追求無(wú)止境——《分段函數(shù)》課的改進(jìn)_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、追求無(wú)止境分段函數(shù)課的改進(jìn)工大附中 龍御妹作為高三的任課教師,不僅僅要傳授知識(shí)技能,關(guān)注課改方向,不斷學(xué)習(xí)新的教育教學(xué)理念,還要對(duì)把握高考命題趨勢(shì),對(duì)高考題所涉及的知識(shí)和能力進(jìn)行歸納,再反饋給學(xué)生進(jìn)而掌握。在高三復(fù)習(xí)課上要重視知識(shí)間的橫向聯(lián)系、和縱向拓展,通過(guò)教師對(duì)知識(shí)的橫、縱知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的編織,來(lái)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新能力、應(yīng)用能力,開(kāi)闊學(xué)生思維。就拿分段函數(shù)來(lái)說(shuō)吧,在新教材中給出了確切的定義,而早在前幾年的高考題中就涉及到了分段函數(shù)。一、 第一次講分段函數(shù):我在05年教高三時(shí),把05年各省份的高考題的分段函數(shù)整理出來(lái),分析其考查的知識(shí)內(nèi)容和能力,而后把分段函數(shù)作為函數(shù)復(fù)習(xí)的一個(gè)內(nèi)容,在第二輪

2、復(fù)習(xí)函數(shù)圖象時(shí),作為一節(jié)課的一部分處理。選擇05年廣東的一個(gè)高考題作為例題:在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱現(xiàn)將圖象沿軸向左平移個(gè)單位,再沿y軸向上平移個(gè)單位,所得的圖象是由兩條線段組成的折線(如圖所示),則函數(shù)的表達(dá)式為( )()()()()我?guī)е鴮W(xué)生一起分析此題的解題思路:通過(guò)平移所給函數(shù)的圖象得到g(x)的圖象及其解析式,再求g(x)的反函數(shù)得到f(x)的解析式,涉及到分段函數(shù)如何求反函數(shù),進(jìn)而進(jìn)行歸納。而后學(xué)生做練習(xí):05年湖北卷高考題:函數(shù)的圖象大致是( )給學(xué)生兩分鐘思考,學(xué)生方法比較多:方法一:帶入特殊值:令x=e,排除答案C,令x=,排除A、B;方法二:取極限:

3、x趨于0時(shí),y趨于+,排除A、B,x趨于+時(shí),排除C;方法三:分類討論:直接得到函數(shù)圖象.大部分學(xué)生并沒(méi)有把此題化成分段函數(shù)解決,但是用到了分類討論的思想解決,從而歸納出含絕對(duì)值問(wèn)題可利用分類討論的思想解決。05年高考復(fù)習(xí)課時(shí),當(dāng)時(shí)講分段函數(shù)時(shí)僅僅局限到這里,而分段函數(shù)的性質(zhì)和解決的方法并沒(méi)有完整進(jìn)行歸納,沒(méi)有進(jìn)行拓展。就在當(dāng)年06年高考題就出了分段函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題:已知是上的減函數(shù),那么a的取值范圍為( ).A B C D 當(dāng)時(shí)第一次看高考題時(shí),我覺(jué)得學(xué)生會(huì)想不清分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,但是與學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)此題學(xué)生錯(cuò)得并不多,原因是選擇題,看到C是B的子集,就有用代特殊值排除的,有帶邊界驗(yàn)證的,連

4、蒙帶猜地選出答案,我都替他們捏把汗,反思自己的教學(xué)還是缺乏拓展的深度,平時(shí)三次函數(shù)求單調(diào)區(qū)間總強(qiáng)調(diào)的,若求出的是兩個(gè)區(qū)間,不要寫(xiě)并集啊,學(xué)生總弄不清楚,而我自己明白卻總也沒(méi)有詳細(xì)進(jìn)行說(shuō)明,學(xué)生只是死記下來(lái),效果可想而知。而此高考題卻把兩個(gè)單調(diào)區(qū)間并起來(lái)了,只有對(duì)分段函數(shù)透徹理解,才能真正體會(huì)何時(shí)能寫(xiě)并集,何時(shí)不能。二、 第二次講分段函數(shù)這個(gè)學(xué)年我承擔(dān)了朝陽(yáng)區(qū)的區(qū)級(jí)研究課的任務(wù),在全區(qū)研討高三第二輪復(fù)習(xí)。第二輪的專題復(fù)習(xí)就是要抓住知識(shí)主干,重點(diǎn)重點(diǎn)知識(shí)強(qiáng)化,而函數(shù)是高中代數(shù)內(nèi)容的主干,分段函數(shù)在最近幾年的高考試題中出現(xiàn)頻率很高,在新課程中對(duì)分段函數(shù)也進(jìn)行了定義(在函數(shù)的定義域內(nèi),對(duì)于x的不同自變

5、量的取值區(qū)間,有著不同的對(duì)應(yīng)法則,這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)),而現(xiàn)在高考正慢慢向新課程過(guò)渡,這引起我們?cè)诟呖紡?fù)習(xí)中對(duì)分段函數(shù)的重視。從另一角度分析,分段函數(shù)也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想,滲透數(shù)學(xué)方法較好的一個(gè)素材。于是我把分段函數(shù)設(shè)單獨(dú)計(jì)為一節(jié)課。制定的教學(xué)目標(biāo)為:(1) 通過(guò)分析分段函數(shù)的基本性質(zhì)(值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)、連續(xù)性)進(jìn)一步鞏固函數(shù)的性質(zhì),提高對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí);(2) 通過(guò)利用分類的思想把分段函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)去研究,再對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行整合,來(lái)滲透分類整合的思想和轉(zhuǎn)化方法;通過(guò)利用函數(shù)的圖象突破難點(diǎn)直觀分析函數(shù)的性質(zhì),來(lái)提高數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力;(3) 通過(guò)利用函數(shù)思想解決方程、不等式等

6、問(wèn)題,提高學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力,進(jìn)一步滲透函數(shù)思想.教學(xué)重點(diǎn)是分段函數(shù)的性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)是分段函數(shù)的單調(diào)性.教學(xué)過(guò)程(簡(jiǎn)記):(一)在課前布置了練習(xí),為本節(jié)課打好基礎(chǔ):1、(06-遼寧)設(shè)則_.2、(06-安徽)函數(shù)的反函數(shù)是AB C D 3、(06-北京)已知是上的減函數(shù),那么的取值范圍A B C D 4、已知函數(shù),則f(x)為A奇函數(shù)B偶函數(shù) C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D非奇非偶函數(shù)5、(07-湖北)為了預(yù)防流感,某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒。已知藥物釋放過(guò)程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比;藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關(guān)系式為(a為常數(shù)),如圖所示,根據(jù)圖中

7、提供的信息,回答下列問(wèn)題:從藥物釋放開(kāi)始,每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為 ,據(jù)測(cè)定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí),學(xué)生方可進(jìn)教室,那從藥物釋放開(kāi)始,至少需要經(jīng)過(guò) 小時(shí)后,學(xué)生才能回到教室。6、(理科)關(guān)于函數(shù)f(x)= (a是常數(shù),a>0),下列關(guān)于函數(shù)f(x)表述正確的是 最小值是0 在每一點(diǎn)處都連續(xù) 在R上是增函數(shù)在每一點(diǎn)處都可導(dǎo)有反函數(shù)(二)上課時(shí)先指出,在高考題中分段函數(shù)以小題和解答題形式都出現(xiàn)過(guò),該知識(shí)點(diǎn)主要考查分類整合、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,以及綜合能力.(三)方法歸納(利用PPT演示):訂正課前練習(xí)題,并對(duì)其進(jìn)行歸納:第

8、5小題:歸納分段函數(shù)的解析式、定義域、值域(看圖說(shuō)話);第2小題:歸納分段函數(shù)的反函數(shù)(分段求再整合);第3小題:歸納分段函數(shù)的單調(diào)性(利用幾何畫(huà)板演示說(shuō)明);第4小題:歸納分段函數(shù)的奇偶性(用定義證明或畫(huà)函數(shù)圖象觀察)。第6小題:歸納分段函數(shù)的連續(xù)性(利用間斷點(diǎn)處的極限)。(四)例題分析:例1、已知函數(shù)f (x) =,則不等式xf (x 1) < 10的解集是 提問(wèn):(1)分段函數(shù)的復(fù)合形式如何寫(xiě)?(2)如何解不等式?(3)答案如何整理?解:f (x1) =解得解集為小結(jié):分段函數(shù)在解決問(wèn)題時(shí)分段解決,即分類討論解決,最后要對(duì)答案進(jìn)行整合.引伸:(1)方程的根的個(gè)數(shù)為 (落在什么區(qū)間)

9、(2)不等式的解集為 小結(jié):利用函數(shù)圖象解決有關(guān)分段函數(shù)的不等式和方程,直觀簡(jiǎn)潔.例2、已知函數(shù),求f(x)的單調(diào)區(qū)間.分析:如何轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)?小結(jié):(1)含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)可根據(jù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化分段函數(shù)研究(2)單調(diào)區(qū)間應(yīng)進(jìn)行整合.例3、(05-上海高考題)對(duì)定義域是、的函數(shù)、,規(guī)定:函數(shù)。(1)若函數(shù),寫(xiě)出函數(shù)的解析式;(2)求問(wèn)題(1)中函數(shù)的值域;(3)若,其中是常數(shù),且,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù),及一個(gè)的值,使得,并予以證明。(給學(xué)生時(shí)間審題并完成第一問(wèn))提問(wèn):(1)分段函數(shù)的值域如何得到?請(qǐng)學(xué)生解決第二問(wèn)(方法:均值定理、判別式法、求導(dǎo));(2)從結(jié)構(gòu)形式上分析g(x)是否為分段

10、函數(shù)?有a和h(x)有何聯(lián)想?(五)小結(jié):1、 分段函數(shù)在解決問(wèn)題時(shí)利用分類的思想轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)解決,最后對(duì)各段上的情況再加以整合;2、 對(duì)于含絕對(duì)值的函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來(lái)解決.(六)檢測(cè):1、已知函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),則 2、函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則的取值范圍是_。3(07-海南 )設(shè)函數(shù)(I)解不等式;(II)求函數(shù)的最小值(七)作業(yè):完成學(xué)案課后練習(xí)觀課的同組教師和教研員在課后真誠(chéng)地與我探討。首先我先談上完這節(jié)課的體會(huì):學(xué)生是重點(diǎn)班學(xué)生,接受、理解、分析、歸納問(wèn)題的能力較好,課堂容量較大,一題多解和例題拓展的方式有助于培養(yǎng)優(yōu)秀生;例1的拓展(2)學(xué)生做此題時(shí)暴露出了問(wèn)題,

11、并及時(shí)進(jìn)行了糾正,處理較好;例3的第(2)問(wèn),學(xué)生求函數(shù)的值域時(shí)方法靈活,給學(xué)生展示的機(jī)會(huì),這個(gè)環(huán)節(jié)處理較好。不足的地方例3的第(3)問(wèn)由于時(shí)間的原因處理比較倉(cāng)促,后面的檢測(cè)時(shí)間沒(méi)有了;在知識(shí)歸納上耽誤時(shí)間較多,還可再簡(jiǎn)練些;課堂節(jié)奏較快,在普通平行班學(xué)生會(huì)跟不上,需要調(diào)整內(nèi)容和節(jié)奏。與會(huì)教師肯定了我的優(yōu)點(diǎn),并提出需要改進(jìn)的地方:1、 例1中函數(shù)y=xf (x 1)的圖象過(guò)渡較快,這是一個(gè)難點(diǎn),應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生先寫(xiě)出y=f (x 1)的解析式,加以鋪墊,再畫(huà)函數(shù)圖象;2、 例1中的引伸(2)此題編造痕跡過(guò)重,應(yīng)該舍去;3、 課前練習(xí)的幾個(gè)題目使得整個(gè)課程顯得凌亂,可以把重點(diǎn)作為例題來(lái)講解,注重課堂

12、的落實(shí);4、 學(xué)生活動(dòng)較多,但是在學(xué)生回答完問(wèn)題時(shí),教師總在糾正補(bǔ)充,說(shuō)得太多,應(yīng)該讓學(xué)生充分發(fā)揮,讓學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié),少說(shuō)多傾聽(tīng);5、 應(yīng)該注意語(yǔ)言的簡(jiǎn)練,提問(wèn)還需精心設(shè)計(jì),有口頭語(yǔ),應(yīng)該糾正;6、 使用多媒體時(shí)教師所站的位置應(yīng)該注意隨時(shí)調(diào)整,使用多媒體時(shí)也要注意教態(tài).三、 第三次講分段函數(shù)調(diào)整教學(xué)目標(biāo)為:1、 通過(guò)分析分段函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)一步鞏固基本函數(shù)的性質(zhì),提高對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí);2、 過(guò)利用分類的思想把分段函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)去研究,再對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行整合,來(lái)滲透分類整合的思想和轉(zhuǎn)化方法;3、 通過(guò)利用函數(shù)的圖象突破難點(diǎn)直觀分析函數(shù)的性質(zhì),來(lái)提高數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力;4、 通過(guò)利用函數(shù)

13、思想解決方程、不等式等問(wèn)題,提高學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力,進(jìn)一步滲透函數(shù)思想;5、 通過(guò)對(duì)解析式的理解聯(lián)想猜想合情推理,培養(yǎng)學(xué)生猜想論證的能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).教學(xué)內(nèi)容和過(guò)程進(jìn)行了大幅度調(diào)整:(一)引入:分段函數(shù)定義:自變量取不同的取值范圍,對(duì)應(yīng)法則不同.(二)例題:例1(07-湖北)為了預(yù)防流感,某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒。已知藥物釋放過(guò)程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比;藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關(guān)系式為(a為常數(shù)),如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問(wèn)題:從藥物釋放開(kāi)始,每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為 ,據(jù)測(cè)

14、定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí),學(xué)生方可進(jìn)教室,那從藥物釋放開(kāi)始,至少需要經(jīng)過(guò) 小時(shí)后,學(xué)生才能回到教室. 給學(xué)生時(shí)間進(jìn)行審題分析,得到解析式,進(jìn)一步利用圖象解不等式。從函數(shù)圖象歸納出這個(gè)函數(shù)的定義域、值域、最值、單調(diào)性,特別是單調(diào)性的歸納讓學(xué)生分析補(bǔ)充,進(jìn)而引出例2.例2(06-北京)已知是上的減函數(shù),那么a的取值范圍為( ).A B C D 分析如何求?學(xué)生答分段求,得到選項(xiàng)B,教師利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示幾種情況 引導(dǎo)學(xué)生如何才能滿足在為減函數(shù),從而歸納出判斷分段函數(shù)的單調(diào)性的方法:分段解決是為了轉(zhuǎn)化為基本函數(shù),畫(huà)圖象是為了對(duì)結(jié)果進(jìn)行整合,體現(xiàn)的是分類整合的思想.從另一

15、方面,也幫學(xué)生分析選項(xiàng),由選項(xiàng)的提示,可以利用特殊值法進(jìn)行排除,從而得到正確答案.例3已知函數(shù)f (x) =(1)不等式xf (x 1) < 10的解集是 ;(2)方程xf (x 1)=log4x的根的個(gè)數(shù)為 .請(qǐng)學(xué)生分析如何解這個(gè)不等式,對(duì)于問(wèn)題(1),學(xué)生都使用的代數(shù)方法解決.(2)問(wèn)學(xué)生解決有些困難,和學(xué)生一起分析采用什么方法,學(xué)生想到數(shù)形結(jié)合解決,教師巡視,給學(xué)困生進(jìn)行輔導(dǎo),等大部分學(xué)生完成,請(qǐng)一位學(xué)生利用實(shí)物投影演示,學(xué)生的圖象出現(xiàn)錯(cuò)誤,找原因是沒(méi)有寫(xiě)出y= xf (x 1)的解析式,糾正改進(jìn)后得到正確答案,繼而再問(wèn),根分布在哪個(gè)區(qū)間?引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考,最后對(duì)此題進(jìn)行歸納小結(jié)

16、,解決分類函數(shù)問(wèn)題一般先分類再整合,體現(xiàn)的是分類整合思想.引出例4,并指出這是05年上海高考題的最后一個(gè)題,引起學(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題的興趣.例4、(05-上海)對(duì)定義域是、的函數(shù)、,規(guī)定:函數(shù).(1)若函數(shù),寫(xiě)出函數(shù)的解析式;請(qǐng)學(xué)生自己解決問(wèn)題(1),教師巡視,指導(dǎo),最后請(qǐng)一個(gè)學(xué)生訂正答案.(2)帶學(xué)生分析分段函數(shù)值域如何來(lái)求,得到解析式,后分段求x=1時(shí),值域?yàn)?,當(dāng)x1時(shí),如何求的值域?觀察解析式的結(jié)構(gòu),讓學(xué)生想解決的方法.學(xué)生有用判別式的,有用求導(dǎo)的,有用均值定理的,大家對(duì)比選擇了用均值定理求值域,體會(huì)簡(jiǎn)潔解法,最后問(wèn)分段函數(shù)的值域如何寫(xiě)?要整合。(3)若,其中是常數(shù),且,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)?/p>

17、R的函數(shù),及一個(gè)的值,使得,并予以證明.教師提示構(gòu)造一個(gè)函數(shù),要求滿足定義域?yàn)镽,那么定義域應(yīng)該是什么?函數(shù)h(x)怎么寫(xiě)?用分段嗎?請(qǐng)同學(xué)們課后思考.(目的是作業(yè)分層)(三)小結(jié):分段函數(shù)研究的方法:分段解決再整合,體現(xiàn)了分類整合、數(shù)形結(jié)合的思想。另外也要注意自變量的取值在分段函數(shù)問(wèn)題中的作用.(四)作業(yè)練習(xí):完成學(xué)案.反思第三次的課,對(duì)比前兩次有的地方得到了改進(jìn):(1)例題的選配更合理,符合學(xué)生情況,例1的調(diào)整,注重考察學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力,符合新課標(biāo)要求,把這個(gè)題發(fā)揮得較好,總結(jié)了分段函數(shù)的重要性質(zhì),并提高了學(xué)生的識(shí)圖能力;例2的調(diào)整把學(xué)生的主要問(wèn)題暴露在課堂上,從而使得重點(diǎn)內(nèi)容在課上

18、加以落實(shí);(2)每個(gè)例題在解題方法上予以指導(dǎo),表達(dá)規(guī)范,注重培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,每個(gè)題后都有小結(jié)、反思、方法提煉,并進(jìn)行了思維的發(fā)散,有助于學(xué)生能力的提高;(3)更多地關(guān)注學(xué)生,精心設(shè)計(jì)提問(wèn)語(yǔ)言,師生交流融洽,通過(guò)展示學(xué)生練習(xí)并進(jìn)行糾錯(cuò),使得氣氛變得更活躍,注重引導(dǎo),調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性,充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用和教師的主導(dǎo)作用;(4)高三的復(fù)習(xí)課不能只注重應(yīng)試教育,也應(yīng)該為培養(yǎng)學(xué)生能力,滲透提高數(shù)學(xué)思想而設(shè)計(jì);(5)注意調(diào)整了使用多媒體的教態(tài)、站立的位置,使得教師形象更大方.需要改進(jìn)的地方:(1)我講課選的班級(jí)是(7)班,是很活躍的班級(jí),但我沒(méi)有預(yù)料到學(xué)生會(huì)緊張,在分析第一個(gè)例題時(shí),學(xué)生還沒(méi)有進(jìn)入狀態(tài),開(kāi)始有些不敢說(shuō),導(dǎo)致分析此題時(shí)間過(guò)長(zhǎng),課前應(yīng)先調(diào)動(dòng)好學(xué)生,使得氣氛寬松,才能更

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