第12附錄之歸納與習(xí)題

1、誤差分析與數(shù)值方法穩(wěn)定性內(nèi)容結(jié)構(gòu)框圖截?cái)嗾`差模型誤差觀察誤差舍入誤差有效數(shù)字( x1 ± x2 ) - (a1 ± a2 ) £x1 - a1+x2 - a2x1 × x2 - a1 × a2£- a1+ a1x2 - a2a2x1x1 - a1+ a1x2 - a2a2x1 - a1£防止“大數(shù)吃小數(shù)” 避免相近數(shù)相減避免“小做除、大做乘”2x2a2a2數(shù)值方法的穩(wěn)定性算法減少運(yùn)算次數(shù)避免有效數(shù)字的損失函數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)誤差的四則運(yùn)算誤差絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差界相對(duì)誤差相對(duì)誤差界與、矩陣相關(guān)內(nèi)容結(jié)構(gòu)框圖矩陣與的相容性£

2、;AxMAVxV由構(gòu)造矩陣矩陣的性質(zhì)：1) r ( A) £ A2) A £ r ( A) + e3) ( I1-AmnA 1 = max å aijA ¥ = max å aijA 2 =lm 1£ j £ n i =11£ i £ m j =1等價(jià)性矩F-m1-1-、2-、-x1nn= å xx=x2x ¥ = max xkk2å k1£k £nk =1k =1npp-x p = p å xkk =1矩陣mn2Fåå ij

3、A=ai=1 j =1mnmåå ijA=a1i=1 j =1陣等價(jià)性( A H A )ax± A)-1 £ 1矩陣的條件數(shù)及其性質(zhì)矩陣計(jì)算與分解內(nèi)容結(jié)構(gòu)框圖正規(guī)矩陣schur分解A = UDU H利用矩陣的特征系統(tǒng)討論矩陣的可對(duì)角化條件矩陣的Jordan分解 A = TJT -1滿奇異值分解æ 0 öA = U ç÷V Hè 00 ø約化的奇異值分解ACm×n矩陣schur分解A = U SV H=URUHA11矩陣分解化方程組為一個(gè)三角方程組求解Ax=yRx=QTyHousehol

4、der變換矩陣及其性質(zhì)Doolittle分解A=LU PA=LUCholesky分解A=LLT化方程組Ax=b為兩個(gè)三角方程組求解Ly=bUx=yLy=Pb Ux=y Ly=bLT=y矩陣三角分解矩陣的QR分解用矩陣奇異值分解討論矩陣的性質(zhì)A矩陣奇異值分解<矩陣分析簡(jiǎn)介內(nèi)容結(jié)構(gòu)框圖dX (t )Adt(0)=dX (t ) = AX (t ) + F (t )dtt0òt通解：X (t) = eA(t-t0 ) X (t ) +eA(t-t )F (t )dt0解微分方程組矩陣對(duì)一個(gè)變量的導(dǎo)矩陣對(duì)一個(gè)變量的 函數(shù)對(duì)矩陣變量的導(dǎo)數(shù)數(shù)矩陣函數(shù)導(dǎo)數(shù)與的f ( A) = T diag

5、( f (J ) , f (J ) , L, f (J )T -112s矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)計(jì)算D¥f ( A) = å a Akkk =1¥矩陣冪級(jí)數(shù) å Akk =1¥矩陣級(jí)數(shù) å Akk =1Hamilton-Caylay定理對(duì)角矩陣法Jordan法矩陣序列A ¥kk =1收斂矩陣lim =AkÛ0r (A) 1®k¥n第一章部分相關(guān)習(xí)題 P161、（4） 解：設(shè)有n為有效數(shù)字， 則由定理1.7，得1£´101- na2a1x - a注意：8 £使70 £

6、; 9 ,1< 0.1% ,為使只需則可取a =8。1a1´101- n´101- n=< 0.0012 ´ 82a1即1n = 3Þ10n >´10416查表后得出70 » 8.37x - adxN +1ò NP1711（3）如何計(jì)算函數(shù)的之比較準(zhǔn)確,其中N充分大。1+ x2解：dx= arctg(N +1) - arctgN =N +1ò1+ x2N，則 tga = N注：令a = arctg(N +1),b = arctgNtgb = N + 1由于a - b = arctg(N + 1)

7、- arctgN，由差角公式：tg(a - b ) = tga - tgb 1 + tga × tgb得a - b = arctg tga - tgb ，進(jìn)而有1 + tga × tgb1arctg(N +1) - arctgN = arctg1+ N (N +1)P49第二章部分相關(guān)習(xí)題+ a2（1）A = 1æ2ö當(dāng)a滿足條件 a ¹ -1çè÷1 ø時(shí)，A可作 LU分解。-2 öa > 2T當(dāng)a滿足條件時(shí)，A可作 LL 分解,（2）A = æ2ç -2a 

8、7;èøæö22其中L是對(duì)叫元素為正的下三角陣，則L=ç -a - 2 ÷èø-1 2-1æ 2ç0 ö÷2 +2 2()2+2（3） A = ç -1-1÷ ,=2則cond (A)=22-2ç÷è 02 øR的對(duì)角元（4）R為 對(duì)角A的特征，矩陣，A的特征值為U的列，當(dāng)A為Hermite陣時(shí)，R為 實(shí)對(duì)角陣，為純復(fù)對(duì)角陣。當(dāng)A為斜Hermite陣時(shí)，R為P55 5.如下矩陣是否存在LU分解,如果存在是否唯一？11

9、öæ 13 öæ 1246A = ç 21 ÷（2） B = ç 21÷（1）23ç÷ç÷ç 47 ÷ç 31÷èøèø（1）解：矩陣A的行列式的性質(zhì)為：1246312：2 = 0，det(A=)2()()1=1¹ 0=0detAdet A= 1 ¹ 0，321447若A存在LU分解,則æ 1ö÷u11u120 ö001æ 13

10、 ö246ç 2ç 21 ÷ =÷çç÷÷ç 4ç 47 ÷uløèøèæ u1132ö÷u12u13+ uuuu÷1112221323ç÷4u4uluø11123222æ u11ö÷u12u13æ 13 ö17 øu112 4 6即 ç 2u+ uuuç÷11 12221323

11、ç 4÷ç÷4u4uluèø11123222= 1, u12= 2, u13 = 3,進(jìn)一步有那么2u12 + u22 = a22= 4 Þu22 = 4- 2´2 = 0= 4u12+ l32u22a32= 2 ´ 4 + l32 ´ 0 = 8就有這與a32=6。 故 A 不存在LU分解。（2）解：矩陣B的行列式的性質(zhì)為：112311=01) = 112= 0，det(B =)2det ( B ) = 1 ¹ 0，det ( B23123若B存在LU分解,則：æ 10 &

12、#246;001l32æ 111öö÷u11u1221÷ = ç 2ç 2ç÷ç÷ç 3÷ç 31÷u3èæ u11øèøö÷u12u13u+ uuu÷1112221323ç÷3u3ul uø11123222æ 1ç 21ö 1æ u11ö÷1 2 3u12u13=u+ uuu即

13、 ç÷113u11 1222 1323ç 3ç÷1èø3u12l32u22ø = 1,= 1,u12u13= 1,u11從而,進(jìn)一步有：= 0= -12u12 + u22 = a22 = 2 Þ u222u13 + u23 = a23 = 1 Þu23= 1 Þ= l32- 2u33æ 111öæ 10 ö æ1ö÷01l321001B = ç 221÷ = ç 20 ÷ &#

14、231;0-1即ç÷ç÷ ç÷ç 31÷ç 31 ÷ ç0l- 2÷3èø èèøø32，故B存在LU分解, 但是不唯一。其中l(wèi)32可以P2721.æ a10 ö（4）A = ç÷ ,klim A= O ,k ®¥則a應(yīng)滿足要是è 00.5ø1（7）設(shè)n階矩陣A可逆，òeAt dx = 0de At()11òò

15、;ÞeAt dt = A-1=deAtA-1e AAt- I= Ae00dt a< 1P273 3.設(shè) A=xxH, 其中 xCn 且 x0,如下矩陣序列的收斂性。ü¥ìæö kïçïAíç r ( A ) ÷÷ýþï k =1îï èø注意, A=xxH 的特征值為：xHx, 0, , 0,又故 (A)=xHx。() x Hr 2 ( A)r ( A)( xxHr 2 ( A)ö

16、2xHr 2 ( A)æAA=r ( A)=ç r ( A ) ÷èø從而此矩陣序列的收斂, 其極限為：ö kæAr ( A)A=ç r ( A ) ÷èø¥4證明(A)1時(shí), åk =1A ) - 2=A ( I -k A k證明,方法1¥1f (t ) = åtk< 1, =則t注意, 絕對(duì)收斂的函數(shù)冪級(jí)數(shù),1- tk =0¥1(1 - t )2f ¢(t ) = å¥åk = 0tk

17、- 1令 s (t ) =f ¢ (t ) t =ktkt=k(1 - t )2k = 1則得到新的絕對(duì)收斂的函數(shù)冪級(jí)數(shù)æö¥ç å kt÷ (1 - t ) = t ,F (t ) =2s (t )(1 - t )2k< 1t=è k = 0ø由定理3,可知相應(yīng)的絕對(duì)收斂的矩陣冪級(jí)數(shù)為：æ¥öF ( A) =ç å()2I - A= A ,kA k當(dāng)(A)1時(shí)，÷è k = 0ø而當(dāng)(A)1時(shí), 由定理1.6可得, (

18、I-A)可逆，故得¥åk =1A ) - 2k A k = A ( I -¥åQ = ( I - A )-1 ,則= A(I - A)-2 ,= A ( I -A )-1 , 取( I - A )-1Ak證明,方法2由于k =1æö¥ç å AkA ( I - A )-1÷ Q =è k =1由性質(zhì)6、7øéöùæö¥¥¥æ¥æö¥¥= åç Aå An=0åêçåçå A ÷ Q = å A Qk +1kAnn=Akk÷ú÷è n=0øûk =1 ëk =0 èøèøk =1k =1k = 0 , A (I + A + A2 +L)=+L+LA2 (I + A + A2 +L) =+k = 1, k = 2, A3