重視和改進數(shù)學概念的教學

1、重視和改進數(shù)學概念的教學摘要：本文首先通過案例介紹了數(shù)學概念教學的的一般模式；然后從概念的引入、概念的形成、概念的鞏固等方面介紹了一些具體的 方法，在這方面的說明主要是通過具體的教學案例；文章最后又結(jié)合概念教學中容易出現(xiàn)的問題，給出了一些切實可行的教學建議供教學工作者參考。關(guān)鍵詞：數(shù)學概念，概念教學數(shù)學概念是數(shù)學的邏輯起點，是學生認知的基礎(chǔ)是學生進行數(shù)學思維的核心，是數(shù)學知識體系的基礎(chǔ)，是理解基本理論、掌握基本技能的基石，在數(shù)學學習與教學中具有重要地位。一個成功的概念教學，可以提高學生學習數(shù)學的積極性和對學習數(shù)學的興趣，使整個教學過程得到事半功倍的作用。數(shù)學概念學習的原理，是數(shù)學課程發(fā)展與數(shù)學

2、教學的理論基礎(chǔ)，以數(shù)學概念為載體通過相關(guān)的數(shù)學思維過程訓練，能培養(yǎng)學生主動獲取知識與靈活思維的能力。因此我們要重視數(shù)學概念的教學。1 數(shù)學概念教學的一般模式對于數(shù)學概念不能望文生義，要對其內(nèi)涵和外延、規(guī)定的條件、相互關(guān)系和實際應用等進行綜合理解，使之條理清楚，概念牢固。因此在教學中圍繞一個概念應力求闡明下列問題：（1）概念產(chǎn)生的背景及討論的對象；（2）概念的定義及相關(guān)條件和規(guī)定；（3）概念的性質(zhì)及與其它概念的關(guān)系；（4）概念的應用范圍；（5）從全局觀點對概念進行深層理解。以對“導數(shù)”概念教學為例分析1.導數(shù)的產(chǎn)生背景及概念的引入通過對大量實例的分析：問題1 氣球平均膨脹率，問題2 高臺跳水的平

3、均速度，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)。 2. 導數(shù)的定義：從平均變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導數(shù) 3. 導數(shù)與相關(guān)概念的關(guān)系函數(shù)是研究兩個變量間相互依賴關(guān)系的，極限討論函數(shù)在附近的性質(zhì)，連續(xù)則是討論函數(shù)在及其近旁的性質(zhì)，若時有，但對于的依賴關(guān)系并未消失，該關(guān)系則用數(shù)來體現(xiàn)，它表示函數(shù)在的瞬時變化率。4. 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義“無限逼近”“以直代曲”，曲線的割線斜率逼近切線斜率，導數(shù)表示函數(shù)f (x)在xx0附近的變化情況。這“數(shù)形結(jié)合”便于學生理解導數(shù)概念。5. 導數(shù)概念的應用（1）導數(shù)的定義具有構(gòu)造性，可用定義將求

4、導運算公式化。（2）導數(shù)是研究函數(shù)在局部的狀態(tài)，它開辟了研究函數(shù)的新領(lǐng)域，如函數(shù)的單調(diào)性，極值等均可借助導數(shù)來討論。（3）導數(shù)是瞬時變化率，實際中與變化率有關(guān)的問題可用上導數(shù)。6. 從全局觀點對導數(shù)進行深層理解對函數(shù)的研究是通過圖形或解析式在定義域中作整體描述，導數(shù)討論在函數(shù)在點附近的局部性質(zhì)，側(cè)重于對應關(guān)系的變化，由導數(shù)再引入導函數(shù)從高層次上對函數(shù)作整體描述，這樣對函數(shù)的研究經(jīng)歷了從整體到局部又回到整體的螺旋式上升過程，導數(shù)成為進一步研究函數(shù)的有力工具。用發(fā)展、變化的觀點進行導數(shù)概念的教學，把概念教活，使學生獲取的知識成為有機的整體，全面完成導數(shù)概念的教學。2 概念教學中的方法在概念教學過程

5、中應因材施教、教法靈活。2.1 怎樣引入數(shù)學概念數(shù)學概念的引入，應從實際出發(fā)(教材的實際、學生的知識水平及年齡實際、生活和生產(chǎn)實際等)，從問題入手(直觀具體的、本學科的、跨學科的)，通過與本概念有明顯聯(lián)系、直觀性強的實際例子，使學生在對直觀、具體問題的體驗中感知概念，由知覺到感覺，形成感性認識。 如引入棱柱的概念時，可請同學觀察桌面上的鉛筆(豎著)、橡皮擦、課本，教師出示的長方體及五棱柱、六棱柱模型等，提問：是否注意到了它們在形狀上都有什么共同的特點？學生觀察時，教師可把模型擺在講臺上并規(guī)范地畫出其中五、六棱柱的直觀圖(略)，觀察、交流后，讓學生總結(jié)其共同特征(必要時可發(fā)問：是否需要修改)：有

6、兩個面互相平行；其余各面的交線也互相平行，因此各個面為平行四邊形。另外一個考慮的方向：因為幾乎每一個數(shù)學概念的引入都伴隨著一個動人的故事。如引入無理數(shù)時，可向?qū)W生介紹無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的背景；又如，講解析幾何時，可向?qū)W生介紹笛卡爾；講二項式定理時，可向?qū)W生介紹楊輝三角。了解一個概念的發(fā)生、發(fā)展過程，有利于學生對某一概念的形成，同時，數(shù)學史也是對學生進行思想教育的極好教材。實踐表明，從尋求根源入手，不僅能使學生一接觸到新的數(shù)學概念便對它產(chǎn)生濃厚的興趣，而且還能比較容易接受并理解數(shù)學概念。2.2 形成概念的方法認識是一個特殊的心理過程。學生初步學習概念后，還需有一個去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的

7、改造、制作、深化過程，以逐步形成概念。 (1) 揭示概念的本質(zhì)數(shù)學概念是客觀世界的數(shù)量和空間形式在人們頭腦中的反映，而概念的本質(zhì)是概念所反映事物的屬性的總和，因此，掌握概念的關(guān)鍵便是明確概念的實質(zhì)，也就是如何借助語言文字或符號等關(guān)鍵詞來表達，講解中突出這一關(guān)鍵詞使學生易于接受。在正面闡述了概念的本質(zhì)屬性后應安排一些簡單的鞏固練習。通過回答問題并說明理由，概念的本質(zhì)屬性會在頭腦中重復出現(xiàn)，可培養(yǎng)學生運用概念作判斷的能力，對促進概念的形成是行之有效的。 (2) 利用概念之間的關(guān)系構(gòu)建概念體系我們可以利用概念之間存在的從屬關(guān)系、合成關(guān)系、對應關(guān)系、對稱關(guān)系等構(gòu)建出一些章節(jié)或系統(tǒng)的概念體系，從而使學生

8、對這部分的概念有一個全面的認識，把它們之間的聯(lián)系與區(qū)別理解得更清楚。如我們對“距離”概念得到概念體系：兩點間的距離點到直線的距離兩條平行線的距離異面直線的距離點到平面的距離直線到平面的距離兩平行平面的距離。這樣可使學生對于“距離”這個綱可以做到“綱舉目張”。因它們的計算思想是一致的。2.3 概念的鞏固(1) 把概念教學與定理、公式及解題教學融為一體定理、性質(zhì)、公式的教學是概念教學的延伸，完整地掌握與概念有關(guān)的定理、性質(zhì)和公式才能完整地掌握概念的內(nèi)涵和外延，使學生在運用知識的過程中不斷加深對概念的理解，提高解題能力，必須把概念教學貫穿于解決問題的實踐之中，概念與解題、基礎(chǔ)與能力、兩者應該相輔相成

9、，由概念指導解題，以基礎(chǔ)培養(yǎng)能力，辯證地統(tǒng)一于教學之中。(2) 利用分層次的例題培養(yǎng)學生運用概念解決問題的能力多層次的例題，不僅使學生能辨析各概念間的明顯區(qū)別，而且有助于學生的思維向縱深引伸，對他們的創(chuàng)新意識和能力的培養(yǎng)很有好處，如下例的解答。例一個ABC中，BC=6cm，再給定一個什么條件，A點的軌跡是：1)直線？2)圓？3)橢圓？4)雙曲線(除特殊點外)？分析1) 軌跡是直線，易想到如果A點到線段BC的兩個點端點距離相等，那么點的軌跡是線段的垂直平分線。所以AB=AC可得點的軌跡是一條直線(BC的中點除外)。又如果點A到BC距離等于一常數(shù)，即么點A的軌跡是一平行于BC的兩條直線。所以ABC

10、的面積一定時，點的軌跡是直線。2) 軌跡是圓，平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的軌跡叫圓。所以只要點滿足這個定義，它的軌跡就是圓。所以(1)點A到線段BC中點距離等于一常數(shù)。(2)AB=BC或AC=BC這時得到點的軌跡是以點B或點C為圓心，以BC為半徑的圓(點C或除外)。(3)AB：AC =k，(k>0，k1)(建立坐標系后其軌跡方程易求出，略)。3) 軌跡是橢圓，平面內(nèi)到兩點的距離的和等于一常數(shù)的點的軌跡是橢圓。所以若點到，的距離之和為k(k>6)，即AB+AC =k，那么點的軌跡是橢圓。4) 軌跡是雙曲線，平面內(nèi)到兩定點的距離之差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡是雙曲線。所以只要點A到B

11、，C的距離的差的絕對值為k(0<k<6)，則點的軌跡是雙曲線。從上可看出在解題過程中加深了概念的理解和各概念的區(qū)別，同時也看到概念在解決問題時所起到的作用。(3) 利用框圖使學生加深聯(lián)想記憶引入概念后，對概念所屬對象進行分類，以加深對概念實質(zhì)的認識。數(shù)學概念的內(nèi)涵和外延在自身發(fā)展中充實并逐步完善，在教學中，應將概念納入它自身的矛盾運動中去進行分析，把概念的確定性和靈活性辯證地統(tǒng)一起來。概念之間的種屬關(guān)系使概念之間形成非常嚴謹?shù)南到y(tǒng)，而在教材中常分散出現(xiàn)，應適時地將它們聯(lián)系、歸納、概括于一個體系之中。在概念課的教學中，建立概念體系后，盡量多用框圖把概念體系表示出來，可以加深對各概念的

12、區(qū)別和聯(lián)系的理解，可使知識系統(tǒng)化，使學生易于聯(lián)想記憶。如引入虛數(shù)后可引導學生總結(jié)出復數(shù)系框圖。3 概念教學中應注意的問題3.1 注意數(shù)學概念的科學性和邏輯性數(shù)學概念是發(fā)展進化的，不易一次講透，教學中不必死摳概念的嚴密性，這樣并不能妨礙概念的科學性和邏輯性，能突出其本質(zhì)即可。3.2 概念課教學中適當運用啟發(fā)性原則教師應根據(jù)教學內(nèi)容和學生實際，提供機會、創(chuàng)設(shè)情景，善于提出問題，啟發(fā)學生積極、主動思考，逐步培養(yǎng)學生獨立思考、自主學習的能力，引導學法，培養(yǎng)習慣。正像波利亞所說：教師講了什么并非不重要，但更重要千萬倍的是學生想了些什么，學生的思路應該在學生自己的頭腦中產(chǎn)生，教師的作用在于“系統(tǒng)地給學生發(fā)

13、現(xiàn)事物的機會”。如，學習等比數(shù)列時，可設(shè)計系列啟發(fā)性思考題，啟動學生自主地觀察、歸納、概括出等比數(shù)列的概念，并把類比的數(shù)學思想方法落到實處，一一引導學生對等差數(shù)列、等比數(shù)列進行概念類比、內(nèi)涵類比、外延類比、通項公式的結(jié)構(gòu)類比、概念應用中的解法類比等，使學生在類比和自主探索中學習、理解、掌握等比數(shù)列及相關(guān)概念。 3.3 注意防止概念的混淆 學生在學習概念之前頭腦中并不是一片空白，已有一些形成的概念。這些概念由于表示它們的符號、詞語和概念本身的含義不同可能產(chǎn)生相互干擾，故克服概念混淆是數(shù)學教學中的一項重要工作，將相關(guān)概念進行比較，說明它們的區(qū)別，進行驗證，有意引出謬誤以加深印象是很有必要的。3.4 注意在概念教學中培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)數(shù)學教學的根本任務(wù)不僅在于向?qū)W生傳授知識，更重要的是要培養(yǎng)學生的多種能力。故在概念教學中不僅要使學生理解和掌握概念，會運用概念解題，更重要的是在概念的形成過中讓學生掌握思維方法，使學生的思維品質(zhì)得到有效的培養(yǎng)和開發(fā)。例如我們可以：1.求知情景，培養(yǎng)學生思維的敏捷性；2.新概念，培養(yǎng)思維的深刻性；3.新概念，培養(yǎng)思維的廣闊性；4