追求無(wú)止境——《分段函數(shù)》課的改進(jìn)

1、追求無(wú)止境分段函數(shù)課的改進(jìn)工大附中 龍御妹作為高三的任課教師，不僅僅要傳授知識(shí)技能，關(guān)注課改方向，不斷學(xué)習(xí)新的教育教學(xué)理念，還要對(duì)把握高考命題趨勢(shì)，對(duì)高考題所涉及的知識(shí)和能力進(jìn)行歸納，再反饋給學(xué)生進(jìn)而掌握。在高三復(fù)習(xí)課上要重視知識(shí)間的橫向聯(lián)系、和縱向拓展，通過(guò)教師對(duì)知識(shí)的橫、縱知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的編織，來(lái)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新能力、應(yīng)用能力，開(kāi)闊學(xué)生思維。就拿分段函數(shù)來(lái)說(shuō)吧，在新教材中給出了確切的定義，而早在前幾年的高考題中就涉及到了分段函數(shù)。一、 第一次講分段函數(shù)：我在05年教高三時(shí)，把05年各省份的高考題的分段函數(shù)整理出來(lái)，分析其考查的知識(shí)內(nèi)容和能力，而后把分段函數(shù)作為函數(shù)復(fù)習(xí)的一個(gè)內(nèi)容，在第二輪

2、復(fù)習(xí)函數(shù)圖象時(shí)，作為一節(jié)課的一部分處理。選擇05年廣東的一個(gè)高考題作為例題：在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱現(xiàn)將圖象沿軸向左平移個(gè)單位，再沿y軸向上平移個(gè)單位，所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖所示），則函數(shù)的表達(dá)式為( )（）（）（）（）我?guī)е鴮W(xué)生一起分析此題的解題思路：通過(guò)平移所給函數(shù)的圖象得到g(x)的圖象及其解析式，再求g(x)的反函數(shù)得到f(x)的解析式，涉及到分段函數(shù)如何求反函數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行歸納。而后學(xué)生做練習(xí)：05年湖北卷高考題：函數(shù)的圖象大致是（ ）給學(xué)生兩分鐘思考，學(xué)生方法比較多：方法一：帶入特殊值：令x=e,排除答案C，令x=，排除A、B；方法二：取極限：

3、x趨于0時(shí)，y趨于+，排除A、B,x趨于+時(shí)，排除C；方法三：分類討論：直接得到函數(shù)圖象.大部分學(xué)生并沒(méi)有把此題化成分段函數(shù)解決，但是用到了分類討論的思想解決，從而歸納出含絕對(duì)值問(wèn)題可利用分類討論的思想解決。05年高考復(fù)習(xí)課時(shí)，當(dāng)時(shí)講分段函數(shù)時(shí)僅僅局限到這里，而分段函數(shù)的性質(zhì)和解決的方法并沒(méi)有完整進(jìn)行歸納，沒(méi)有進(jìn)行拓展。就在當(dāng)年06年高考題就出了分段函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題：已知是上的減函數(shù)，那么a的取值范圍為( ).A B C D 當(dāng)時(shí)第一次看高考題時(shí)，我覺(jué)得學(xué)生會(huì)想不清分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，但是與學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)此題學(xué)生錯(cuò)得并不多，原因是選擇題，看到C是B的子集，就有用代特殊值排除的，有帶邊界驗(yàn)證的，連

4、蒙帶猜地選出答案，我都替他們捏把汗，反思自己的教學(xué)還是缺乏拓展的深度，平時(shí)三次函數(shù)求單調(diào)區(qū)間總強(qiáng)調(diào)的，若求出的是兩個(gè)區(qū)間，不要寫(xiě)并集啊，學(xué)生總弄不清楚，而我自己明白卻總也沒(méi)有詳細(xì)進(jìn)行說(shuō)明，學(xué)生只是死記下來(lái)，效果可想而知。而此高考題卻把兩個(gè)單調(diào)區(qū)間并起來(lái)了，只有對(duì)分段函數(shù)透徹理解，才能真正體會(huì)何時(shí)能寫(xiě)并集，何時(shí)不能。二、 第二次講分段函數(shù)這個(gè)學(xué)年我承擔(dān)了朝陽(yáng)區(qū)的區(qū)級(jí)研究課的任務(wù)，在全區(qū)研討高三第二輪復(fù)習(xí)。第二輪的專題復(fù)習(xí)就是要抓住知識(shí)主干，重點(diǎn)重點(diǎn)知識(shí)強(qiáng)化，而函數(shù)是高中代數(shù)內(nèi)容的主干，分段函數(shù)在最近幾年的高考試題中出現(xiàn)頻率很高，在新課程中對(duì)分段函數(shù)也進(jìn)行了定義（在函數(shù)的定義域內(nèi)，對(duì)于x的不同自變

5、量的取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)），而現(xiàn)在高考正慢慢向新課程過(guò)渡，這引起我們?cè)诟呖紡?fù)習(xí)中對(duì)分段函數(shù)的重視。從另一角度分析，分段函數(shù)也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想，滲透數(shù)學(xué)方法較好的一個(gè)素材。于是我把分段函數(shù)設(shè)單獨(dú)計(jì)為一節(jié)課。制定的教學(xué)目標(biāo)為：（1） 通過(guò)分析分段函數(shù)的基本性質(zhì)（值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)、連續(xù)性）進(jìn)一步鞏固函數(shù)的性質(zhì)，提高對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)；（2） 通過(guò)利用分類的思想把分段函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)去研究，再對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行整合，來(lái)滲透分類整合的思想和轉(zhuǎn)化方法；通過(guò)利用函數(shù)的圖象突破難點(diǎn)直觀分析函數(shù)的性質(zhì)，來(lái)提高數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力；（3） 通過(guò)利用函數(shù)思想解決方程、不等式等

6、問(wèn)題，提高學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力，進(jìn)一步滲透函數(shù)思想.教學(xué)重點(diǎn)是分段函數(shù)的性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)是分段函數(shù)的單調(diào)性.教學(xué)過(guò)程（簡(jiǎn)記）：（一）在課前布置了練習(xí)，為本節(jié)課打好基礎(chǔ)：1、（06-遼寧）設(shè)則_.2、（06-安徽）函數(shù)的反函數(shù)是AB C D 3、（06-北京）已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍A B C D 4、已知函數(shù)，則f(x)為A奇函數(shù)B偶函數(shù) C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D非奇非偶函數(shù)5、(07-湖北)為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒。已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中

7、提供的信息，回答下列問(wèn)題：從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為 ，據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那從藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò) 小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室。6、（理科）關(guān)于函數(shù)f(x)= (a是常數(shù)，a>0)，下列關(guān)于函數(shù)f(x)表述正確的是 最小值是0 在每一點(diǎn)處都連續(xù) 在R上是增函數(shù)在每一點(diǎn)處都可導(dǎo)有反函數(shù)（二）上課時(shí)先指出，在高考題中分段函數(shù)以小題和解答題形式都出現(xiàn)過(guò)，該知識(shí)點(diǎn)主要考查分類整合、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，以及綜合能力.（三）方法歸納（利用PPT演示）：訂正課前練習(xí)題，并對(duì)其進(jìn)行歸納：第

8、5小題：歸納分段函數(shù)的解析式、定義域、值域（看圖說(shuō)話）；第2小題：歸納分段函數(shù)的反函數(shù)（分段求再整合）；第3小題：歸納分段函數(shù)的單調(diào)性（利用幾何畫(huà)板演示說(shuō)明）；第4小題：歸納分段函數(shù)的奇偶性（用定義證明或畫(huà)函數(shù)圖象觀察）。第6小題：歸納分段函數(shù)的連續(xù)性（利用間斷點(diǎn)處的極限）。（四）例題分析：例1、已知函數(shù)f (x) =，則不等式xf (x 1) < 10的解集是 提問(wèn)：（1）分段函數(shù)的復(fù)合形式如何寫(xiě)？（2）如何解不等式？（3）答案如何整理？解：f (x1) =解得解集為小結(jié)：分段函數(shù)在解決問(wèn)題時(shí)分段解決，即分類討論解決，最后要對(duì)答案進(jìn)行整合.引伸：（1）方程的根的個(gè)數(shù)為 （落在什么區(qū)間）

9、（2）不等式的解集為 小結(jié)：利用函數(shù)圖象解決有關(guān)分段函數(shù)的不等式和方程，直觀簡(jiǎn)潔.例2、已知函數(shù),求f(x)的單調(diào)區(qū)間.分析：如何轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)？小結(jié)：（1）含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)可根據(jù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化分段函數(shù)研究（2）單調(diào)區(qū)間應(yīng)進(jìn)行整合.例3、（05-上海高考題）對(duì)定義域是、的函數(shù)、，規(guī)定：函數(shù)。（1）若函數(shù)，寫(xiě)出函數(shù)的解析式；（2）求問(wèn)題（1）中函數(shù)的值域；（3）若，其中是常數(shù)，且，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)，及一個(gè)的值，使得，并予以證明。（給學(xué)生時(shí)間審題并完成第一問(wèn)）提問(wèn)：（1）分段函數(shù)的值域如何得到？請(qǐng)學(xué)生解決第二問(wèn)（方法：均值定理、判別式法、求導(dǎo)）；（2）從結(jié)構(gòu)形式上分析g(x)是否為分段

10、函數(shù)？有a和h(x)有何聯(lián)想？（五）小結(jié)：1、 分段函數(shù)在解決問(wèn)題時(shí)利用分類的思想轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)解決，最后對(duì)各段上的情況再加以整合；2、 對(duì)于含絕對(duì)值的函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來(lái)解決.（六）檢測(cè)：1、已知函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則 2、函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是_。3（07-海南 ）設(shè)函數(shù)（I）解不等式；（II）求函數(shù)的最小值（七）作業(yè)：完成學(xué)案課后練習(xí)觀課的同組教師和教研員在課后真誠(chéng)地與我探討。首先我先談上完這節(jié)課的體會(huì)：學(xué)生是重點(diǎn)班學(xué)生，接受、理解、分析、歸納問(wèn)題的能力較好，課堂容量較大，一題多解和例題拓展的方式有助于培養(yǎng)優(yōu)秀生；例1的拓展（2）學(xué)生做此題時(shí)暴露出了問(wèn)題，

11、并及時(shí)進(jìn)行了糾正，處理較好；例3的第（2）問(wèn)，學(xué)生求函數(shù)的值域時(shí)方法靈活，給學(xué)生展示的機(jī)會(huì)，這個(gè)環(huán)節(jié)處理較好。不足的地方例3的第（3）問(wèn)由于時(shí)間的原因處理比較倉(cāng)促，后面的檢測(cè)時(shí)間沒(méi)有了；在知識(shí)歸納上耽誤時(shí)間較多，還可再簡(jiǎn)練些；課堂節(jié)奏較快，在普通平行班學(xué)生會(huì)跟不上，需要調(diào)整內(nèi)容和節(jié)奏。與會(huì)教師肯定了我的優(yōu)點(diǎn)，并提出需要改進(jìn)的地方：1、 例1中函數(shù)y=xf (x 1)的圖象過(guò)渡較快，這是一個(gè)難點(diǎn)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生先寫(xiě)出y=f (x 1)的解析式，加以鋪墊，再畫(huà)函數(shù)圖象；2、 例1中的引伸（2）此題編造痕跡過(guò)重，應(yīng)該舍去；3、 課前練習(xí)的幾個(gè)題目使得整個(gè)課程顯得凌亂，可以把重點(diǎn)作為例題來(lái)講解，注重課堂

12、的落實(shí)；4、 學(xué)生活動(dòng)較多，但是在學(xué)生回答完問(wèn)題時(shí)，教師總在糾正補(bǔ)充，說(shuō)得太多，應(yīng)該讓學(xué)生充分發(fā)揮，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)，少說(shuō)多傾聽(tīng)；5、 應(yīng)該注意語(yǔ)言的簡(jiǎn)練，提問(wèn)還需精心設(shè)計(jì)，有口頭語(yǔ)，應(yīng)該糾正；6、 使用多媒體時(shí)教師所站的位置應(yīng)該注意隨時(shí)調(diào)整，使用多媒體時(shí)也要注意教態(tài).三、 第三次講分段函數(shù)調(diào)整教學(xué)目標(biāo)為：1、 通過(guò)分析分段函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)一步鞏固基本函數(shù)的性質(zhì)，提高對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)；2、 過(guò)利用分類的思想把分段函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)去研究，再對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行整合，來(lái)滲透分類整合的思想和轉(zhuǎn)化方法；3、 通過(guò)利用函數(shù)的圖象突破難點(diǎn)直觀分析函數(shù)的性質(zhì)，來(lái)提高數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力；4、 通過(guò)利用函數(shù)

13、思想解決方程、不等式等問(wèn)題，提高學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力，進(jìn)一步滲透函數(shù)思想；5、 通過(guò)對(duì)解析式的理解聯(lián)想猜想合情推理，培養(yǎng)學(xué)生猜想論證的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).教學(xué)內(nèi)容和過(guò)程進(jìn)行了大幅度調(diào)整：（一）引入：分段函數(shù)定義：自變量取不同的取值范圍，對(duì)應(yīng)法則不同.（二）例題：例1(07-湖北)為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒。已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題：從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為 ，據(jù)測(cè)

14、定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那從藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò) 小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室. 給學(xué)生時(shí)間進(jìn)行審題分析，得到解析式，進(jìn)一步利用圖象解不等式。從函數(shù)圖象歸納出這個(gè)函數(shù)的定義域、值域、最值、單調(diào)性，特別是單調(diào)性的歸納讓學(xué)生分析補(bǔ)充，進(jìn)而引出例2.例2（06-北京）已知是上的減函數(shù)，那么a的取值范圍為( ).A B C D 分析如何求？學(xué)生答分段求，得到選項(xiàng)B，教師利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示幾種情況 引導(dǎo)學(xué)生如何才能滿足在為減函數(shù)，從而歸納出判斷分段函數(shù)的單調(diào)性的方法：分段解決是為了轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)，畫(huà)圖象是為了對(duì)結(jié)果進(jìn)行整合，體現(xiàn)的是分類整合的思想.從另一

15、方面，也幫學(xué)生分析選項(xiàng)，由選項(xiàng)的提示，可以利用特殊值法進(jìn)行排除，從而得到正確答案.例3已知函數(shù)f (x) =（1）不等式xf (x 1) < 10的解集是 ；（2）方程xf (x 1)=log4x的根的個(gè)數(shù)為 .請(qǐng)學(xué)生分析如何解這個(gè)不等式，對(duì)于問(wèn)題(1)，學(xué)生都使用的代數(shù)方法解決.(2)問(wèn)學(xué)生解決有些困難，和學(xué)生一起分析采用什么方法，學(xué)生想到數(shù)形結(jié)合解決，教師巡視，給學(xué)困生進(jìn)行輔導(dǎo)，等大部分學(xué)生完成，請(qǐng)一位學(xué)生利用實(shí)物投影演示，學(xué)生的圖象出現(xiàn)錯(cuò)誤，找原因是沒(méi)有寫(xiě)出y= xf (x 1)的解析式，糾正改進(jìn)后得到正確答案，繼而再問(wèn)，根分布在哪個(gè)區(qū)間？引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，最后對(duì)此題進(jìn)行歸納小結(jié)

16、，解決分類函數(shù)問(wèn)題一般先分類再整合，體現(xiàn)的是分類整合思想.引出例4，并指出這是05年上海高考題的最后一個(gè)題，引起學(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題的興趣.例4、（05-上海）對(duì)定義域是、的函數(shù)、，規(guī)定：函數(shù).（1）若函數(shù)，寫(xiě)出函數(shù)的解析式；請(qǐng)學(xué)生自己解決問(wèn)題（1），教師巡視，指導(dǎo)，最后請(qǐng)一個(gè)學(xué)生訂正答案.（2）帶學(xué)生分析分段函數(shù)值域如何來(lái)求，得到解析式，后分段求x=1時(shí)，值域?yàn)?，當(dāng)x1時(shí)，如何求的值域？觀察解析式的結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生想解決的方法.學(xué)生有用判別式的，有用求導(dǎo)的，有用均值定理的，大家對(duì)比選擇了用均值定理求值域，體會(huì)簡(jiǎn)潔解法，最后問(wèn)分段函數(shù)的值域如何寫(xiě)？要整合。（3）若，其中是常數(shù)，且，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)?/p>

17、R的函數(shù)，及一個(gè)的值，使得，并予以證明.教師提示構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，要求滿足定義域?yàn)镽，那么定義域應(yīng)該是什么？函數(shù)h(x)怎么寫(xiě)？用分段嗎？請(qǐng)同學(xué)們課后思考.（目的是作業(yè)分層）（三）小結(jié)：分段函數(shù)研究的方法：分段解決再整合，體現(xiàn)了分類整合、數(shù)形結(jié)合的思想。另外也要注意自變量的取值在分段函數(shù)問(wèn)題中的作用.（四）作業(yè)練習(xí)：完成學(xué)案.反思第三次的課，對(duì)比前兩次有的地方得到了改進(jìn)：（1）例題的選配更合理，符合學(xué)生情況，例1的調(diào)整，注重考察學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，符合新課標(biāo)要求，把這個(gè)題發(fā)揮得較好，總結(jié)了分段函數(shù)的重要性質(zhì)，并提高了學(xué)生的識(shí)圖能力；例2的調(diào)整把學(xué)生的主要問(wèn)題暴露在課堂上，從而使得重點(diǎn)內(nèi)容在課上

18、加以落實(shí)；（2）每個(gè)例題在解題方法上予以指導(dǎo)，表達(dá)規(guī)范，注重培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，每個(gè)題后都有小結(jié)、反思、方法提煉，并進(jìn)行了思維的發(fā)散，有助于學(xué)生能力的提高；（3）更多地關(guān)注學(xué)生，精心設(shè)計(jì)提問(wèn)語(yǔ)言，師生交流融洽，通過(guò)展示學(xué)生練習(xí)并進(jìn)行糾錯(cuò)，使得氣氛變得更活躍，注重引導(dǎo)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用和教師的主導(dǎo)作用；（4）高三的復(fù)習(xí)課不能只注重應(yīng)試教育，也應(yīng)該為培養(yǎng)學(xué)生能力，滲透提高數(shù)學(xué)思想而設(shè)計(jì)；（5）注意調(diào)整了使用多媒體的教態(tài)、站立的位置，使得教師形象更大方.需要改進(jìn)的地方：（1）我講課選的班級(jí)是（7）班，是很活躍的班級(jí)，但我沒(méi)有預(yù)料到學(xué)生會(huì)緊張，在分析第一個(gè)例題時(shí)，學(xué)生還沒(méi)有進(jìn)入狀態(tài)，開(kāi)始有些不敢說(shuō)，導(dǎo)致分析此題時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，課前應(yīng)先調(diào)動(dòng)好學(xué)生，使得氣氛寬松，才能更