā)電廠出力的調整，可以消除線路的過負荷，因此，對本抽樣狀態(tài)而言沒有負荷被切除。重復以上步驟，對系統進行多次抽樣，統計每次計算結果，將系統停電的次數和停電量進行累計，即可得到系統的可靠性指標。根據公式（3-67）可以得到系統切負荷概率(LOLP)。根據公式（3-68）可以得到系統電量不足期望值(EENS)。5節(jié)點系統的計算結果如表3-11所示：表3-11 5節(jié)點系統的可靠性指標系統的可靠性指標計算結果LOLP0.13345EENS（104kWh/a）30038.478從表中可以看出，系統切負荷概率為0.13345，每年停電量的期望值為30038.478 104kWh，大約占整

10、個系統全年電量的4.7%。系統的可靠性指標偏差，因此應采取加強措施進一步提高系統的可靠性。下面對可靠性指標的收斂速度進行進一步的統計與分析。圖3-63-7是可靠性指標EENS的收斂曲線，LOLP有類似的特點，不再贅述。 圖3-6 EENS的收斂曲線 圖3-7 EENS相對誤差的收斂曲線從圖3-6可以看出， EENS經過20000次的抽樣才會收斂到一個穩(wěn)定的數值。這從EENS相對誤差的收斂曲線中可以更清楚地看出。當抽樣次數為20000次時， EENS的相對誤差為0.02，因此EENS基本收斂在一個穩(wěn)定的數值，可以滿足電力系統可靠性評估的需要。如果我們進一步的提高計算的精度，減小計算的誤差，就需要

11、增加抽樣的次數，例如，抽樣40000次時，得到的EENS指標的相對誤差為0.014。從這兒也可以看出，蒙特卡洛模擬法的計算量與估計精度的平方成反比，在一定的精度下，減少抽樣次數的唯一途徑就是減小方差。【例3-3】馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法，對IEEE-RTS 24節(jié)點可靠性試驗系統13進行可靠性評估計算。【解】應用Gibbs抽樣器共進行55000次抽樣，前5000次抽樣用于“退火”，消除初始值的影響，后50000次抽樣結果作為樣本值進行可靠性指標的評估。利用MCMC方法所得到可靠性指標如表3-12所示。表3-13為MCMC方法與其它幾種計算方法結果的比較。表3-12 IEEE-RTS 24節(jié)點系統

12、的可靠性指標系統的可靠性指標 數值LOLP0.08464EENS/´104kWh12785.97336表3-13 不同方法對IEEE-RTS 24節(jié)點系統計算結果比較可靠性指標卷積法狀態(tài)枚舉法隨機采樣MC方法MCMC方法LOLP0.0845780.0845750.0844200.084640EENS/´104kWh12871.66212869.5312978.18612785.97 從表3-13可以看出，MCMC方法與其它幾種計算方法的結果非常相近，說明了MCMC方法的有效性。下面根據算例的計算結果分別討論MCMC方法的收斂速度和穩(wěn)定性。1） 算法的收斂速度比較圖3-8 兩

13、種方法的LOLP相對誤差收斂曲線圖3-8為指標LOLP相對誤差的收斂速度示意圖。從圖3-8中可以計算出同樣采樣次數下MCMC方法LOLP指標的方差系數約是MC方法的0.35倍，即在抽樣次數相同的情況下，使用MCMC方法時，LOLP的收斂速度比使用MC方法提高了近7倍。同時從圖3-8還可以看出，MCMC方法采樣10000次時，LOLP指標的方差系數已達到0.01。即：使用MCMC方法時，只需要進行10000次的采樣就可以獲得較精確的計算結果，減少了采樣時間，加快了評估速度?！纠?-4】 對IEEE-14節(jié)點系統進行隨機潮流分析計算。其節(jié)點和支路的原始數據如表3-14所示。為了突出隨機潮流的計算全

14、過程，本例未考慮支路故障的情況。表3-14 節(jié)點和支路數據（系統基準值為 100MVA）線路數據節(jié)點數據兩端節(jié)點電阻電抗或節(jié)點有功注入功率有功注入功率電壓120.019380.059170.013201*2.32401.06130.054030.223040.0132020.18301.04230.046990.197970.010953-0.94201.01240.058110.176320.009354-0.4780.039*250.056950.173880.008505-0.076-0.016340.067010.171030.008656-0. 11201.07450.013350.

15、042110.003207-0.0047*0.000000.209120.978008-0.001.0949*0.000000.556180.969009-0.2950.04656*0.000000.252020.9320010-0.090-0.0586110.094980.198900.0000011-0.035-0.0186120.122910.255810.0000012-0.061-0.0166130.066150.130270.0000013-0.135-0.058780.000000.176150.0000014-0.149-0.050790.000000.110010.00000

16、9100.031810.084500.000009140.127110.270380.0000010110.082050.192070.0000012130.220920.199880.0000013140.170930.348020.00000*為變壓器支路，最后一列數值為變比*節(jié)點1為松弛節(jié)點。*“”表示PQ節(jié)點，電壓未知。反映節(jié)點注入功率隨機性的數據如下。發(fā)電機組的有關數據如表3-15所示。表3-15 發(fā)電機組的有關數據 節(jié) 點容量（MW）臺 數 FOR 出力期望值（MW）12.5100.0823.002220.0940.04負荷有關參數如標-16，3-17所示。節(jié)點 9 的負荷為離散分

17、布，其值如表3-16 所示，其余節(jié)點的負荷均為正態(tài)分布，其期望值和均方差見表3-17。表3-16節(jié)點9負荷隨機分布有功負荷（MW）13.419.630.234.837.3概率0.100.150.300.250.20無功負荷（MVAR）7.511.017.019.621.0概率0.100.150.300.250.20表 3-17節(jié)點負荷隨機數據節(jié) 點有功負荷 （MW）無功負荷 （MVAR）期 望 值均 方 差 （%）期 望 值均 方 差 （%）10.00.00.00.0221.70.0912.70.092394.200.1019.00.105447.800.11-3.90.09757.600.0

18、51.60.05611.200.067.50.06370.00.00.00.080.00.00.00.0109.00.105.80.10113.50.0951.80.095126.10.0761.60.0861313.50.1055.80.0951414.90.0865.00.086【解】根據隨機潮流計算流程圖3-11，我們可進行如下計算：（1） 用牛頓拉夫遜法計算正常情況潮流：所得正常情況下的節(jié)點狀態(tài)向量和支路潮流如表3-18所示。和將作為隨機潮流計算的期望值。雅可比矩陣和靈敏度矩陣也已同時求出，受篇幅所限略去不寫。表3-18牛頓拉夫遜法潮流計算結果支路潮流節(jié)點電壓兩端節(jié)點（）節(jié)點幅值相角1

19、21.5694-0.1893-1.52640.291411.060000.00000130.75470.0550-0.72710.030521.04500-4.98429230.73270.0475-0.70950.027331.01000-12.73054240.5614-0.0041-0.54460.035141.01714-10.30872250.41520.0259-0.4062-0.016451.01873-8.7648534-0.23250.04550.2363-0.053761.07000-14.2190045-0.61100.16080.6161-0.151171.06128-

20、13.35621470.2806-0.0983-0.28060.115481.09000-13.35621490.1607-0.0049-0.16070.017991.05571-14.93501560.44110.1210-0.4411-0.0769101.05080-15.094016110.07370.0361-0.0731-0.0349111.05681-14.787886120.07790.0251-0.0772-0.0236121.05517-15.073696130.17760.0724-0.1754-0.0682131.05035-15.15407780.0000-0.1730

21、0.00000.1777141.03539-16.03092790.25060.0576-0.2806-0.04969100.52120.0418-0.0520-0.04149140.09420.0358-0.0930-0.03341011-0.0380-0.01660.03810.016912130.01620.0076-0.0161-0.007513140.05650.0178-0.0560-0.0166（2）計算各節(jié)點注入功率的半不變量：根據介紹的求取隨機分布半不變量的方法，我們可以求出發(fā)電機節(jié)點1、2和離散分布負荷節(jié)點9的八階半不變量，其結果如表3-19所示（表中均為標幺值）。對正態(tài)分

22、布的注入功率，其一階半不變量等于期望值，二階半不變量為正態(tài)分布的方差，三至八階半不變量為零，例如節(jié)點2的有功負荷期望值為0.2174，均方差百分數為0.09，則其各階半不變量為節(jié)點2有功負荷的半不變量與發(fā)電機輸出功率的各階半不變量對應相加后顯示在表3-19中的第3列。同理開求出其它各節(jié)點注入功率的各階半不變量。表 3-19節(jié)點1，2，9的注入功率半不變量階數節(jié) 點 1節(jié) 點 2節(jié) 點 9有 功無 功10.230000E+10.230000E+0-0.295000E+0-0.166000E+020.460000E-10.792792E-20.599600E-20.191550E-23-0.966

23、0000E-2-0.143020E-20.430640E-20.778925E-440.160540E-20.195156E-3-0.168809E-4-0.172255E-55-0.705180E-4-0.119061E-5-0.142591E-4-0.824467E-66-0.100259E-3-0.121103E-4-0.163633E-5-0.535577E-770.553146E-40.502300E-50.714816E-60.132089E-78-0.132800E-4-0.736492E-60.335819E-60.351225E-8（3）求節(jié)點狀態(tài)變量的各階半不變量因為在正常

24、情況潮流計算時已求出靈敏度矩陣，所以根據式（3-104）可以由節(jié)點注入功率的八階半不變量直接求出各節(jié)點狀態(tài)變量的八階半不變量。表3-20給出了節(jié)點電壓和相角的期望值和均方差，其中期望值即為一階半不變量，均方差則為二階半不變量的開方。表 3-20節(jié)點狀態(tài)變量的期望值和均方差節(jié) 點電 壓 （p.u）角 度 （。）期望值均方差期望值均方差11.060000.000000.000000.0000021.045000.00000-4.984290.4429831.010000.00000-12.730540.9975741.017140.00202-10.308720.6897951.018730.00

25、164-8.764850.5788361.070000.00000-14.219000.8495271.061280.00286-13.356210.9752781.055710.00000-13.356210.9752791.090000.00519-14.935011.114956101.050800.00441-15.094011.09751111.056810.00231-14.787880.97113121.055170.00069-15.073690.88307131.050350.00120-15.154070.90842141.035390.00368-16.030921.06

26、123（4）求支路潮流的各階半不變量當正常情況下雅可比矩陣元素和支路潮流已知時，由式（3-99）不難形成，這是一個稀疏矩陣，然后根據式（3-101）形成矩陣。例如對線路5-6而言，它在中的位置為第19、20行，每行有28個數據，其中前14個對應于有功注入功率，后14個對應于無功注入功率，即支路潮流的八階半不變量可按式（6-145）由節(jié)點注入功率的八階半不變量求出。相應于線路5-6的八階半不變量為本例系統各支路潮流的期望值和均方差如表3-21所示。表3-21支路潮流的期望值和均方差支 路有 功 潮 流（MW）無 功 潮 流 MVAR）期 望 值均 方 差（%）期 望 值均 方 差 （%）1215

27、6.936613.3943-18.93343.12951575.46824.78715.50200.50542373.27215.75714.75250.56512456.14193.3318-0.40930.65662541.52202.40942.59140.500434-23.25354.46194.55012.065445-61.09464.489816.07911.43914728.06063.5716-9.82910.85844916.07052.0367-0.48910.78955644.11102.663612.10280.55866117.36631.47583.60531.

28、03066127.78900.41552.50890.195361317.75561.23407.23980.6805780.00000.0000-17.30211.67407928.06073.57165.763*92.34319105.21501.56544.17531.00129149.41611.25033.58180.68511011-3.79781.4467-1.65871.008812131.61720.36850.75940.182213145.65401.10011.77510.6725（5）求狀態(tài)變量的隨機分布：下面我們以節(jié)點4為例求其電壓的概率密度函數。已知節(jié)點4電壓的八

29、階半不變量為取離散點步長為0.01，根據Gram-Charlier 級數式（3-106），可得節(jié)點4電壓的概率密度函數如圖3-12實線所示。若節(jié)點4的電壓上界為1.02，則該電壓大于上界的概率為圖3-12 節(jié)點4 電壓概率密度函數在圖3-12中，虛線為采用六階半不變量獲得的結果，實線為采用八階半不變量的計算結果。同上過程還可以的其它節(jié)點狀態(tài)變量以及支路潮流的概率密度分布以及越限概率。【例3-5】求圖3-16所示網流圖的最小路集和網流可行解。【解】圖3-16（a）所示簡單電力系統共有5個節(jié)點、5條支路、2個電源、3個負荷（，）。有關電氣參數見例1-1。圖3-16（b）中括弧中的數字為相應支路的容

30、量，為了提高計算效率，所有支路容量都增大10倍取為整數。在圖3-16（b）中除原有5條支路外，又增加了與虛擬源點S相聯系的兩條支路（支路6，7），分別表示發(fā)電機組G1和G2。首先由圖3-16（b）所示網的關聯矩陣求到各負荷點的最小路17，18，共得到10條最小路，如表3-22所示G23.71.623132G1534（a） 簡單例系統 (20)(37)5(16)(20)(20)(20)(55)(55)(50)(50)762134ST （b）網絡模型圖3-16 例系統的網絡模型表3-22 最小路集 Tab.1 set of minimal paths 序號包 含 支 路供給負荷11357負荷214

31、632-34642575-1257負荷63577468-2146負荷9-3461057*表中正負號是和規(guī)定的支路的正方向相對應的。然后按照圖3-15所示流程用隱枚舉法根據式（5），式（6）求出可行解集。結果共得到45個可行解，如表3-23所示。由于系統負荷為73，故所有各可行集的最小路輸送容量之和均為73。與各可行解相應的支路狀態(tài)（潮流）如表3所示。該表顯示了在給定的發(fā)電和輸電資源的情況下，能滿足向負荷供電的所有可能的運行方式與接線方式，提供了全面的系統運行信息。表中畫陰影的支路潮流為零，表示在相應支路停運情況下仍然存在可行解。例如，當支路停運時仍有序號為29，31，32，41，44的可行解能

32、滿足輸電系統供電要求；當支路停運時仍有可行解6，9，10，16，19等可滿足輸電系統供電要求；當支路停運時仍有可行解12，18，22，等可滿足輸電系統供電要求；甚至當支路和同時停運時仍有可行解20可滿足輸電系統供電要求；當支路和同時停運時仍有可行解45可滿足輸電系統供電要求。表3-23 網流可行解集Tab.2 Set of feasible solutions序號f1f2f3f4f5f6f7f8f9f10116202413216202413316203614164164303516416433616416343716204267816204339162030710162037111620241

33、031216202413131620201714162043031516204331616203431716204102318162043319162014232016203721164162410322164162413231641620172416416181925164164332616416372716202014328162020172916202413301620142331162043332162037331641624133416416241335164163613616416241033716416241338164162017391620201740162020174116

34、2037421620201074316202017441620201745162037表3-24 網流可行解中各支路的狀態(tài)Branch states of feasible solutions序號b1b2b3b4b5序號b1b2b3b4b5120433736241421650232204162449254202036373420203637264201632414204105023272041050235204202053282044363761614502329162040337204105023301421650238204162449311620403391614502332161636

35、371016162053332043373611204105023342041624491220440333542020363713420203637362041050231420410502337204403315204202053384202036371616145023392043373617204105023402042020531820440334116173736191614502342204105023201636374320440332120410502344162040332220440334516205323420203637根據不同的接線方式和發(fā)電機組的運行方式?？蓪⒈?

36、-24簡化為表3-25。由表3-24和表3-25可以看出，當支路1、2、3分別停運時，以及支路2和3、支路1和3同時停運時，仍有可行解。這就意味著在這些情況下系統仍能滿足用戶的供電要求。在所有可行解中，支路4和支路5是不可或缺的。因此可以斷定支路4或支路5事故停運必然引起負荷限電或連鎖反應故障，這兩條支路在維持系統連續(xù)供電中顯得特別重要；而其余支路1，2，3分別停運時，不致影響供電，故其重要性次于支路4，5。支路3在整個輸電系統中對可靠性的貢獻最小，因為在支路3停運時，即使支路1或支路2故障，系統仍能維持滿足負荷供電。從網架結構的觀點來看，支路4，5最重要，支路1，2次之，支路3最不重要。網絡

37、各支路的重要程度還可以進一步用量化指標表示，參見第節(jié)數字例。表3-25 接線方式與網流可行解Feasible solutions for different network configurations 接線方式發(fā)電機出力可行解的序號G1G2無停運支路3724365020323649372353411，33，392，8，343，13，23，25，28，35，384，7，11，14，17，21，24，27，30，36，425，15，4020支路1停運40363733373629，31，443241支路2停運502023536，9，16，1910支路3停運 403312，18，22，37，43支路2,3停運363720支路1,3停運205345 應該指出，表3